1、动量守恒：
以两球碰撞为例：光滑水平面上有两个质量分别是m1和m2的小球，分别以速率v1和v2且v1>v2做匀速直线运动。当m1追上m2时，两小球发生碰撞，设碰后两者的速率分别为v1ˊ，v2ˊ。
设水平往右为正方向动量守恒，它们在发生互相作用碰撞前的总动量：p=p1+p2=m1v1+m2v2，在发生互相作用后两球的总动量：pˊ=p1ˊ+p2ˊ=m1v1ˊ+m2v2ˊ。
设碰撞过程中两球互相斥力分别是F1和F2，力的作用时间是依据牛顿第二定理，碰撞过程中两球的加速度分别为：
依据牛顿第三定理，大小相等，方向相反，即：F1=-F2
所以：m1a1=-m2a2
碰撞时两球之间力的作用时间很短，用
表示，这样加速度与碰撞前后速率的关系就是：
代入上式，整理后可得：
或写成：
即：
这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的。
2、弹性碰撞：
弹性碰撞前后系统的总动能不变，对两个物体组成的系统的正碰情况满足：
即
两式联立可得：
当v2=0时，
此时若m1=m2,，这时v1'=0;v2'=0，碰后实现了动量和动能的全部交换。
若m1>>m2,，这时v1'约等于v1,v2'约等于2v1，碰后m1的速率几乎未变，仍依照原方向运动，质量小的物体以两倍v1的速率往前运动。若m2>>m1,，这时v1'约等于-v1;v2'约等于0，碰后m1按原先的速率弹回，m2几乎不动。
3、非完全弹性碰撞：
非完全弹性碰撞情况下，假若物体碰撞后，各自具有不同的速率，但系统的总动能增大，机械能损失较大。0
4、完全非弹性碰撞：
物体A碰撞物体B，碰撞前，物体A的质量mA=m1，物体A的速率vA=v1，物体B的质量mB=m2，物体B的速率vB=v2。
因为物体A碰撞物体B，于是v1≠v2，v1≠0，v2≠0，若v1与v2等大反向，则v1≠0，v2≠0，v1≠v2，v2=-v1，v1-v2=v1-(-v1)=2v1，当v1=0且v2=0时，物体A不碰撞物体B且v1与v2同向。
碰撞前，物体A与物体B的总动量P
因为m1、v1、m2、v2为定值，于是P为定值，物体A与物体B的总动能Ek
碰撞后，物体A的质量mA=m1，物体A的速率vA=v'1，物体B的质量mB=m2，物体B的速率vB=v'2，物体A与物体B的总动量
因为物体A与物体B的总动量不变，于是
因为P为定值，于是P'为定值，物体A与物体B的总动能
因为能量可能会损失，于是
当v'1=v'2时，物体A与物体B的总动能Ek'最小。当物体A与物体B的总动能Ek'最小时，v'1=v'2，这些碰撞称作完全非弹性碰撞。
扩充资料：
动量守恒定理是自然界最普遍、最基本的规律之一。除了适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是哪些性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定理总是适用的。
适用条件：
系统不受外力或则所受合外力为零；系统所受合外力似乎不为零，但系统的内力远小于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒。
系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒。并且若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条动量守恒，则系统在该方向上动量守恒。
参考资料：