（数学）简谐运动物体的运动学特征

单摆周期公式的推论一．简谐运动物体的运动学特点作简谐运动的物体要遭到回复力的作用，但是这个回复力F与物体相对于平衡位置的位移x成反比，方向与位移x相反，用公式表示可以写成kxF−=，其中k是比列系数。对于质量为m的小球，假定t时刻（位移是x）的加速度为a，依据牛顿第二运动定理有：kxmaF−==，即xmka−=因而小球的加速度a与它相对平衡位置的位移x成反比，方向与位移x相反。由于x（或F）是变量，所以a也是变量，小球作变加速运动。把加速度a写成，并把常数mk写成2得到xdtxd222−=。对此微分方程式，借助高等物理方式，可求得其解为)sin(+=tAx。这说明小球的位移x是按余弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速率为Tmk2==单摆公式，因而得到作简谐运动物体的周期为kmT2=。二．单摆周期公式的推论单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的宽度又比球的半径大好多，都可以觉得是一个单摆。当摆球静止在O点时，摆球遭到的重力G和摆线的拉力T平衡，如图1所示，这个O点就是单摆的平衡位置。FGa物理好资源网(原物理ok网)

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球遭到的重力G和摆线的拉力T就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P时，重力G顺着弧形切线方向的分力sin1mgG=提供给摆球作为来回震动的回复力sin1mgGF==，当偏角很小﹝如＜010﹞时，lx≈≈sin，所以单摆遭到的回复力xlmgF−=，式中的l为摆长，x是摆球偏离平衡位置的位移，减号表示回复力F与位移x的方向相反，因为m、g、L都是确定的常数，所以lmg可以用常数k来表示，于是上式可写成kxF−=。为此，在偏角很小时，单摆遭到的回复力与位移成反比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把lmgk=代入到简谐运动物体的周期公式，ABG图1FG图3E图4即可得到单摆的周期公式是glT2=。三．单摆周期公式在特定条件下的应用讨论1：单摆周期公式中的l指的是单摆的摆长，但在特定情况下可以理解为是等效摆长。例1．如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。FGa物理好资源网(原物理ok网)

已知摆长为L，摆线与天花板之间的倾角为。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。解析小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为sinL，所以此双线摆的周期gTLsin2=。讨论2：单摆周期公式中的g指的是重力加速度，而在好多特定条件下可以理解为g′——摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球所遭到的外力中去除所有的一直顺着摆线方向的力，剩余的各力顺着摆线方向的合力F与摆球质量m的比值，即mFg=′，（在加速运动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小maF=′，方向与系统的加速度的方向相反）此时，单摆的周期公式就弄成了'2glT=。例2．在电场中带电摆球的摆动周期如图3所示，长为L的绝缘细线上端系一带电量为q+、质量为m的小球，整个装置处于场强为E方向竖直向上的匀强电场中，在摆角大于05时，求它的摆动周期。解析摆球所遭到的力如图3所示即细线的拉力F、重力mg和电场力Eq。当摆球在平衡位置保持相对．．静止．．时，摆球所遭到的外力中去除所有的一直顺着摆线方向的力，剩余的各力顺着摆线方向的合力EqmgF+=，则+=+=′，摆动的周期是+=2。FGa物理好资源网(原物理ok网)

若整个装置处于如图4所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为22)(+=。例3．如图5所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。GaT图5F′L图2解析设升降机匀加速上升的加速度为a，单摆的摆长为L，摆球的质量为m。当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球遭到的力如图5所示即摆线的拉力T和重力G以及惯性力maF=′，方向与系统的加速度方向相反。摆球所遭到的外力中去除所有的一直顺着摆线方向的力，剩余的各力顺着摆线方向的合力mamgF+=，因而agmFg+==′，所以单摆的周期+=′=22。如图6所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆长为L，系统水平往右的加速度为a，摆球的质量为m，求这一单摆的周期。解析摆球遭到摆线的拉力T和重力G以及惯性力maF=′，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。摆球所遭到的外力中去除所有的一直顺着摆线方向的力单摆公式，剩余的各力顺着摆线方向的合力22gamF+=，因而，22gag+=′，单摆的周期+=。例4．如图7所示为一单摆，摆绳长为L，摆球的质量为m，摆球带有正电荷的电量为q，在单摆的悬点处放有一带电量为Q的正电荷，试求这一单摆的周期。FGa物理好资源网(原物理ok网)

解析摆球遭到摆绳的拉力T、重力G和电场力F′。其中电场力F′始终顺着摆绳的方向，当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球遭到的外力中去除所有的一直顺着摆绳方向的力，剩余的各力顺着摆绳方向的合力mgF=，gmFg==′。因而，单摆的周期是glT2=。例5．如图8所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量为q+，磁感应硬度为B，求该单摆的周期。解析摆球在平衡位置周围往复运动时，不仅重力和拉力外，还将遭到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向总是顺着摆线的方向，摆球所遭到的外力中去除所有的一直顺着摆线方向的力，剩余的各力顺着摆线方向的合力mgF=，gmFg==′。因而，单摆的周期是glT2=。aG图6F′T图71F′G+q,mT图8EEqFGa物理好资源网(原物理ok网)