向量大家应该都很熟悉吧？ 是的，我们接触过很多矢量，比如位移、速度、角速度、电场强度等。
然而，我实际上可以将向量细分为两类：一般向量和轴向向量。 例如，位移和速度是一般向量； 而角速度、磁感应强度等则是轴向矢量。
那么什么是轴向量呢？ 它和普通向量有什么区别？ 在本文中，我们将讨论轴向量的性质。 我们会发现，实际上角速度和磁感应强度只能定义为三维空间中的向量。 要扩展到其他维度，必须将它们定义为 2 向量。
2-向量在几何中也非常有用。 你也可以阅读wxy的这篇文章，它从四维几何的角度介绍了2-向量。 注：文中粗体字母和带箭头的字母均代表向量。
重点内容从角速度开始
让我们从角速度开始。 我们都应该熟悉角速度。 它是一个矢量，其长度等于角速度的大小，其方向根据旋转方向和右手螺旋定则确定。 那么它和普通的向量有什么不同呢？ 我们可以通过镜像变换来看到：
让我们看看镜子中的旋转板。 我们发现，板上任意点的速度都是简单镜像的，但角速度矢量不仅是镜像的，而且是反转的！ 这就是轴向量与普通向量不同的地方：在进行镜像（或反射）变换时，除了被镜像之外，方向也会被反转，即它的每个分量都会得到一个负号。
磁感应也是如此，只需将上图中的板换成承载电流的环线即可：
我们称这种向量为轴向量，或者伪（）向量。 为什么叫伪向量呢？ 这是因为有些文档将向量定义为一堆数字，参与坐标变换时必须满足一定的条件，即向量的每个分量(v_{i})。 这些分量应该使向量在变换前后保持不变，也就是说，向量与坐标系无关。 轴向量与坐标系有关。 如果我们选择镜外的右手坐标系，那么镜内就变成了左手坐标系。 然而，该坐标系的变换改变了角速度方向，因此轴矢量是坐标之和。 与关系相关的向量。
在这里我们可以问两个问题：
其实第二个问题在文章开头就已经回答了：这个量是一个2-向量。 那么这个东西到底是什么？ 它的本质是什么？ 接下来我们将讨论 2-向量。
角速度的另一种表示
我们以角速度为例来推导 2 向量。 你有没有想过角速度在其他维度的推广？ 我们先不看困难的四维空间，先看二维空间中的角速度。
这个逆时针旋转的圆盘的角速度是多少？ 我想很多物理书上都说它在纸上垂直向上。 但是，我们知道这个“垂直于纸张顶部”的方向在二维空间中并不存在，所以这种说法实际上是不正确的。
在二维空间中，物体的旋转方向只有两个：顺时针和逆时针，所以实际上可以用标量来描述。 更准确地说，是伪标量，因为在三维情况下，照镜子时符号会反转。
那么圆盘上任意一点的线速度是多少呢？ 在三维空间中，是(vec{v}=vec{omega}timesvec{r})。 如果我们认为二维角速度是一个标量，那么我们可以把这个表达式“降维”为 (vec{v}=omega(-y,x))好吧，我们已经知道了二维可以定义为（伪）标量，但是四个维度呢？ 情况就复杂了，因为四维还涉及双旋转，标量和向量已经不可能了，只能使用二阶张量，即可以表示为矩阵的量。 我们以此类推发现，维度越高，就越复杂。 那么，是否有一个对于所有维度都相同的简单表达式呢？
答案是肯定的角速度，我们可以从线速度的表达式入手。 我们不妨换一种方式来写线速度：
[vec{v}=begin{} 0 & -omega \ omega & 0 end{} begin{}x \ yend{}]
最右边的列向量是径向的，那个矩阵就是我们想要的，它是2-向量的矩阵表示。而且我们发现这个定义在三维空间也适用，比如(vec{ omega}=(1,1,1))，则其线速度可表示为
[vec{v}=begin{}0 & -1 & 1 \ 1 & 0 & -1 \ -1 & 1 & 0 end{} begin{}x \ y \ z结尾{}]
同样是矩阵乘以径向列向量，只是矩阵的阶数变了。 我们发现了这个矩阵的一个性质：它是反对称的。 好吧，为了更深入地研究 2 向量，我们需要了解它的定义和属性。
外代数
2-向量实际上是外代数中n-形式的一个特例。 我们先来看看它的定义。 对于两个向量 ({bf a}) 和 ({bf b})，将楔积“(land)”定义为 2-向量： ({bfomega} = {bf a}land{bf b})楔积满足以下性质：
所以向量和它本身的楔积总是0。例如，有两个向量({bf a}_{1}=a{bf e}_{x}+b{bf e}_ {y }) 和 ({bf a}_{2}=c{bf e}_{x}+d{bf e}_{y})，则它们的楔积为
