一、平抛运动基本规律的理解
1．飞行时间：由知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程：x=v0t=v0 ，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度：，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量为Δv=gΔt，相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

5．两个重要推论
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示。

（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α=2tan θ。

二、常见平抛运动模型的运动时间的计算方法
（1）在水平地面上空h处平抛：
由知，即t由高度h决定。
（2）在半圆内的平抛运动（如图），由半径和几何关系制约时间t：

联立两方程可求t。
（3）斜面上的平抛问题：
①顺着斜面平抛（如图）

方法：分解位移
x=v0t，，
可求得。
②对着斜面平抛（如图）

方法：分解速度
vx=v0，vy=gt，
可求得。
（4）对着竖直墙壁平抛（如图）

水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同，。
三、类平抛问题模型的分析方法
1．类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。
3．类平抛运动的求解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合外力方向）的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程。

（2019•湖北高三月考）如图所示，战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上等间距的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，不计空气阻力，则

A．t1<t2   B．t1=t2   C．t1>t2   D．无法确定
【参考答案】A
【详细解析】A、B、C三点为山坡上等间距的三个点，由几何关系可知，AA′、BB′的竖直高度差相同，设A′到A的时间为t1，设B′到B的时间为t2，由于平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，越往下竖直分速度越大，结合自由落体运动的特点可知：tAA′<tBB′，而A、B两点的时间间隔为t1，落在B、C两点的时间间隔为t2，则t2>t1，故A正确。

1．在水平面上固定两个相互紧靠的三角形斜面，将a、b、c三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，落在斜面上时其落点如图所示，小球a落点距水平面的高度最低。下列判断正确的是

A．小球c的初速度最小
B．小球a的飞行时间最长
C．小球c的整个飞行过程速度变化量最大
D．若减小小球a的初速度，其整个飞行过程速度变化量增大
【答案】B
【解析】三个小球做的都是平抛运动，从图中可以发现落在a点的小球下落的高度最大，落在c点的小球下落的高度最小，由，得，所以小球落在a 点的飞行时间最长，落在c点的飞行时间最短，由x=v0t，得，知小球c的水平位移最大，飞行时间最短，则小球c的初速度最大，A错误；B正确；小球做的是平抛运动，加速度为g，速度的变化量为，所以c球的速度变化最小，a球的速度变化量最大，C错误；若减小小球a的初速度，飞行时间减小，速度变化量减小，D错误；故选B。

（2019•广东实验中学期末）2022年冬奥会将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道AB上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道CD平行，设运动员从C到E与从E 到D的运动时间分别为t1、t2，EF垂直CD，则有关离开C点后的飞行过程

A．有t1=t2，且CF=FD
B．若运动员离开C点的速度加倍，则飞行时间加倍
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离加倍
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
【参考答案】BD
【详细解析】AB．以C点为原点，以CD为x轴，以CD垂直向上方向为y轴，建立坐标系如图：

对运动员的运动进行分解，y轴方向做类竖直上抛运动，x轴方向做匀加速直线运动。当运动员速度方向与轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上抛运动的对称性，知t1=t2。而x轴方向运动员做匀加速运动，因t1=t2，故CF<FD，故A错误；BC．将初速度沿x、y方向分解为v1、v2，将加速度沿x、y方向分解为a1、a2，则运动员的运动时间为：，落在斜面上的距离：，离开C点的速度加倍，则v1、v2加倍，t加倍，由位移公式得s不加倍，故B正确，C错误；D．设运动员落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为，斜面的倾角为。则有：，，则得，一定，则一定，则知运动员落在斜面上的速度方向与从C点飞出时的速度大小无关，故D正确。

1．如图，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为v0，小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上。乙的宽度足够大，速度为v1。则下列说法错误的是

A．在地面参考系中，工件做类平抛运动
B．在乙参考系中，工件在乙上滑动的轨迹是直线
C．工件在乙上滑动时，受到乙的摩擦力方向不变
D．工件沿垂直于乙的速度减小为0时，工件的速度等于v1
【答案】A
【解析】在地面参考系中，沿甲运动的方向滑动摩擦力分力向左，沿乙运动的方向滑动摩擦力沿乙运动方向，则摩擦力的合力如图。合初速度沿甲运动的方向，则合力与初速度不垂直，所以工件做的不是类平抛运动，故A错误；在乙参考系中，如图所示，摩擦力的合力与合初速度方向相反，故工件在乙上滑动的轨迹是直线，做匀减速直线运动，故B正确；工件在乙上滑动时，在x轴方向做匀减速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，可知两个方向摩擦力的分力不变，受到乙的摩擦力方向不变，当工件沿垂直于乙的速度减小为0时，不受摩擦力，故工件在乙上滑行的过程中所受摩擦力方向不变，故C正确；设t=0时刻摩擦力与纵向的夹角为α，侧向（x轴方向）、纵向（y轴方向）加速度的大小分别为ax、ay，则，很短的时间∆t内，侧向、纵向的速度增量大小分别为∆vx=ax∆t，∆vy=ay∆t，解得：，由题意知，则，则当∆vx=v0，∆vy=v1，所以工件沿垂直于乙的速度减小为0时，工件的速度等于v1，故D正确。此题选择错误选项，故选A。

