第 1 部分 物体的力和平衡
第一讲：力的处理
1.向量运算
1. 添加
表达：
。
名词：
对于“向量和”。
和向量大小：c =
，其中 α 是
和
角度。
和矢量方向：
存在
,
之间
角度β =
2. 减法
表达：
-
。
名词：
是“被减数向量”，
是“减法向量”，
是“差异向量”。
法则：三角法则。 如图2所示，将被减数向量和被减数向量的起始端平移到一点，然后将两个时长的端点连接起来指向被减数时长的时长，即为差向量。
差异向量大小：a =
，其中 θ 是
和
角度。
可以使用正弦定理找到差向量的方向。
直线上的向量运算是平行四边形和三角形规则的特例。
例：已知质点做匀速圆周运动，半径为R，周期为T，求其
T内和内
T 内的平均加速度。
说明：如图3所示，A点至B点对应
T的过程对应于A点到C点。
T过程。这三点的速度向量分别设为
,
和
。
根据加速度的定义
必须：
,
由于有两个地方涉及向量减法，设两个差向量
-
,
-
力的合成与分解，根据三角形法则，它们的大小和方向如图3所示（
“三角形”已被拉伸成一条直线）。
这个问题只关心每个向量的大小。 明显地：
，和：
,
= 2
所以：
,
。
（学生活动）观察思考：这两个加速度相等吗？ 匀速圆周运动是匀变速运动吗？
答案：否； 它不是。
3. 乘法
向量乘法有两种类型：叉乘和点乘，它们与代数乘法有质的不同。
⑴ 叉积
表达：
×
名词：
称为“向量的叉积”，是一种新的向量。
叉积的大小：c = Absinα，其中 α 是
和
角度。 意义：
尺寸对应于
和
创建的平行四边形的面积。
叉积方向：垂直
和
确定的平面和方向由右手螺旋定则确定，如图4所示。
明显地，
×
≠
×
，但有：
×
=－
×
⑵ 点乘法
表达：
·
=c
名词：c称为“向量的点积”，它不再是向量，而是标量。
点积的大小：c = abcosα，其中 α 为
和
角度。
2. 共点力的合成
1. 平行四边形规则和向量表达式
2. 如何求一般平行四边形的合力和分力
余弦定理（或除以RtΔ）求解合力的大小
正弦定义的方向
3、力的分解
1. 按效果细分
2.根据需要——正交分解
第2讲物体的平衡
1、共点力平衡
1、特点：质心无加速度。
2、条件：Σ
= 0，或
= 0,
= 0
例：如图5所示，用两根轻绳水平悬挂一根长度为L、粗细不均匀的横杆。 绳子与水平方向的夹角标注在图片上。 找出横杆的重心位置。
说明：直接利用三种力有共同点的知识来解决问题。 几何关系比较简单。
答案：距杆左端 L/4。
（学生活动） 思考：对于放在斜面上的均匀长方体，根据实际情况分析受力情况。 斜面的支撑力会通过长方体的重心吗？
解：将各处的支撑力总结为一个N，则长方体上的三个力（G，f，N）一定在同一点。 由此可以推断，N不能通过长方体的重心。 正确的受力情况如图6所示（通常的受力图将受力物体视为一个点，此时N经过重心）。
答：不。
2、旋转平衡
1、特点：物体没有旋转加速度。
2、条件：Σ
= 0，或 ΣM+=ΣM-
如果物体是静止的，它肯定会同时满足两个平衡点，因此可以用这两个想法来解决问题。
3. 非共点力的合成
大小和方向：遵循直线向量构成规则。
作用点：首先假设一个等效的作用点，然后令作用在该作用点上的所有平行力的力矩之和为零。
第三课
1、如图7所示，在倾斜角α的固定斜面上，有一个可旋转的夹板（β不定）。 夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均匀球体。 尝试找出： β 在哪里？ 该值高时，夹板对球的弹力最小。
说明：方法一，平行四边形的动态处理。
对球体进行受力分析，然后将平行四边形中的向量G和N1平移，使其形成三角形，如图8左图和中图所示。
由于G的大小和方向不变，而N1的方向不变，当β增大导致N2的方向发生变化时，N2的变化和N1的方向的变化如图右图所示8.
