第十一章动量定律第1页，共44页。主要内容§11.2力的冲量§11.3动量定律§11.4刚体运动定律§11.1质点及质点系的动量第2页，共44页。动量定律对质点动力学问题：构建质点运动微分等式求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列举3n个微分等式，联立求解它们即可。实际上的问题是：2、大量的问题中，不须要了解每一个质点的运动,仅须要研究质点系整体的运动情况。1、联立求解微分等式(尤其是积分问题）特别困难。从本章起,即将述说解答动力学问题的其它方式,而首先要讨论的是动力学普遍定律(包括动量定律、动量矩定律、动能定律及由此推论下来的其它一些定律)。它们和牛顿定理一样，只适用于惯性座标系。第3页，共44页。动量定律它们都可以从动力学基本多项式推论下来。具有简明的物理方式，明晰的数学意义，表明两种量——一种是运动特点量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作药量(冲量、力矩、功等)——之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这种定律来解答动力学问题十分便捷简捷。本章研究质点和质点系的动量定律，完善了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定律的另一重要方式——质心运动定律。
第4页，共44页。§11.1质点及质点系的动量1、质点的动量质点的质量与速率的乘积，称为该质点的动量1）质点的动量是矢量，它的方向与质点速率的方向一致2）动量的国际单位是质点动量的矢量方式动量在空间直角座标系中的投影方式第5页，共44页。2、质点系的动量质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。令为质点系的总质量，定义质点系质量中心（刚体）C的矢径为则质点系的动量等于其全部质量与刚体速率的乘积，动量的方向与刚体速率的方向相同。§11.1质点及质点系的动量第6页，共44页。质点系动量在直角座标系oxyz下的投影表达式为：例1长为，质量为的匀质细杆，在平面内绕点转动，角速率为，求细杆动量。O解：细杆刚体的速率则细杆的动量为方向与相同§11.1质点及质点系的动量第7页，共44页。例2如图匀质滚轮，质量为，轮心速率为，则动量为例3如图绕中心转动的匀质轮，无论有多大的速率和质量，因为刚体不动，其动量总是零。§11.1质点及质点系的动量第8页，共44页。§11.2力的冲量作用在物体上的斥力与其作用时间的乘积，称为力的冲量。
1）力是常矢量：2）力是变矢量：力的元冲量力在有限时间间隔内的冲量为冲量的国际单位是1、力的冲量第9页，共44页。设力在直角座标系下的解析投影式则冲量在x,y,z三个轴上的投影式分别为2、合力的冲量§11.2力的冲量第10页，共44页。共点力系的合力的冲量等于力系中各分力的冲量的矢量和。假如有这n个力组成的共点力系作用在物体上，合力为，则共点力系的合力在时间间隔内的冲量为§11.2力的冲量第11页，共44页。§11.3动量定律1、质点的动量定律微分方式：质点动量的微分等于作用于质点上所有力的元冲量的矢量和。或积分方式：质点动量在有限时间间隔内的改变等于作用在质点上的所有力在这段时间间隔内的冲量的矢量和第12页，共44页。2、质点系的动量定律设质点系有n个质点，第i个质点的质量为，速率为，外界物体对质点的斥力为，称为外力，质点系内其他质点对该质点的斥力为，称为内力。按照质点的动量定律有这样的多项式共有n个，将这n个多项式两端分别相乘，得由于质点系内质点互相作用的内力总是大小相等，方向相反，且成对地出现，互相抵消，因而内力冲量的矢量和等于零。
1）微分方式：§11.3动量定律第13页，共44页。又因，于是质点系动量定律的微分方式为即质点系动量定律的微分方式：质点系的动量对时间的一阶行列式等于作用在该质点系上的所有外力的矢量和。向直角座标系oxyz投影可得：质点系的动量在某座标轴上的投影对时间的一阶行列式，等于作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。§11.3动量定律第14页，共44页。2)积分方式:质点系动量定律的积分方式：在某一段时间间隔内，质点系动量的改变，等于在这段时间间隔内作用于质点系上的所有外力的冲量的矢量和。投影到直角座标轴上得：在某一段时间间隔内质点系的动量在某一轴上的投影的增量等于作用于质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量在同一座标轴上投影的代数和。§11.3动量定律第15页，共44页。电动机的壳体用螺丝固定在水平基础上，电枢的质量是m1，定子的质量是m2，定子的轴线通过转子的刚体O1。制造和安装的偏差，使定子的刚体O2对它的轴线有一个很小的偏心距b（图中有意夸张）。试求电动机定子以匀角速率?转动时，电动机所受的总水平力和铅直力。bωω例题11-1§11.3动量定律第16页，共44页。
运动演示例题11-1§11.3动量定律第17页，共44页。解:取整个电动机（包括转子和定子）作为研究对象。选座标系如图所示。刚体C的座标为bωω刚体C的运动微分多项式为例题11-1§11.3动量定律第18页，共44页。因而求得刚体加速度在座标系上的投影把上式代入式(1)和(2)，即可求得Fx=?m2bω2cosωtFy=(m1+m2)g?m2bω2sinωtbωω例题11-1§11.3动量定律第19页，共44页。物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接动量定理单位划统一，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角φ0；释放后，细杆近似以规律摆动（k为已知常数），求物块A的最大速率。ABφ例题11-2§11.3动量定律第20页，共44页。运动演示例题11-2§11.3动量定律第21页，共44页。取物块和小球为研究对象动量定理单位划统一，其上的重力以及水平面的约束力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。
