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37卷第7期2015年7月数学教学PHYS1CSNGVoL37NO7July2015应用磁矩守恒解答磁约束问题吴庆华山东省单县中级学校广东223600摘要磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动其基本原理是带电粒子在磁场中遭到洛伦兹力作用仅从受力情况出发剖析磁镜场中带电粒子的运动情况往往比较困难结合磁矩守恒思想能达到意想不到的效果通过例题介绍磁矩概念证明带电粒子在磁镜场中运动时磁矩守恒并应用磁矩守恒性质解释磁镜场约束现象和求解奥赛题关键词磁矩磁矩守恒磁镜场约束文章编号10020748201570016中图分类号G6337文献标识码B一磁矩和磁矩守恒磁矩是表征载流线圈或微观粒子磁性的物理量计算公式为miSn其中i为电压硬度S为线圈面积n为与电流方向成右手螺旋关系的单位矢量例题11质量为m带电量为q速率为的带电粒子在匀强磁场B中做匀速圆周运动产生一个圆电压环如图1所示该电压环的磁矩称为粒子的回旋磁矩试写出粒子回旋磁矩的大小的表达式图1图22非匀强磁场B不随时间变化仅随空间缓慢变化磁场关于z轴对称磁场的非均匀尺度远大于带电粒子在该磁场中运动的回旋直径粒子的运动可以近似看成绕磁感线的螺旋运动如图2所示不构成磁矩图中未画出试证明运动带电粒子的回旋磁矩是一个守恒量解析1设带电粒子在匀强磁场中做圆运动的直径为R则电压环的面积为丌R等效电压强度为一景所以回旋磁矩为一IS一此处磁矩写成以免与质量混淆再借助R一T一代入得回旋JNAN一通常情况下与B不垂直回旋磁矩写为一2借助图3沿磁场对称轴取为轴在垂直于z轴的平面上取平面极坐标r和臼因而r构成一个柱座标系因磁场相对于z轴对称B一0B的出现缘于B沿z轴的变化粒子运动的速率满足一口其中决定了所在磁场绕对称轴所做的圆周运动使圆轨道垂直联通磁场的平缓变化使粒子近似做螺旋线的运动图3图4借助空间对称的随空间缓慢变化磁场中B的存在先讨论B和B的关系为此取一很小柱形封闭面使z轴为柱轴直径为r高为z如图4所示穿进和穿出柱面的磁通量之和为零磁场高斯定理即B2nrAzBr一04z7c一Br一0z7r其中B为柱侧面上沿径向向外的平均磁感应强度37卷第7期数学教学面看B方向径向向里B将为负值由于侧面很小近似看成侧面上的磁感应强度柱面两端面上的磁感应强度近似取r一0处的磁感应强度即Br一0z和Br一0z解得B一一号Br一0z一B一0zrBf210一一l此处B为z轴上的磁感应强度值又由于B的存在带电粒子沿z方向将存在加速度满足动力学等式AVz一上B一若把式中r作为粒子回旋直径Rz轴上的B写成B则粒子加速度可写为一一ABNNR再利用一丢代入式得一一AB一一垒旦2B0一一l4J一tPAt因一z一且为定值有一1删12上A12一一一一一一一因有一一At联卧式和得一垒由此知必为恒量二磁矩守恒的应用1解释磁约束现象1磁镜场约束两端呈瓶颈状的磁感线如图5瓶颈处的磁场强能将带电粒子反射回来也称作磁镜从而限制粒子沿磁场方向的移动使粒子Bo8图5在回旋运动的同时不断地来回穿梭被约束在两端磁镜之间这些现象称作磁镜场约束2解释当粒子从弱磁场区向强磁场区运动时由磁矩一争守恒特性口上将随着B的逐渐增强而不断增大又因为带电粒子在磁场中运动速度保持不变且一l47J将随着I的增大而减少如果磁镜咽喉处的磁场特别强则当某处一时便消失称镜点同时此处的洛伦兹力除了粒子做圆运动所需分力外另一个分力将把粒子推向弱磁场方向发生粒子反射同样的情况出现在另一端的镜点于是粒子将在两镜点间陆续反射而被捕获在弱场区设弱场的最小磁感应硬度为B该处粒子的速度与磁场的倾角称投射角为则镜点处的磁感应硬度B应满足条件一改写