作者|yubr
编辑|Joe's
1.序言
1899年，美国化学学家、量子理论的开山鼻祖马克斯·普朗克(Max)提出了一套特殊的单位制。
Max
他企图通过三个我们宇宙中的基本化学学常数：光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数来建立厚度、时间、质量、能量等基本数学量的基本单位，这种基本单位也称为普朗克量。
通过量纲剖析，普朗克发觉惟一可能的具有对应量纲的数学量为
等等。单纯从数值上来看，这种普朗克量很“极端”，它们对应了极短的时间尺度，极短的空间尺度，极高的能量标度。
一种常见于科普文中的说法是它们都表征了我们这个宇宙中的某种“极限”数值。
比如普朗克时间和普朗克尺度是我们宇宙中时间和空间的最小不可分割单元，普朗克能标是我们宇宙中所能达到的最高能标，等等。
但是，这些说法似乎是不正确的，或则起码是不严谨的。
我们接出来将从一些（起码看上去）更深刻的方面去考察普朗克量的真正涵义。
一颗闭门羹
本文一直是科普文
为了浅显我们将舍弃一些何必要的严格性
并略去所有的公式推论
所以读者可以放心地看下去
2.普朗克量中的基本常数
首先我们来考察组成这种普朗克量的三个基本数学学常数：光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数，在国际单位制下它们的数值分别为
这三个常数在数学学中非常基本和重要，由于它们分别是相对论、量子热学和引力理论的代言人。
2.1光速
1905年爱因斯坦构建了狭义相对论，完全地解决了麦克斯韦等式组和伽利略世界观之间的矛盾：时间和空间应当是平权的，它们随着惯性系的改变而一起“协同地变换”。
狭义相对论最重要的一个假定就是光速大小不随观者变化，在所有的惯性系中光速都是一个常数。
从这个假定出发，我们能推出惯性系之间的时空座标变换必须保持如下的四维时空间隔不变
进一步我们能推出惯性系之间时空座标变换的定量关系，也就是洛伦兹变换。
狭义相对论的一个重要结论就是它统一了质量和能量的概念。对于一个质量为的静止的物体，其能量由质量和光速平方的乘积给出
容易看出，前面定义的普朗克能标和普朗克质量之间也满足这样的关系
由于光速是一个对所有惯性观者都不变的常数，所以提到某个物体的质量和能量时我们完全可以将其视为一回事。
或则等价地，对能量的单位做一个重新标度()，我们可以将光速设为1，这就是所谓的自然单位制。
自然单位制的用处是所有的数学量的量纲都可以化为能量量纲的幂次，这对于标度计算非常便捷。在自然单位制下，普朗克能标和普朗克质量就完全是一回事了
同时，普朗克尺度和普朗克时间也完全是一回事了绝对光速焦耳定律，由于普朗克尺度就是光在普朗克时间内走过的距离
2.2普朗克常数
里面通过将光速设为1，我们统一了普朗克能标和普朗克质量，也统一了普朗克时间和普朗克尺度，这么普朗克能标(质量)和普朗克时间(尺度)之间有哪些关系呢？
这将不得不涉及到统治微观世界的量子理论。
1900年，为了解释宋体幅射的实验，普朗克假定宋体不能像精典数学中那样连续地幅射和吸收能量，对于角频度为的电磁波，其幅射和吸收的最小能量单元为
其中是一个和频度无关的极小常数，被称为约化普朗克常数。
普朗克的这些“能量以为基本单位进行量子化”的假定十分完美地解释了宋体幅射的实验曲线，并在以后成为了量子理论的开端。
1924年，德布罗意(de)提出实物粒子也具有波动性，其动量和波长之间的关系为
对于一个质量为的实物粒子，我们总可以定义一个特点波长，被称为粒子的康普顿波长()
康普顿波长的涵义是：
假如我们将一个粒子的位置确定到它的康普顿波长以内，这么具有的能量涨落将大到足以再形成一个这样的粒子。
这是由于按照海森堡的不确定性关系，我们无法同时确定一个粒子的位置和动量(能量)，它的位置确定得越精确，其动量(能量)的不确定度就越大，它们不确定度的乘积大约是的量级。假如我们将一个粒子的位置确切到其康普顿波长以内，这么由此带来的能量不确定度将小于这个粒子的静止能量，那么大的能量足以从真空中再形成一个这样的粒子。
从康普顿波长的定义我们容易发觉
