单摆是小学数学必修3-4中第一章机械震动第二节内容。我们晓得，当摆角大于
时，单摆的震动是简谐运动。按照实验探究发觉单摆做简谐运动的周期与振幅、摆球的质量无关，只与摆长和重力加速度有关，单摆周期公式为
。
在解决实际震动问题中单摆公式，往往涉及类单摆震动问题，以及单摆在不同环境中震动问题。对这种问题的解决就须要弄清楚两个问题，第一个问题是决定单摆震动快慢的实质是哪些？第二个问题是单摆的周期公式
是在哪些条件下探究得到的？
如图所示是单摆的理想模型。
单摆在震动过程中同时又在做弧形运动，摆球受重力和绳子的拉力。绳子的拉力和重力沿绳方向的分力的合力提供摆球做弧形运动的向心力，其只改变摆球运动速率的方向。而重力沿弧形切线方向的分力提供摆球做简谐运动的回复力，其只改变摆球运动速率大小，也就决定了摆球震动快慢。为此，回复力是改变摆球震动快慢的缘由，是判定单摆震动周期是否变化的根据。
在实验室（惯性参考系）中，摆球只受重力和绳子的拉力情境下，通过实验探究，得到单摆做简谐运动的周期公式
。假如单摆所处的环境变了、摆球所受力变了，其震动的周期将会如何变化呢？我们可通过与单摆的理想模型对比剖析，找到正确的结果。
下边举几个典型的情境剖析。
情境1：类单摆问题。
如图所示，小球在一弧形曲面上震动。
小球震动过程中，其受重力和弧形面的支持力，但是该支持力方向仍然指向圆心。与单摆的理想模型对比，弧形面对小球的支持力相当于单摆中绳子对摆球的拉力，小球震动的回复力也是重力沿弧形切线方向的分力提供，因而其震动周期为
。
例1：如图所示，光滑轨道的直径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相撞的位置是()
A.C点B.C点两侧
C.C点两侧D.不能确定
答案:A
解析:因为光滑轨道的直径远远小于运动的弦长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因而周期只与直径有关，与运动的弦长无关，两球都经四分之一周期同时抵达C点相撞，故选项A正确.
情境2：单摆在磁场中的震动。
如图所示，一摆球带正电的单摆在垂直于匀强磁场的竖直平面内震动。
摆球震动过程中，其受重力、绳子的拉力和磁场的洛伦兹力，洛仑兹力方向一直沿绳子方向。与单摆的理想模型对比，摆球震动的回复力依然是重力沿沿弧形切线方向的分力提供，而洛仑兹力只影响绳子拉力大小的变化，因而其震动周期仍为
。
例2：如图所示，用绝缘细棉线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（）
A.当小球每次通过平衡位置时，速率相同
B.当小球每次通过平衡位置时，动能相同
C.当小球每次通过平衡位置时，棉线拉力相同
D.撤掉磁场后，小球摆动周期变大
答案：B
解析：带正电小球所受洛仑兹力和拉力不做功，只有重力做功，系统机械能守恒。过平衡位置时，小球的动能相同，其速率大小相等，但方向不一定相同，因而，B正确，A错误；小球过平衡位置时，运动方向不同时，其所受洛仑兹力方向也不同，棉线拉力不同，因而，C错误；小球所受洛仑兹力不提供回复力，撤掉磁场后，其震动的回复力不变，震动周期不变，因而，D错误。
情境3：单摆在电场中的震动。
如图所示，一摆球带正电荷的单摆在竖直下的匀强电场中震动。
摆球震动过程中，其受重力、绳子的拉力和电场的电场力，电场力方向一直竖直向上。与单摆的理想模型对比，单摆震动的回复力是由重力和电场力沿弧形切线的分力的合力提供，摆球震动变快了，因而，该单摆震动周期不能再用
直接估算了。但重力和电场力合力是方向一直竖直向上的恒力，相当于单摆理想模型中的重力作用，我们称之为等效重力，用等效重力乘以摆球质量得等效重力加速度，因而，该单摆的周期可用
来估算。
例3：如图所示，用长为L的绝缘细棉线悬吊着的带电量为+q的小球m，在竖直向上的匀强电场E中做简谐运动，则（）
A.当小球每次通过平衡位置时，线绳的拉力不同
B.小球做简谐运动的周期为
C.小球做简谐运动的周期为
D.撤掉电场后，小球摆动周期变大
答案：CD
解析：带正电小球在电场中运动时，只有重力和电场力做功，按照动能定律可知，小球每次过平衡位置时速率大小相同。在平衡位置时棉线拉力相同，A错误。小球做简谐运动时，等效重力加速度为
，单摆周期为
，为此，B错误，C正确；当撤掉电了场后，只有重力沿弧形切线的分力提供回复力，即单摆震动的回复力降低，震动变慢，震动周期变大，因而，D正确。
情境4:单摆在加速运行的扶梯内的震动。
如图所示，在加速向下运动的扶梯中，一个悬挂在扶梯底部的单摆在竖直平面内震动。
摆球在震动过程，其受重力和绳子拉力。与单摆的理想模型对比，该单摆不是在惯性参考系中震动的，其震动周期不能再用
直接估算了。按照广义相对性原理和等效原理，“一个不受引力作用的加速度系统跟一个受引力作用的惯性系统是等效的”。我们可以把以加速度a向下加速运动的扶梯等效为一个重力加速度为
的惯性参考系来剖析。因而，该单摆的周期可用
来估算。
例4：如图所示，一扶梯以加速度a竖直向下运动，其底部悬挂一摆长为L的单摆在竖直平面内做简谐震动。则（）
A.小球做简谐运动的周期为
B.小球做简谐运动的周期为
C.小球做简谐运动的周期为
D.当扶梯停止运动时，单摆的周期要变大。
答案：BD
解析：以加速度a向下加速运动的扶梯不是惯性参考系，不能用单摆周期公式
直接求周期，因而，A错误；可把加速的扶梯等效为一个惯性参考系时，其内的重力加速度为
，所以，
，因而，B正确；当扶梯停止运动时，单摆震动周期为
，可见，其震动周期变大，因而，D正确。
训练园地：
1.如图所示，摆长为l的单摆置于夹角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角震动时的周期为()
A.
B.
C.
TD.以上答案都不对
答案C
2.如图所示，带电小球A固定，再其下用长为L的绝缘线绳悬挂一个带电小球B，当小球B做简谐运动时，则（）
A.小球做简谐运动的周期等于
B.小球做简谐运动的周期小于
C.小球做简谐运动的周期大于
D.不晓得小球带电量大小，无法确定小球震动周期。
答案：A
3.如图所示，用长为L的绝缘细棉线悬吊着的带电量为+q的小球m，在竖水平往右的匀强电场E中做简谐运动，则（）
A.当小球速率最大时，线绳与竖直方向倾角
B.当小球速率最大时，棉线拉力大小为
C.小球做简谐运动的周期为
D.撤掉电场后，小球摆动周期变大
答案：ACD
4.如图所示，在沿夹角
的光滑斜面下降的货车上，用长为L的细线悬吊一个小球m，当小球在竖直平面内做小角度震动时单摆公式，则（）
A.小球做简谐运动的周期为
B.小球做简谐运动的周期为
C.当小球速率最大时，细线与竖直方向倾角
D.当货车停在斜面上时，小球做小角度震动的周期变大
答案：BC