【名师点睛】本题考查工件在传送带上的相对运动问题，关键将工件的运动分解为沿传送带方向和垂直传送带方向，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解。

1．（2019•牡丹江市第三高级中学期末）一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为

A．    B．    C．    D．
2．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端A点，先后将相同的小球以大小不同的水平速度v1和v2向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是

A．落到斜面上的瞬时速度大小相等
B．落到斜面上前，在空中飞行的时间相同
C．落到斜面上的位置相同
D．落到斜面上的瞬时速度方向相同
3．（2019•山西期末）跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为的斜坡顶端P处，以初速度水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度的大小，L和t都随之改变。关于L、t与的关系，下列说法中正确的是
①L与成正比   ②L与成正比   ③t与成正比   ④t与成正比

A．①②   B．②③   C．③④   D．①④
4．（2019•安徽期末）如图，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点。假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是

A．三把刀在击中板时动能相同
B．三次飞行时间之比为
C．三次初速度的竖直分量之比为3:2:1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
5．一质量为m的小球在光滑的水平面上以速度v0做匀速直线运动，在t=0时受到水平方向恒力F作用，速度先减小后增大，其最小值为v=0.5v0，由此可以判断
A．质点受恒力F作用后一定做匀变速直线运动
B．质点受恒力F作用后可能做圆周运动
C．t= 时，质点速度最小
D．t=0时恒力F与速度v0方向间的夹角为60º
6．如图，一小球以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，到达斜面上的P点时速度方向恰好水平。现将该质点以2v0的速度从斜面底端沿同样方向抛出，之后到达斜面上的Q点。不计空气阻力，下列说法正确的是

A．小球到达Q点时速度方向也恰好水平
B．小球到达P、Q两点的速度之比为1∶1
C．P、Q两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
D．小球到达P、Q两点的时间之比为1∶2
7．（2019•四川省绵竹中学期末）如图所示，两个倾角分别为30°，45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是

A．t1′>t2′>t3′       B．t1>t3>t2
C．t1<t1′，t2<t2′，t3<t3′   D．t1=t1′，t2=t2′，t3=t3′
8．如图所示，在光滑水平面内建立直角坐标系xOy，一质点在该平面内O点受大小为F的力作用从静止开始做匀加速直线运动，经过t时间质点运动到A点，A、O两点距离为a，在A点作用力突然变为沿y轴正方向，大小仍为F，再经t时间质点运动到B点，在B点作用力又变为大小等于4F、方向始终与速度方向垂直且在该平面内的变力，再经一段时间后质点运动到C点，此时速度方向沿x轴负方向，下列对运动过程的分析正确的是

A．A、B两点距离为
B．C点与x轴的距离为
C．质点在B点的速度方向与x轴成45°
D．质点从B点运动到C点所用时间可能为
9．（2019•会泽县茚旺高级中学月考）如图所示，一固定斜面倾角为，将小球从斜面顶端以速率水平向右拋出，击中了斜面上的点；将小球从空中某点以相同速率水平向左拋出，恰好垂直斜面击中点。不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是

A．若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则
B．若小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则
C．小球、在空中运动的时间比为
D．小球、在空中运动的时间比为

10．（2019•新课标全国Ⅱ卷）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v–t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则

A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
11．（2018•新课标全国III卷）在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的
A．2倍   B．4倍   C．6倍   D．8倍
12．（2017•新课标全国Ⅰ卷）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
13．（2017•江苏卷）如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为

