一、重积分应用建模的基本思想与步骤
(1)基本思想：元素法（微元法）
(2)建模步骤：分割取近似，作和求极限
积分可估算的量：所求量分布在有界闭域上的整体量，对区域具有可加性；
用重积分解决问题的方式：用微元剖析法(元素法)，从积分定义出发完善积分模型。
二、二重积分的几何意义
1.平面区域的面积
平面区域的面积为被积函数为的二重积分，即
2.曲顶柱体的容积
被积函数的二重积分，即以面上的平面区域为底物理应用实例，以其边界为准线、母线平行于轴的柱面为侧面，顶面为的描述的曲面的曲顶柱体的容积，即
三、三重积分的几何意义
空间区域的立体容积为被积函数为的三重积分，即
四、空间立体容积的积分模型
基于曲顶柱体的容积估算公式，有如下立体容积的估算模型：
1．简单型立体区域的容积
即空间区域可以描述为
的立体区域的容积为
2．简单型立体区域的容积
即空间区域可以描述为
的立体区域的容积为
3．简单型立体区域的容积
即空间区域可以描述为
的立体区域的容积为
【注】对于其他立体，可以通过母线平行于座标轴的柱面将其分割为一些简单区域，之后利用以上模型分别估算再求和。
五、曲面面积的积分模型
基于“以平代曲”，以切平面的面积近似曲面的面积，对于简单类型的曲面，有如下曲面面积的估算模型：
1．简单型曲面的面积
即曲面可以描述为
的曲面的面积为
2．简单型曲面的面积
即曲面可以描述为
的曲面的面积为
3．简单型曲面的面积
即曲面可以描述为
的曲面的面积为
4.三元多项式描述的曲面面积估算公式
若光滑曲面多项式为且，则由
得曲面面积估算公式为
5．球座标系下的曲面面积的估算
球座标系下，面积微元可以近似为直径为的球面的表面积来估算，即有
因而有
如求球心在原点，直径为的球面的面积估算。
【注】对于其他曲面，可以通过母线平行于座标轴的柱面将其分割为一些简单区域，之后利用以上模型分别估算再求和。
6.借助曲面的参数多项式求曲面的面积
曲面由参数多项式
给出,其中是一个平面有界闭区域，又,,在上具有连续的一阶偏行列式,且
不全为零，则曲面的面积为
其中
六、重积分的数学应用——质量
1．平面薄片的质量
基于数学上的质量估算公式，即均匀面密度为，面积为的平面薄片的质量估算公式，即
面密度为，分布在座标面上区域的平面薄片的质量为
若果将平面区域所在区域定义为面或面，则有
2．空间立体的质量
基于数学上的质量估算公式，即均匀体密度为，容积为的空间立体的质量估算公式，即
体密度为，占有空间区域的空间立体的质量为
七、质心与质心的估算
刚体又称为重心，它与物体的平衡状态有关，在研究该物体的有关热学系统的个别问题时，等价于研究将物体的质量全部集中在刚体的质点的相关热学问题．建立空间物体的刚体估算模型基于数学上分布于空间位置的质点系的刚体估算公式，即
1．空间立体的刚体估算模型
体密度为，占有空间立体区域的立体的刚体估算模型为：
【注】当物体的密度为常数时，刚体称为物体的质心，此时有
其中为立体的容积。借助该公式，对于规则图形的积分区域，在晓得质心坐标的情况下可以拿来估算变量一次方的积分.具体参见讲义例题.
2．平面薄片的刚体
面密度为物理应用实例，占有平面区域的平面薄片的刚体估算模型为：
非常地，当为常数，即平面薄片密度分布均匀时，得到
其中为该薄片的面积．此时的刚体只与薄片的几何形状有关，刚体称为平面薄片的质心。
八、转动力矩
当物体绕轴转动，拿来描述转动物体所存储的能量的化学量是转动力矩（或称为惯性矩、二阶矩）．
建立转动力矩的估算模型基于如下估算公式：
它表示质量为，距离轴的距离为的质点绕轴转动所形成的转动力矩。
1．平面薄片转动力矩估算模型
面密度为，占有平面区域的平面薄片关于轴、轴、原点的转动力矩估算模型为：
2．空间立体转动力矩估算模型
体密度为，占有空间立体区域的立体关于轴、轴、轴、原点心估算模型为：
【注】使得
创立的，，称为物体关于相应轴的旋转直径，其中为物体的质量。
九、物体对质点的引力积分模型
基于质点间的万有引力估算公式、力（向量）的分解和合成估算公式，即
其中为质点间的引力关于轴、轴、轴方向上的分力，为力的三个方向角。
基于共线力的合成为力的代数和的推论，以三个座标轴上的分力代数和构成的向量
为最终的物体对质点的引力，引力的大小为
体密度为，占有空间立体区域的立体对坐落，质量为m的质点的引力在三个座标轴方向份量的大小分别为
【注】平面上的引力，即相应一个份量的座标为0即可.
关于重积分、重积分估算的通常思路与技巧的详尽剖析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分估算的通常思路与技巧及三种座标系下积分的估算步骤”章节中的五个教学视频：
•第1节：三重积分估算的通常思路与步骤
•第2节：估算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例剖析
•第3节：柱座标系中估算三重积分的思路与步骤实例剖析
•第4节：估算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例剖析
•第5节：球座标系中估算三重积分的思路与步骤实例剖析
另外在“、、全国学院生物理大赛世锦赛非语文类试卷解析”等在线课堂对重积分的各种估算方式和空间立体容积的估算方式分别进行了深入的剖析与剖析！
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参考讲义
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