普朗克尺度正是一个具有普朗克质量的粒子所具有的康普顿波长
或则从不确定关系的角度出发
当我们把时间确定到普朗克时间以内，其能量具有的不确定度将达到普朗克能标
出于和把光速设为1一样的诱因，在自然单位制下我们也把约化普朗克常数设为1，这样普朗克能标(质量)和普朗克时间(尺度)之间就成了简单的倒数关系
2.3牛顿引力常数
在精典化学时代，人们最引以为豪的成就就是能用同一个公式来估算天地万物之间的引力。
对于两个质量分别为和，相距为的质点，它们之间的引力由牛顿万有引力公式描述
其中的减号代表了吸引力，是一个和物体性质无关的常数，被称为牛顿引力常数，它描述了物体间万有引力的强弱。
牛顿的引力理论在碰到强引力场时会失效，它被爱因斯坦的广义相对论所取代，在广义相对论中，引力被描述为时空的弯曲。
和牛顿时空观不同的是，广义相对论中的时空不再是物质演变的背景舞台，而是会影响物质的分布，反过来物质的分布也会影响时空的几何。
物质和时空交织耦合在了一起，“物质告诉时空怎样弯曲，时空告诉物质怎么运动”，物质和时空之间的这些“爱恨情仇”在定量上由爱因斯坦场等式描述
其中等式右边的是爱因斯坦张量，它描画了时空的几何性质，而等式左边的是能动张量，它对应了物质的分布。
我们可以看见，在广义相对论中又一次出现了牛顿引力常数的身影，它现今描画了物质和时空之间耦合的硬度。
牛顿引力常数的再度出现是很自然的结果，由于在弱引力极限下，广义相对论必需要退化为牛顿的引力理论。所以有引力出现的地方，就必然有。
我们在前面可以看见，这个描述引力的常数，到底是怎么同我们宇宙中的“极限”量——普朗克量联系上去的。
2.4WHY?
前面我们通过剖析组成普朗克量的三个基本常数，讨论了不同普朗克量之间的关系，我们发觉它们似乎都是互相等价的，晓得了其中一个，也就晓得了其他几个。
非常地，在自然单位制下，它们之间就是简单的相等或则倒数关系。
这么接出来，我们要问一个基本的问题：
为什么通过，和的幂次组合才能得到我们宇宙中的“极限”数值呢？
一种常见的是光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数都是很基本的数学学常数，它们分别描述了相对论、量子热学和引力的基本性质，而这三个基本常数通过量纲剖析能组合出的惟一具有正确量纲的量就是前面列举的那些普朗克量。
这样的解释充其量只能说明普朗克量也应当是很基本的数学量，而且很有可能同时饱含了量子理论和引力的信息，但并没有回答问题的本质
它们为什么是我们宇宙中的“极限"量？
在接出来的两节中，我们将分别从引力和量子场论的角度，来考察普朗克量的“极限”之处。
3.黑洞：对不住我不能再轻了
广义相对论最大的成就之一就是预言了黑洞——一种引力极大、极其致密因而于连光都无法逃脱其禁锢的独特天体的存在。
在爱因斯坦1915年发表他的广义相对论后的短短一年，就由美国化学学家史瓦西()解出了场多项式的第一个解析解——史瓦西解。
这个解预言了球对称、不带电、不自转的黑洞的存在，这类最简单的黑洞被称为史瓦西黑洞。
对于一个质量为的史瓦西黑洞，它的“半径”(视界)由下式给出
这被称为史瓦西直径，它刚好就等于当初拉普拉斯所预言的“暗星”的直径。将一个物体保持质量不变并压缩到它的史瓦西直径以下，那它就成了一个黑洞。
我们如今考察一个质量为的史瓦西黑洞，并令它的史瓦西直径等于它的康普顿波长
我们发觉其对应的质量恰好就是普朗克质量！
这意味着
普朗克质量是最小的能稳定存在的黑洞的质量。
由于假如黑洞的质量大于普朗克质量，其对应的史瓦西直径将大于它的康普顿波长绝对光速焦耳定律，根据前面一节的阐述，这将形成足够大的能量涨落来从真空中生成另一个黑洞，因而这个黑洞不能稳定存在。
4.有效理论——基本数学理论的失效
我们晓得以量子场论为框架的标准模型相当作功地描述了电磁力、弱力和强力，但是标准模型被证明是可以重整化的。
然而引力并没有被包括进来，一个很重要的诱因就是引力无法重整化，症结在于引力的耦合常数，即牛顿引力常数的量纲是能量量纲的次，而一个理论的耦合常数若果是负的，这么这个理论就不可重整。
不可重整的涵义是没办法引入有限多的抵消项来清除圈图估算中的所有无穷大。