细杆角速为，当时，其绝对值最大，此时应有，即。vvrABφ解：由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速率，其值为例题11-2§11.3动量定律第22页，共44页。当此速率vr向左时，物块应有往右的绝对速率，设为v，而小球向左的绝对速率值为va=vr－v。依据动量守恒条件，有解出物块的速率为当时，也有。此时小球相对于物块有往右的最大速率kφ0l，可求得物块有向左的最大速率ABvvrφ例题11-2§11.3动量定律第23页，共44页。图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB，运动开始时，。试求单摆B的轨迹多项式。ABxφyxO例题11-3§11.3动量定律第24页，共44页。解：以系统为对象，其运动可用滑块A的座标x和单摆摆动的角度φ两个广义座标确定。解出单摆B的座标为mBgABxφyxO则因为沿x方向无外力作用，且初始静止，系统沿x轴的动量守恒，刚体座标xC应保持常值xC0。mAg例题11-3§11.3动量定律第25页，共44页。消掉φ，即的到单摆B的轨迹多项式：是以x=xC0,y=0为中心的椭圆多项式，因而悬挂在滑块上的单摆亦称为椭圆摆。
ABxmBgφmAgyxO例题11-3§11.3动量定律第26页，共44页。轨迹演示例题11-3§11.3动量定律第27页，共44页。3、质点系动量守恒定理假如作用于质点系的外力的主矢恒为零时，质点系的动量保持不变，即若则因而假如作用于质点系的外力主矢在某一座标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该座标轴上的投影保持不变。即若有则以上推论称为质点系动量守恒定理质点系的内力可以改变质点系中各质点的动量，但不能改变质点系的总动量，只有外力能够改变质点系的总动量。§11.3动量定律第28页，共44页。§11.4刚体运动定律1、质量中心刚体位置在直角座标系的投影方式第29页，共44页。xyOABφω曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受质心作用以匀角速率ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求支座O处的水平约束力。例题11-4§11.4刚体运动定律第30页，共44页。解：选定整个机构为研究对象，其水平方向只承受O处约束力的作用。此系统刚体座标为xyOABφω将xC对时间取二阶行列式代入上式（a），求得（a）列举刚体运动定律在x轴上的投影式例题11-4§11.4刚体运动定律第31页，共44页。
整个系统在铅垂方向除有重力外，O，B两处受有y方向约束力Fy和FN。列举刚体运动定律在y轴上的投影式刚体yC对时间取二阶行列式，代入上式，求得以整个系统为研究对象，只能求出O，B两处y向约束反之和，而不能分别求出各自的值。φωFyFN例题11-4§11.4刚体运动定律第32页，共44页。曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受质心作用以匀角速率ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求此系统的刚体运动多项式、轨迹以及此系统的动量。xyOABφω例题11-5§11.4刚体运动定律第33页，共44页。设t=0时OA杆水平，则有φ=ωt。由式刚体C的座标为解：xyOABφω例题11-5§11.4刚体运动定律第34页，共44页。上式也就是此系统刚体C的运动多项式。由上二式消掉时间t，得即刚体C的运动轨迹为一椭圆，如图中实线所示。应当强调，系统的刚体通常不在其中某一物体上，而是空间的某一特定点。φω例题11-5§11.4刚体运动定律第35页，共44页。
为求系统的动量，由动量定律投影式，得此例中由刚体公式得系统动量的大小为则得系统动量沿x，y轴投影：φω例题11-5§11.4刚体运动定律第36页，共44页。2、质心运动定律由动量定律的微分方式对于质量不变的质点系或质点系的质量和其形心加速度的乘积，等于作用于质点系的所有外力的矢量和。这就是刚体运动定律。质点系的内力不影响力偶的运动，只有外力能够改变刚体的运动。§11.4刚体运动定律第37页，共44页。?动漫§11.4刚体运动定律第38页，共44页。?动漫§11.4刚体运动定律第39页，共44页。刚体运动定律的直角座标投影方式：质点系的质量和形心加速度在某一座标轴上的投影的乘积等于作用在质点系上的所有外力在同一座标轴上投影的代数和。3、质点系刚体运动守恒定理即：假若作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则刚体作惯性运动。（1）若，则常量§11.4刚体运动定律第40页，共44页。即：假若作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则刚体速率在该轴上的投影保持不变（刚体沿该轴作惯性运动）（2）若，则，以上推论，称为质点系刚体运动守恒定理。
§11.4刚体运动定律第41页，共44页。如图所示，设电动机没用螺丝固定，转子的质量是m1，定子的质量是m2，定子的轴线通过转子的刚体O1。制造和安装的偏差，使定子的刚体O2对它的轴线有一个很小的偏心距e。各处磨擦不计，初始时电动机静止，求定子以匀角速率ω转动时电动机机壳的运动。eφω例题11-6§11.4刚体运动定律第42页，共44页。电动机遭到的斥力有机壳的重力，定子的重力和地面的法向力。由于电动机在水平方向没有遭到外力，且初始为静止，因而系统刚体的座标xC保持不变。取座标轴如图所示。定子在静止时，设xC1=a。当定子转过角度φ时，转子应向左联通，设联通距离为s。则刚体座标为解：eφω例题11-6§11.4刚体运动定律第43页，共44页。由于在水平方向刚体守恒，所以有xC1=xC2，解得由此可见。当定子偏心的电动机未用螺丝固定时，将在水平面上作往复运动。顺便强调，支承面的法向反力的最小值求得为当ω>时，有<0，假若电动机未用螺丝固定，将会离地跳上去。φωm2g例题11-6§11.4刚体运动定律第44页，共44页。