显然，随着β的增加，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大。 当N2垂直于N1时，N2取最小值，N2min=Gsinα。
方法2、函数法。
查看图 8 的中间图，使用该三角形的正弦定理，我们有：
，即：N2=
，β取0~180°之间的值，很容易讨论N2的极值。
答：当β=90°时，甲板的弹性最小。
2. 用水平推力 F 将重量为 G 的物体压在足够高的垂直墙壁上。F 随时间 t 的变化如图 9 所示。则从 t = 0 开始，物体上的摩擦力f 的变化图之一如图 10 所示？
说明：静力学旨在解决静态问题和准静态过程问题，但这题是个例外。 物体在垂直方向上的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。 如何避开牛顿第二定律是本课题教学的难点。
在静力学知识中，这个问题是关于区分两种摩擦的不同标准。
水平方向的合力为零，意味着支撑力N继续增大。
当物体运动时，滑动摩擦力f=μN必然不断增大。 但物体静止后的静摩擦力f′≠G与N无关。
分析运动过程，物体必然有两个过程：加速和减速。 根据物理学常识，加速时，f < G，减速时，f > G。
答案：B。
3、如图11所示，将一个重量为G的小球放在一个垂直放置的半径为R的光滑大环上。另一个轻质弹簧的刚度系数为k，自由长度为L（L<2R），一端固定在大环的顶点A，另一端连接小球。 当环处于静止平衡时，它位于大环上的B点。 求弹簧与垂直方向之间的角度 θ。
说明：平行四边形的三个向量总是可以转化为三角形进行讨论。 解三角形有三种典型思路：①分成直角三角形（或原直角三角形）； ②利用正弦、余弦定理； ③ 使用力学矢量三角形类似于空间位置三角形。 本题旨在实现第三个想法。
分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F代表弹簧力，N代表大环的支撑力。
（学生活动）思考：图12中支撑力N的方向可以相反吗？ （正交分解着眼于水平平衡——不可能。）
容易判断图中的灰度矢量三角形与空间位置三角形ΔAOB相似，因此：
⑴
根据胡克定律：F = k (
-R) ⑵
几何关系：
= 2Rcosθ ⑶
只要解上面三个方程就可以了。
回答：
。
（学生活动）思考：如果把弹簧换成刚度系数k′更大的弹簧，其他条件不变，弹簧力会如何变化？ 环的支撑如何变化？
答案：变小； 保持原样。
（学生活动） 反馈练习：将一个光滑的半球固定在水平面上。 中心O的正上方有一个滑轮，一根轻绳横跨滑轮，将一个小球慢慢地从A位置拉到B位置，如图13所示。试判断：在这个过程中，绳子的张力T和球面支撑力N变化？
解答：与上一题完全一样。
答案：T变小，N不变。
4、如图14所示，半径为R的非均匀球体，其重心不在中心点O。首先将其放置在水平地面上。 平衡时，球体上的A点与地面接触； 然后将其放置在倾斜角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面相接触。 已知A到B的圆心角也是30°。 求球体重心 C 到球心 O 的距离。
说明：练习三种力的共同点的应用。
根据平面上的平衡可知，重心C位于连接OA的线上。 根据斜面上的平衡，支撑力、重力和静摩擦力在同一点，可得出重心的具体位置。 几何计算相对简单。
回答：
R。
（学生活动）反馈练习：如果静摩擦力足够，将长度为a、厚度为b的砖块堆放在倾斜角为θ的斜坡上。 最多可以堆放多少块砖？
解决方案：应用三种力的常识。
回答：
。
4、将两根等长的细铁丝一端系在同一悬点O上，另一端系上一个小球。 两个球的质量分别为m1和m2。 已知两个球之间存在大小相等、方向相反的斥力。 两条线张开一定角度，分别为45°和30°，如图15所示。那么m1:m2是多少？？？
