一、曲线运动
1．曲线运动
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
（3）曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
2．物体做曲线运动的条件及轨迹分析
（1）条件
①因为速度时刻在变，所以一定存在加速度；
②物体受到的合外力与初速度不共线。
（2）合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧。
（3）速率变化情况判断
①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
3．做曲线运动的规律小结：
（1）合外力或加速度指向轨迹的“凹”（内）侧。
（2）曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切。
二、运动的合成与分解
1．基本概念
（1）运动的合成：已知分运动求合运动。
（2）运动的分解：已知合运动求分运动。

2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
4．合运动与分运动的关系
（1）等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
（2）独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
（3）等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
5．运动的合成及性质
（1）运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。
（2）合运动的性质判断

（3）两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：
两个互成角度的分运动   合运动的性质
两个匀速直线运动   匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动   匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动   匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动   如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
   如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
6．合运动与分运动的关系
（1）运动的独立性
一个物体同时参与两个（或多个）运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理。虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
（2）运动的等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。
（3）运动的等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
7．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
8．运动的合成与分解两个典型模型
（1）小船渡河模型
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。
模型特点：
①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
②三种速度：v船（船在静水中的速度）、v水（水的流速）、v合（船的实际速度）。
③两个极值
A．过河时间最短：v船⊥v水，tmin= （d为河宽）。
B．过河位移最小：v合⊥v水（前提v船>v水），如图甲所示，此时xmin=d船头指向上游与河岸夹角为α。cos α= ；v船⊥v合（前提v船<v水），如图乙所示。过河最小位移为xmin=

（2）绳（杆）端速度分解模型
①模型特点
沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
②思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
9．小船过河模型
（1）分析思路

（2）解决这类问题的关键
①正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
②运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。
③渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。
④求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的方法处理。
10．对绳端速度合成与分解的方法：
（1）物体的实际运动一定是合运动。
（2）绳端速度可分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度。

如图为某质点从A点到E点做匀变速曲线运动的轨迹示意图，该质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则该质点

A．经过C点时的速率比D点的大
B．经过D点时的加速度比B点的大
C．经过B点和E点时的速率可能相等
D．从B点运动到E点的过程中合外力先做正功再做负功
【参考答案】A
【详细解析】由题意，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度方向向上，合外力也向上，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由C到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，故A正确；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故B错误；从B点到E点的整个过程中，合力做负功，则动能减小，速度减小。即经过B点和E点时的速率不相等，选项C错误；从B点运动到E点的过程中合外力先做负功再做正功，选项D错误。

1．（2019•四川高一期末）已知物体运动初速度v0的方向和它所受恒定合外力F的方向，下图中a、b、c、d表示物体运动的轨迹，其中可能正确的是
A．    B．
C．        D．
【答案】B
【解析】受力与速度不在一条直线上，物体做曲线运动，轨迹为曲线，A错误。曲线运动的轨迹弯向合力方向，B正确。曲线运动的速度方向是轨迹的切线，C错误。曲线运动的轨迹弯向合力方向，D错误。

如图所示是一种健身器材的简化图，一根不可伸长的足够长轻绳跨过两个定滑轮连接两个质量均为的重物。两侧滑轮等高，以速度竖直向下匀速拉动绳的中点，当滑轮中间两段绳的夹角为时，下列说法正确的是

A．重物的速度大小为
B．重物的速度大小为
C．重物正在匀速上升
D．重物正在减速上升
【参考答案】B
【详细解析】根据运动的合成与分解规律可知，一根不可伸长的轻绳的两端点速度在沿绳方向上的分量相等(正交分解)，那么重物的速度大小，选项错误，正确；设滑轮中间两段绳夹角为，则重物的速度满足，减小，增大，则重物正在加速上升，选项错误。

1．（2019•云南省云天化中学高一期末）如图所示，有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当滑块B沿着竖直杆下滑的速度大小为，A的速度大小为v，则细绳与竖直方向的夹角为为

A．60°   B．30°   C．45°   D．无法确定
【答案】A
【解析】将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度相等，有：vBcosα=vAcos（90°–α）解得α=60°，故选A。

1．（2019•北京高一期末）如图所示，在光滑水平桌面上，小铁球沿直线向右运动。若在桌面A处放一块磁铁，关于小球的运动下列说法正确的是

A．小铁球做匀速直线运动
B．小铁球做匀速圆周运动
C．小铁球做匀加速直线运动
D．小铁球做变加速曲线运动
2．在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=50 m的悬索（重力可忽略不计）系住伤员B，直升机A和伤员B一起在水平方向上以v0=10 m/s的速度匀速运动的同时，悬索在竖直方向上匀速上拉，如图所示。在将伤员拉到直升机的时间内，A、B之间的竖直距离以L=50–5t（单位：m）的规律变化，则