[begin{align}{bf a}_{1}land{bf a}_{2}&=ad{bf e}_{x}land{bf e}_{y} +bc{bf e}_{y}land{bf e}_{x}\&=(ad-bc){bf e}_{x}land{bf e}_{y }结束{对齐}]
其中({bf e}_{x}land{bf e}_{y})是2-向量的单位基，就像向量的基一样。 2D 空间有 1 个，3D 空间有 3 个。
那么这样定义的2-向量的几何意义是什么呢？ 我们知道，标量，即0-形式是点，向量，即1-形式是线，那么2-向量就是面。
我们发现实际上({bf a}land{bf b})类似于向量之间的叉积({bf a}times{bf b})，它的“方向”是也由右手螺旋定则确定。 如果我们用2向量来表示角速度，那么它的“方向”就代表了物体的旋转方向，它的大小就是角速度的大小。 感觉比用向量来表示角速度自然得多。 为了求角速度2向量，我们可以首先在物体旋转的平面上求两个相互垂直的单位向量，然后进行楔积，然后乘以角速度。 例如，对于角速度 (vec{omega}=(0,0,omega))，其 2-向量为 ({bfomega}=omega{bf e}_{ x} 土地{bf e}_{y})。
2-向量的内积
我们知道向量基的内积定义为({bf e}_{i},{bf e}_{j}=begin{cases}0 (ineq j) 1 (i =j)end{cases}={ij}) 类推这个定义，2-向量基的内积定义为({bf e}_{i}土地{bf e}_{j },{bf e}_{k}land{bf e}_{l}={ik}{jl}-{ij}{kl} ) 这个定义可以保证只有当内积不为0时，基数才完全相同。 如果基中参与楔积的两个向量相同但阶数不同，则等于-1，如({bf e}_{x}land{bf e}_ {y},{bf e}_{y}land{bf e}_{x}=-1)。 那么如何定义向量基({bf e}_{i})和2-向量基({bf e}_{j}land{bf e}_{k}的内积) ? 不幸的是，内积只能在相同阶的形式之间定义。 如果阶数不同，则只能定义张量内积。
事实上，2-向量也是一个张量。 那么什么是张量呢？ 这不是一两句话就能解释清楚的。在张量代数中，楔积可以写成
[{bf a}land{bf b}={bf a}{bf b}-{bf b}{bf a}]
上式中的({bf a}{bf b})既不是向量内积，也不是向量外积，而是一个新的操作：并向量积。 其运算规则与矩阵相同，只满足线性，不满足交换律。 因此我们可以定义2-向量和向量的张量内积：(({bf a}land{bf b})cdot{bf c}=({bf a}{bf b} -{bf b}{bf a})cdot{bf c}=({bf b}cdot{bf c}){bf a}+({bf a}cdot{ bf c}){bf b})因此，对于 2-向量的基和基向量，我们有(({bf e}_{i}land{bf e}_{j}) cdot {bf e}_{i}=-{bf e}_{j}) 和 (({bf e}_{i}land{bf e}_{j}) cdot{bf e}_{j}={bf e}_{i})
与交叉产品的关系
我们下一步是重写线速度公式 (vec{v}=vec{omega}timesvec{r}) 以使用角速度 2-向量，其中存在叉积公式 。 为了看出叉积和楔积之间的关系，我们不妨写出它们的表达式：
[begin{align}vec{omega}timesvec{r}&=({y}r_{z}-{z}r_{y})vec{e}_{x} \& +({z}r_{x}-{x}r_{z})vec{e}_{y}\& +({x}r_{y}-{y} r_{x})vec{e}_{z}\&={ij}{i}r_{j}{ijk}vec{e}_{k}end{align}] [begin{align}vec{omega}landvec{r}&=({y}r_{z}-{z}r_{y})vec{e}_{y} landvec{e}_{z}\& +({z}r_{x}-{x}r_{z})vec{e}_{z}landvec{e} _{x}\& +({x}r_{y}-{y}r_{x})vec{e}_{x}landvec{e}_{y}\& ={ij}{i}r_{j}vec{e}_{i}landvec{e}_{j}end{align}]