一个不可重整的理论称为有效理论，意思是这个理论只在某个特定的能标以下有用，一旦超过这个能标，这个理论就失效了。
这些能标的截断称为cutoff，cutoff的具体位置就由这个有效理论决定，虽然就是由它的耦合常数决定。
比如初期的弱互相作用理论中的四费米子互相作用，其耦合常数：费米常数的量纲也是，所以四费米子互相作用也是一个有效理论，一旦能标达到的时侯，四费米子互相作用就失效了，必需要被愈发完整的理论取代，后来我们晓得这就是电弱统一理论。
回到引力的问题来，在尝试把精典引力进行重整化的时侯，由于引力的耦合常数的量纲是，不可防止也要进行能标截断，截断的具体位置正是由牛顿引力常数决定
自然单位制下，代入牛顿引力常数的值，你会发觉这似乎就是普朗克能标
所以，普朗克能标的真正含意是……
精典引力理论失效的地方
而我们目前并没有一个成功的量子引力理论，所以对于普朗克能标以上的数学，我们没有任何理论可以进行描述。所以普朗克能标也是……
我们目前的所有数学理论能描述的最高的能标
有了普朗克能标的值，通过简单的换算就可以得到普朗克时间的值。
在宇宙大爆燃发生后的普朗克时间内，即秒内，依据不确定关系，宇宙的气温要低于普朗克能标。里面早已剖析过，在这个阶段我们没有任何有效的数学理论去描述它，所有现有的数学规律全部失效，所以在这个意义上，普朗克时间才被称为是我们宇宙中最小的时间尺度。
5.总结
本文的主要目的是想纠正好多人关于“普朗克时间和普朗克尺度是我们宇宙中的最小时空单元"的误会，以及由此形成的“我们的世界是离散化”的谬误。
量子化绝不是时空的离散化
主流的数学理论依然坚持觉得我们的时空是连续分布的，离散化的时空会破坏最基本的洛伦兹对称性。
最后，重要的事情只说一遍
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普朗克能标并不意味着宇宙中的最高能标
它只是我们目前已知的化学理论所能描述的最高能标
普朗克尺度也不是宇宙中的最小尺度
它只是我们目前已知的化学理论所能描述的最小尺度
附注：
[1]是微观世界中常用的能量标度，它等于十亿电子伏特。1电子伏特定义为一个电子通过1伏特的电场所获得的能量，它等于焦耳。对于微观世界，焦耳是一个过大的能量标度，所以我们更多采用电子伏特。（打个比方：我们用光年评判星体之间的距离，用公里评判月球上两地之间的距离，用米评判一个屋子里两个人之间的距离，用是否点击关注评判我和你之间的距离。）
[2]原文为“tellshowtocurve,tellshowtomove”，byJohn。
[3]严格来说会差一个因子，但这是无关紧要的。
[4]重整化是一种去除无穷大的技术。由于数学可观测量一定是有限大的，化学学家难以容忍一个“无穷大”的可观测量，然而量子场论的估算中会出现大量的无穷大，所以她们须要一个系统的方案来从那些无穷大中提取出和实验观测相符的有限量。可以重整化是一个理论“完备性”的基本要求。
[5]追忆一下，在自然单位制中，所有数学量的量纲都可以转化为能量量纲的幂次——也许你如今能感受到自然单位制的优越性了。
[6]有效理论的广泛性甚至远远超出量子场论和重整化的范畴，它的存在彰显了数学规律随着能量标度分层表现的特征，即处于不同能标处的化学系统有其自身的规律，它们独立演变、互不干扰。尚且，从原则上讲低能标处的化学规律可以由高能标处更基本的规律所决定，但当我们不晓得高能标处规律的时侯一样也可以通过有效理论来描述低能标时侯的数学规律并和实验符合得挺好。正如在发射湖人时只须要牛顿热学而不用考虑广义相对论，在煮奶茶时只须要热力学而不用考虑组成奶茶分子的夸克之间的量子色动力学一样，好多时侯我们只须要考虑有效理论就足够了——它不完备，而且很有效。
[7]凡事都有例外，作为量子引力的一个热门候选者，圈量子引力理论在一开始就舍弃了空间连续性和平滑性的假设，通过保守性地整合量子理论和广义相对论，它还能构建了一套自洽的理论——当然，那是另外一个故事了。在圈量子引力理论中，时空确实是离散化的，时空的最小基本单元大概就是普朗克时间和普朗克尺度。抛弃时空连续性的圈量子引力看上去像是一个怪胎，但，其实它是对的呢？