A．伤员经过5 s时间被拉到直升机内
B．伤员经过10 s时间被拉到直升机内
C．伤员的运动速度大小为5 m/s
D．伤员的运动速度大小为10 m/s
3．（2019•六盘水市第七中学高三月考）如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度匀速向右运动当小车运动到与水平面夹角为时，下列关于物体A说法正确的是

A．物体A此时的速度大小为，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力
B．物体A此时的速度大小为，物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力
C．物体A此时的速度大小为，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力
D．物体A此时的速度大小为，物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力
4．如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间相等．下列说法中正确的是

A．质点从M点到N过程中速度大小保持不变
B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同
C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同
D．质点在MN间的运动不是匀变速运动
5．（2019•云南省云天化中学高一期末）在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°，人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么

A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s时小船前进了15 m
C．5 s时小船的速率为5 m/s
D．若小船质量为20 kg，则5 s内物体的动能变化量为130 J
6．（2019•湖南高二期末）如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy，一质量m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点O时（此时t=0），撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变。在t=0时刻之后，关于小球的运动，下列说法正确的是

A．做匀变速曲线运动
B．在任意相等的时间内，小球的速度变化相同
C．经过x、y坐标相同位置时所用的时间为1 s
D．在t=1 s时，小球的动能为1 J

7．（2018•北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
8．（2015•全国新课标Ⅱ卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为

A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．东偏南方向，2.7×103 m/s
9．（2015•广东卷）如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物

A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为 v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为 v

1．D【解析】磁铁放在A处时，合力与速度不共线，故小钢球向磁铁一侧偏转，但不是匀速圆周运动，选项ABC错误；磁力大小与距离有关，故小球的加速度是变化的，故小球做变加速曲线运动，选项D正确。
2．B【解析】根据L=50–5t可知直升飞机以5 m/s向上做匀速直线运动，AB间距离为零时，拉到飞机内，则0=50–5t，计算可得t=10 s，伤员经过10 s时间被拉到直升机内，A错B对。伤员的运动速度等于水平速度和竖直速度的合速度，即为，CD错误。故应该选B。
3．B【解析】小车沿绳子方向的速度等于A的速度，设绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则，物体A的速度vA=vcosθ；小车匀速向右运动时，θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，根据牛顿第二定律有：T–GA=mAa，知拉力大于重力。故B正确，ACD错误。

4．B【解析】从M到N过程中，根据，可知，速度大小变化，故A错误；因加速度不变，则质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同，故B正确，C错误；在MN间的运动是匀变速曲线运动，故D错误。
5．CD【解析】由几何关系可知，开始时河面上的绳长为；此时船离岸的距离x1=20 m；5 s后，绳子向左移动了vt=15 m，则河面上绳长为40 m–15 m=25 m；则此时小船离河边的距离为：x2= =15m，5 s时绳与水面的夹角为α，则有：，解得：α=53°，故A错误；5 s时刻小船前进的距离为：x=20 m–15 m=19.6 m，故B错误；船的速度为合速度，由绳收缩的速度及绳摆动的速度合成得出，则由几何关系可知，cosθ=0.6，则船速v船= =5m/s，故C正确；开始时船的速度，5 s内船的动能变化量，选项D正确。

6．ABD【解析】撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变，可知小球所受的合力沿y轴正向且合力恒定，小球的加速度恒定不变，且与初速度垂直，可知小球做匀变速曲线运动，选项A正确；因加速度不变，则根据∆v=at可知在任意相等的时间内，小球的速度变化相同，选项B正确；小球沿y轴正向的加速度为，则，x方向：x=v0t，则当x=y时解得t=2 s，选项C错误；在t=1 s时，vy=at=1 m/s，则此时小球的速度，则小球的动能为，选项D正确.
7．D【解析】上升过程水平方向向西加速，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速度，且有竖直向下的加速度，故AB错；下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为0，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错，D正确。
8．B【解析】如下图所示，由余弦定理，可知，方向：东偏南方向，故B正确，ACD错误。

9．D【解析】若以帆板为参照物，求帆船的运动，即求帆船相对帆板运动情况，根据伽利略变换可知，此时帆船相对帆板的速度 = – ，画出其对应矢量示意图如下图所示，根据图中几何关系解得： = ，方向为北偏东45°，故选项D正确。

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曲线运动考点及考情分析

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