其中，({ijk})称为置换张量，满足({xyz}=1)且任意两个下标互换，符号就会反转。 如果下标相同的话就是0。你是不是感觉这两个公式很相似，但是最终的向量基不同呢？ 我们希望建立类似({bf e}_{y}land{bf e}_{z}to{bf e}_{x})这样的对应关系。 这种对应关系称为霍奇对偶性，记为“(star)”。 在三维空间中我们有： (star(vec{e}_{x}landvec{e}_ {y})=vec{e}_{z}),(星(vec{e}_{y}landvec{e}_{z})=vec{e}_ {x}), (star(vec{e}_{z} landvec{e}_{x})=vec{e}_{y})，即 (star (vec{e}_{i}landvec{e}_ {j})={ijk}vec{e}_{k})，只要将三个角标记按xyz循环排列即可。 这样我们就得到了楔积和叉积的关系：
[vec{a}timesvec{b}=star(vec{a}landvec{b})]
因为(star{bf a}=a_{x}{bf e}_{y}land{bf e}_{z}+a_{y}{bf e}_{z}土地{bf e}_{x}+a_{z}{bf e}_{x}land{bf e}_{y}={1 over 2}{ijk}a_{i} {ijk}{bf e}_{j}land{bf e}_{k})，根据我们张量内积的定义，经过一番计算我们可以得到((star { bf a})cdot{bf b}=-star({bf a}land{bf b}))
角速度 2-矢量定义
好的，我们已经准备好了所有的材料。 根据以上两个公式，我们可以将线速度的计算公式写为(vec{v}=(-starvec{omega})cdotvec {r})，所以我们定义角度速度2-向量为：({bfomega}=-starvec{omega})，则线速度可写为(vec{v}= {bfomega} cdotvec{r})，角速度2的大小是其自身与自身的内积，即(vertomegavert=\omega,omega\)，则使用下式计算基的内积公式。 由于这些基是正交的，因此最终的大小类似于向量的大小，即其分量的平方和的根。 如({bfomega}=a{bf e}_{y}land{bf e}_{z}+b{bf e}_{z}land{bf e} _ {x}+c{bf e}_{x}land{bf e}_{y})，则 (vertomegavert=sqrt{a^2+b^2+ c ^2})
现在我们可以回答上面提出的第一个问题了：我们发现角速度向量和角速度2-向量之间的关系是霍奇对偶性，并且在霍奇对偶性中会引入伪张量({ijk})对偶性 ，导致角速度矢量成为轴矢量。
我们还发现n维空间中2向量的基数为(C_{n}^{2})，这意味着三维空间是唯一向量基数为与 2-向量的基数相同。 ！ 这使得我们能够在向量空间和2向量空间之间建立同构映射，即霍奇对偶性。 由于向量和 2-向量是同构的，因此我们可以使用其中之一。 为了方便起见，我们选择向量。 三维空间确实是一个有很多巧合的空间。 我觉得我们生活在三维空间真是太幸运了，不然我们做物理题的时候就得把角速度和磁感应强度写成矩阵了。 。 。
矩阵表示
我们之前不是说过2-向量可以表示为矩阵吗？ 我们可以使用张量代数中的楔积公式来做到这一点。 仍以角速度 (vec{omega}=(1,1,1)) 为例，其 2-向量为 ({bf omega}=-(star{bf e} _{ x}+star{bf e}_{y}+star{bf e}_{z})=-{bf e}_{y}land{bf e}_{z }- {bf e}_{z}land{bf e}_{x}-{bf e}_{x}land{bf e}_{y}) 为了写成在矩阵形式中，我们可以将所有向量视为列向量，然后将楔积写为 ({bf a}land{bf b}={bf a}{bf b}^{T }-{bf b}{ bf a}^{T})。所以三个碱基是