为B一口假如磁镜极大磁场为B则投射角小于的ln口粒子被捕获满足sin一L0当0粒子将Dm穿过磁镜而逃逸2应用解题例题21999年全省奥赛世锦赛围绕月球周围的磁场呈两极强中间弱的空间分布1958年范阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带范阿伦幅射带的推论有人在实验室中通过实验装置形成了如图6所示的磁场分布区域MN在该区域中磁感应硬度B的大小沿轴从左到右由强变弱再由弱变强对称面为PP已知z轴上0点磁感应硬度B的大小为JDP一一二Mr一一一t一一一一P图6B两端M点的磁感应强度大小为B现有一束质量均为m电量均为q速度大小均为的粒子在0点以与z轴成不同的投射角a往右半空间发射设磁场足够强粒子只能在由邻近轴的磁感应线围成的截面积很小的磁力管内运动试剖析说明具有不同的投射角0t的粒子在磁场区MN间的运动情况剖析这是一道阐述题要求通过必要的估算半定性半定量地说明各个粒子如何运动解答这类题的关键是分析清楚题中有哪些物理过程以及过程和过程间有什么不同哪些联系分析清楚从现象的产生发展到结果造成了什么数学量的变化以及怎样的变化本题中的粒子投射角a不同物理37卷第7期数学教学过程的共同点除a一90外都是做螺旋形运动不同点只是各个螺旋线的直径斜度不同而已解1带电粒子沿轴做螺旋运动时受到阻力而减速设粒子达到磁感应硬度为B处的速度为其垂直和平行于磁场的方向的分速率分别为J和粒子刚从0点射出时有I一sin按照磁矩守恒一一一sin2Go因为粒子在磁场运动过程中洛伦兹力不做功粒子动能守恒即速度7d为守恒量有7d一口j由式知粒子到达不同的B处73将有变化再由式厂一得V一470一1一sina此式说明随着沿轴磁场B的减小平行磁场方向的速度口将急剧减少轴向速率的减少是由于粒子沿轴往右运动时受到阻力因磁力管壁的磁场与z轴不平行粒子在运动过程中受到的洛伦兹力厂斜向指向z轴如图7所示厂是平行于z轴的分量它成为阻碍粒子沿轴向右运动的阻力厂I是洛伦兹力垂直于z轴的份量它为粒子做螺旋运动提供粒子做圆周运动的向心力由圆半径表达式和rr一f一U一荫P图7式得rm7308113or0此式表qBBo明螺旋直径随磁场B的减小而降低结合式螺旋运动的轴向速率渐渐减少即螺旋斜度逐步减少若粒子抵达M端它必定以FM为直径做圆周运动70sin口o1qBMB2临界投射角由式知若以某个投射角tXOL发射的粒子抵达M点时其平行于磁场方向的速率M恰好满足1一安sin虮即sina0L候则粒子刚好在M点轴向速率为零此时VM一即垂直于磁场方向的分速度最大Ol称为临界投射角由式易知投射角aa的粒子在未抵达M点时轴向速度已减至零这些粒子将在小于MN点距离范围内相对于对称面PP做周期的往复螺旋运动投射角越大往复运动的距离越小当投射角a90时粒子就在对称面PP内做直径为rITKU0的厕周qD运动小结粒子射入分布对称非匀强磁场倘若仅从受力情况出发分析带电粒子的运动情况往往比较困难结合磁矩守恒思想很容易判断粒子沿z轴直线运动的速率和垂直z轴的圆周运动的半径如何随座标z的变化而变化参考文献1殷实最新国际国外数学奥林匹克大赛优化解题题典IM长春山东教育出版社20123393402程稼夫高中数学奥赛补习教程电磁学IM南京中国科技学院出版社20042492523NicholasJGiordano计算物理M北京复旦大学出版社2007更正本刊2015年第5期中探讨等效思维在小学物理解题中的运用一文的作者储成节来信要求更正如下1第56页例4这一段最后已知未一1000kgm应更正为已知V木一1000cm2第56页例4下面一段最后所以解出液体的密度为应更正为所以解出木块的密度为本刊2015年第5期第5页关于爱因斯坦博得1928年诺贝尔化学学奖1928年应当更正为1921年18