A．    B．    C．    D．

1．C【解析】小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与水平方向夹角等于斜面倾角，则有：，小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为：。故C符合题意。
2．D【解析】由题意可知两小球具有相同的位移方向，则由平抛运动的性质可知瞬时速度的大小及方向。
位移与水平方向夹角的正切值，速度与水平方向夹角的正切值，则，因为θ不变，则速度与水平方向夹角不变，可知落到斜面上的速度方向相同，根据平行四边形定则知，由于初速度不同，则落在斜面上的瞬时速度大小不等，故A错误，D正确；根据，，则水平位移，初速度不同，飞行时间不同，水平位移不同，则落到斜面上的位置不同，BC错误。
3．B【解析】滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。设水平位移x，竖直位移为y，结合几何关系，有：水平方向上：，竖直方向上：，联立可得：，即t与成正比；，即L与成正比，②③正确。故选B。
4．D【解析】A．将飞刀的运动逆过来看成是一种平抛运动，三把刀在击中板时的速度大小即为平抛运动的初速度大小，运动时间为，初速度为，由图看出，三把刀飞行的高度不同，运动时间不同，水平位移大小相等，由平抛运动的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故三把刀在击中板时动能不同；故A错误。B．竖直方向上逆过来看做自由落体运动，运动时间为，则得三次飞行时间之比为；故B错误。C．三次初速度的竖直分量等于平抛运动下落的速度竖直分量，由，可得它们得竖直分速度之比为；故C错误。D．设任一飞刀抛出的初速度与水平方向夹角分别为θ，则，则得θ1>θ2>θ3；故D正确。
5．C【解析】在t=0时开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度可以为零，所以质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动，故AB错误；设恒力与初速度之间的夹角是，最小速度：，解得：，而由题可知初速度与恒力的夹角为钝角，故，故D错误；设经过t s质点的速度最小，将初速度沿恒力方向和垂直恒力方向分解，故在沿恒力方向上有：，解得：，此时沿恒力方向上的速度为零，只有垂直恒力方向的速度，即为质点的最小速度，故C正确。
6．AD【解析】由于落到斜面上P点时速度水平，故可把质点在空中的运动逆向看成从P点向右的平抛运动，设在P点的速度大小为u，把质点在斜面底端的速度v0分解为水平u和竖直vy，由x=ut，y= gt2，tanθ=y/x得空中飞行时间，vy=2utanθ，v和水平方向夹角的正切值 =2tanθ为定值，即落到Q点时速度方向水平向右，故A正确；，即v0与u成正比，故落到P和Q两点速度之比为1:2，故B错误；由，知y和u2成正比，P和Q两点距离斜面底端的高度之比为1:4，C错误。由知，落到P和Q两点时间之比为1:2，故D正确。
7．BD【解析】由静止释放，b球做平抛运动，a、c两球做匀加速直线运动，对b球，根据得：，对于a、c两球，加速度a=gsinθ，根据得：所以有：，所以t1>t3>t2；若同时沿水平方向抛出，a、c两球做类平抛运动，b球做平抛运动，抓住小球在竖直方向上或沿斜面方向上的运动规律与静止释放时相同，根据等时性有：t1=t1′，t2=t2′，t3=t3′。故B、D正确。
8．CD【解析】在质点从O到A做匀加速直线运动，从A到B做类平抛运动，水平方向做由几何关系可得：A、B两点距离为，A错误；设到达A点的速度为v，B点的速度为，方向与水平方向成45°，B到C点做匀速圆周运动，有4F= ，而在OA段有，联立解得r=a，因此C点与x轴的距离为，C正确，B错误；质点从B点运动到C点所用的时间可能为t′= ，OA段有，则质点从B点运动到C点所用时间可能为，D正确。
9．BC【解析】AB、由题图可知，斜面的倾角等于小球落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，则有；小球在击中点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则有，联立可得，故选项A错误，B正确；CD、设小球在空中运动的时间为，小球在空中运动的时间为，则由平抛运动的规律可得，，则有，故选项C正确，D错误。
10．BD【解析】A．由v–t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A错误；B．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确C．由于v–t斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由，易知a1>a2，故C错误；D．由图像斜率，速度为v1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a1>a2，由G–fy=ma，可知，fy1<fy2，故D正确。
11．A【解析】设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x=vt，y= gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ=y/x，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律， mv2+mgy= mv12，联立解得：v1= •v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2= •v/2，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确。
12．C【解析】由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速度大的球用时少，故C正确，ABD错误。
13．C【【解析】设第一次抛出时A球的速度为v1，B球的速度为v2，则A、B间的水平距离x=(v1+v2)t，第二次两球的速度为第一次的2倍，但两球间的水平距离不变，则x=2(v1+v2)T，联立得T=t∕2，所以C正确；ABD错误。

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平抛运动考点及考情分析

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