[{bf e}_{y}land{bf e}_{z}=begin{}0&0&0\0&0&1\0&-1&0end{}][{bf e}_ {z}land{bf e}_{x}=begin{}0&0&-1\0&0&0\1&0&0end{}][{bf e}_{x}land{bf e}_{y}=begin{}0&1&0\-1&0&0\0&0&0end{}]
我们发现，由于每个基底的矩阵都是反对称的，所以它们的线性叠加也一定是反对称的，因此角速度2-向量的矩阵一定是反对称矩阵。 将上面的三个矩阵代入其中角速度，我们得到角速度的矩阵表示，与我们上面的矩阵表示相同：
[{bfomega}=begin{}0&-1&1\1&0&-1\-1&1&0end{}]
它与径向矢量的矩阵乘积就是线速度。
你可能会问为什么张量积可以转化为矩阵积呢？ 这其实很容易理解。 我们可以将角速度2-向量写成张量的形式({bfomega}={ij}{ij}{bf e}_{i}{bf e}_ {j} ), 所以(vec{v}={ijk}{ij}{bf e}_{i}({bf e}_{j}cdot{bf e}_ {k} ){bf r}_{k}={ijk}{ij}{bf e}_{i}{ik}{bf r}_{k}={ij} {ij} {bf e}_{i}{bf r}_{i})，因此线速度的第 i 个分量为(v_{i}={j}{ij}{bf r}_{j})。 显然，这就是矩阵乘积的定义。
//注意：这种指标符号在物理学中用得很多，但如果你反应不出来，你可以老老实实地写出每一项来验证一下。
其他轴向量
根据公式({bf a}times{bf b}=star({bf a}land{bf b}))我们可以猜测：只要是出现的向量在叉积中，它的本质可能是一个2-向量。 如果一个轴向量a定义为(vec{a}=vec{b}timesvec{c})，我们可以取霍奇对偶性及其逆，然后用上式将He变为 (vec{a}=vec{b}landvec{c})。
例如，毕奥-萨伐尔定律将磁感应强度定义为(dvec{B}={mu_{0}over 4pi}{Ivec{dl}timesvec{r} over r^3})，所以磁感应强度2-向量为(d{bf B}={mu_{0}over 4pi}{Ivec{dl}landvec{r } over r^3})。 因此，我们可以利用磁感应强度2-向量将洛伦兹力写为(vec{F}=q{bf B}cdotvec{v})。
还有另一个量：卷曲。 因为叉积也出现在其定义公式({}vec{F}=nablatimesvec{F})中。 与上面类似，我们可以将“curl 2-向量”写为 ({bf curl}vec{F}=nablalandvec{F})。 然而，这并没有用数学来表达。 标准定义还使用了另一个东西：外部微分运算符（“d”），它涉及更多的外部代数。 这里我就不介绍了。 你可以去维基百科上查一下。
四维角速度和双旋转
由于角速度2向量适用于任何维度，我们现在用它来研究四维空间中的旋转规律。 我们仍然使用角速度的矩阵表示，它应该是四维空间中的四阶方阵。 由于它是 4x4，因此可以将其分为两个反对称矩阵：
[{bfomega}=begin{}{bf A}&{bf O}\{bf O}&{bf B}end{}]
代入线速度公式我们发现
[begin{}v_{x}\v_{y}end{}={bf A}begin{}x\yend{}, begin{}v_{z}\v_ {t}end{}={bf B}begin{}z\tend{}]
也就是说，物体在(Oxy)平面中的坐标只会影响其线速度在(Oxy)表面上的分量，而在(Ozt)表面上的坐标也只会影响其线速度在(Oxy)表面上的分量。 (Ozt) 表面速度。 (Oxy)平面中的旋转和(Ozt)平面中的旋转是完全独立的，就像两个不同的旋转一样。 而且，除了轴点旋转之外，空间中的其他点都在旋转。 此时，旋转轴这个东西已经不存在了！ 我们称这种旋转为双旋转。 类似地，六维空间中有三次旋转，八维空间有四次旋转，2n维空间有n次旋转。 我之前的文章里有一个双旋转的例子，就是洛伦兹变换，即空间和时间的伪旋转和空间的旋转共同构成了双旋转。
角速度2向量的矩阵表示还有一个优点，就是它和角速度对应的旋转变换矩阵之间存在映射关系。 我将在以后的文章中继续谈论这个问题。
文章中外代数部分可以查看维基百科
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