摘要：本文主要介绍数学学中的对称性、因果关系与守恒定理
在现代数学学中对称性是个很深刻的问题。在粒子化学、固体化学、原子化学等许多领域里，对称性的概念都很重要。对称性的概念最初来始于生活。在艺术、建筑等领域中，所谓“对称”，一般是指左右对称。人体本身就有近似左和右的对称性。各种建筑，非常是唐代建筑都有较高的左右对称性。不仅左右对称之外，还有轴对称、球对称等等。
图1祈年殿
哪些是对称性？
为了介绍对称性的普遍定义，我们先引进一些概念。首先是“系统”如何判断动量和角动量是否守恒，它是我们讨论问题的对象；其次是“状态”，同一系统可以处在不同的状态；不同的状态可以是“等价的”，也可以是“不等价的”。我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作“变换”，或则说，我们给它一个“操作”。假如一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或则说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作称作该系统的一个“对称操作”。
图2旋转的陀螺
比如，一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作来说是对称的；或则说，旋转任意角度的操作都是该圆的对称操作。假如我们在圆内加一对互相垂直的半径，这个系统的对称操作就少多了。拐角必须是90度的整数倍，操作才是对称的。
1951年，荷兰物理家外尔提出了关于对称性的普遍严格的定义：“如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或则说，状态在此操作下不变，我们就说系统对于这一操作使对称的，而这个操作称作这个系统的一个对称操作。”常见的对称性时空操作有空间的平移和转动以及时间的平移。
图3英国物理家外尔
一个物体发生一平移后，若仍和原先相同，这形体就具有空间平移对称性。平移对称性有高低之分，一条无穷长直线对沿自身反向任意大小的平移都是对称的。一个无穷大平面对沿平面内的任何方向平移都是对称的。但晶体构成六面体晶格点阵只对沿确定方向，但是一次平移的“步长”具有确定值的平移才是对称的，显见晶体的平移对称性就低。
假如使物体绕某一固定轴转动一个角度，若仍和原先相同，这么这些对称称作转动对称或轴对称。轴对称也有级次之别。如树枝图形绕中心线旋转180度后可恢复原状如何判断动量和角动量是否守恒，而圆形的雪花绕通过中心的垂直轴转动60度后就可以恢复原状。前者比后者的对称性级次高。天坛祈年殿的外型绕其中心垂直轴几乎旋转过任意角度都和原状一样，所以它具有更中级次的转动对称性。
图4枫叶的对称性
一个奢华不变的系统对任何间隔Δt的时间平移表现出不变性，而一个周期性变化的系统（如单摆）只对周期性T数倍的时间平移不变。她们都具有一定的时间平移对称性。
化学定理的对称性
以上对称性都是指某个系统或具体事务的对称性，另一类对称性是数学定理的对称性，它是指经过一定的操作后，化学定理的方式保持不变。因而化学定理的对称性又叫不变性，这类对称性在数学学中具有更深刻的意义。
图5牛顿第二定理验证试验装置
数学定理的空间平移对称性。
构想我们在空间某处做一个化学实验，之后将这套实验（连同影响该实验的一切外部诱因）平移到另一处。假如给予同样的起始条件，实验将会以完全相同的方法进行。这说明化学定理没有因平移而发生变化。这就是数学定理的空间平移对称性。它表明空间各处对数学定理是一样的，所以又称作空间的均匀性。
图6迈克尔逊莫雷试验示意图
数学定理的转动对称性。
假如再空间某处做实验后，把整套仪器（连同影响实验的一切外部诱因）转一个角度，则在相同的起始条件下，实验也会以完全相同的形式进行，这说明数学定理并没有因转动而发生变化。这就是数学定理的转动对称性。它表明空间的各个方向对数学定理是一样的，所以又称作空间的各向同性。
数学定理的时间平移对称性。
假如我们用一套仪器做实验，该实验进行的方法或只需和此实验开始的时刻无关的。无论在哪些时侯开始做实验，我们得到完全一样的结果，这个事实表示了数学定理的时间平移的对称性。
图7牛顿摆
关于数学定理的对称性有一条很重要的定理——对应于每一种对称性都有一条守恒定理。诸如，对应于空间均匀性有动量守恒定理，对应于空间的各向同性有角动量守恒定理，对应于时间平移对称性有能量守恒定理，对应于空间反演对称性有宇称守恒定理等。
在时间反演变换下，保守力f、加速度a和质量m都是不变的，所以牛顿第二定理f=ma对于保守力具有时间反演不变性，这是数学定理的对称性。地面上一个物体所受的重力f=mg所具有的时间反演不变性，也是数学定理的对称性。在重力作用下的自由落体，经过时间反演，就弄成了上抛物体，它的速率反向了，其运动具有时间反演不变性。若把自由落体的录象倒过来播放，听众不能判定正反。为何？由于二者都符合数学规律。（这儿没有考虑空气的阻力）
图8苹果自由落体运动
在速率不大的情况下，空气阻力f=-γv，符号表示阻力的方向总与速率v相反。在时间反演变换下v→-v，因而阻力公式弄成f=γv。亦称阻力公式不具有时间反演不变性。这就是数学规律对于时间反演的不对称性了。若果将空气阻力效应显著的落体运动录出来，倒着放映，听众才会察觉不对头，由于它违背化学规律。
因果关系和对称性原理
自然规律反映了事务之间的因果关系。所谓“因果关系”就是在一定条件下回出现一定的现象。在这些情况下我们把后者（条件）称为“原因”，前者（现象）称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的须要有两条：可重复性和预见性。虽然这就是科学本身存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的诱因必将形成相同的结果”。但宏观世界的事务没有绝对相同的，我们可以把用词放宽一些，用“等价”一词取代“相同”，把因果关系归结为：等价的诱因→等价的结果。这儿的箭头表示“必定形成”。这就是因果性的等价原理。
图9鸡和蛋之间的因果关系
一个操作形成“相同”或“等价”的疗效，就是不变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，上述等价原理可以改写成下述公式：对称性的诱因→对称性的结果。
应当注意，因果关系的等价原理中箭头是双向的，即只有“等价的诱因必将形成等价的结果”，并且等价的结果可能来始于不等价的缘由。因而上列用对称性来抒发的因果关系中箭头也是双向的，即对称的结果也可能来始于不对称的缘由，所以我们说：缘由中的对称性未必反映在结果中，即结果中的对称性之少有诱因中的对称性这么多。反过来应当说：结果中的不对称性必在诱因中有反映，即缘由中的不对称性起码有结果中的不对称性这么多。这个原理称作对称性原理，它是皮埃尔•居里于1894年首先提出来的。
图10能量转化的基本规律
守恒定理与对称性
客观世界中存在个别对称性，如时间的平移对称性、空间的平移对称性、空间的各向同性等，每一种对称性都对应有一条守恒定理。对此，美国物理家诺特于1918年进行了严格的论证。看一下能量守恒定理。从宏观的角度看，物体系有保守系和非保守系之分，后者机械能守恒，前者则不然。从微观的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的互相作用可通过互相作用势（分子力势能）来抒发。
图11尼克斯发射符合动量守恒原理
时间均匀性，或则说，时间平移不变性意味着，这些互相作用势只与两粒子的相对位置有关，亦称对于同样的相对位置，粒子间的互相作用势不应随时间而变。在这些情况下系统的总能量（动能+势能）自然是守恒的。
我们可以举例来说明，在相反的情况下能量可以不守恒。某市建设了一个抽水蓄能电厂，夜晚用电低潮是抽水上山，晚上用电高峰时防水发电。借助昼夜能源的价值不同，可以获得挺好的经济效益。如果昼夜变化的除了是能源的价值，并且是重力加速度g（它代表着万有引力的硬度），从而水闸中同样水位所蓄的重力势能mgh做周期性的变化，则抽水蓄能电厂获得的除了是经济效益，并且是能力的盈余。于是永动机的梦想实现了。而时间的平移不变性不容许出现此类情况。
要晓得牛顿第三定理，即斥力和反斥力大小相等，方向相反和动量守恒定理是等价的，我们同样可以借助空间平移不变性推出动量守恒定理。也可以借助空间的各向同性推出角动量守恒定理。
本文关于对称性、因果关系与守恒定理就介绍到这儿了。男子伴们大家有哪些想说的吗？欢迎在下方的评论区上面留言参与。