说明：本题测试正弦定理或使用力矩平衡解决静力学问题。
对两个球进行受力分析并进行矢量平移力的合成与分解，如图16所示。
首先，注意图16中的灰色三角形是等腰三角形，两个底角相等，设为α。
而且，两个球之间相互作用的斥力方向相反、大小相等，可以用同一个字母表示，设为F。
使用左侧向量三角形的正弦定理，我们有：
①
同理，对于右边的向量三角形，我们有：
②
只要解两个方程①②即可。
答案：1：
。
（学生活动）思考：还有其他办法解决这个问题吗？
答案：是的——将模型视为两个由光棒连接的小球，并将 O 点视为旋转轴。 两个球的重力必须与O的力矩平衡。这种方法更直接、简单。
应用：如果原题中的绳子长度不相等，但l1:l2=3:2，其他条件不变，则m1与m2的比是多少？
解：这时候用共点力平衡就比较复杂了（多了一个正弦定理方程），而用力矩平衡则和“思考”几乎一模一样。
答案：2：3
。
5、如图17所示，一根长度为L的轻质细杆固定在一个半径为R的均质金属球上。细杆的左端通过铰链与墙壁连接。 球下方垫一块木板后，细杆正好水平，木板下方有一个光滑的水平面。 由于金属球与木板之间存在摩擦力（已知摩擦系数为μ），因此当将木板从球下方向右拉出时，至少需要一个大小为F的水平拉力。 请问：如果要继续向左插板，至少需要多大的水平推力？
说明：这是一个典型的力矩平衡示例。
以球和杆为物体，研究它们在旋转轴O上的旋转平衡。假设木板拉出时球体上的摩擦力为f，支撑力为N，重力为G，则力矩平衡方程为：
f R + N (R + L) = G (R + L) ①
球和板发生相对滑动，因此：f = μN ②
求解①②可得：f =
再看棋盘平衡，F=f。
同理，当插入木板时，球体与木板之间的摩擦力为f′=
=F′。
回答：
。
第四讲 摩擦角及其他
1、摩擦角
1、总反作用力：物体上接触面的摩擦力和支撑力的合力称为总反作用力，一般用R表示，也称为接触反作用力。
2、摩擦角：总反力与支撑力之间的最大夹角称为摩擦角，一般用φm表示。
此时，要么物体发生了滑动，则必然有： φm = arctgμ（μ为动摩擦因数），称为动摩擦角； 或者物体已达到最大运动趋势，则必有： φms = arctgμs（μs为静摩擦因数），称为静摩擦角。 通常视为φm=φms。
3、引入总反力和摩擦角的意义：使物体受力的分析和处理更加方便、简单。
2. 孤立法和整体法
1、隔离法：当存在两个或两个以上对象时，需要将它们一一分解，将各个个体一一隔离出来进行分析处理。 这称为隔离法。
在处理隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向。
2、整体法：当每个个体处于平衡状态时，我们可以不考虑个体差异，将多个对象作为一个整体来分析和处理，这称为整体法。
在运用整体性方法时，应注意“制度”、“内力”、“外力”的含义。
3. 申请
1、将物体放置在水平面上，用与水平方向成30°的力拉动物体，物体会匀速向前运动。 如果这个力的大小不变，在水平方向拉物体，物体仍然可以匀速向前运动。 求物体与水平面之间的动摩擦系数μ。
说明：本题体现了摩擦角问题求解的优越性。 通过比较不同的解决方案，学生可能会印象深刻。
方法一，正交分解。 （学生分析力→建立方程→得出结果。）
方法二、利用摩擦角解决问题。
引入总反作用力R，对物体的两个平衡状态进行受力分析，然后进行矢量平移，得到图18左、中图（注：重力G不变，但总反作用力的方向力R不变（可变，F的大小保持不变），φm指摩擦角。
然后将两幅图像重叠，形成图18右图。由于灰色三角形是顶角为30°的等腰三角形，因此其顶角的角平分线必须垂直于底...所以： φm = 15°。
最后，μ=tgφm。
答案：0.268。
（学生活动）思考：如果F的大小可以选定，那么能够保持物体匀速运动的最小F值是多少？
解：见图18，右图中虚线的长度为Fmin，故Fmin=Gsinφm。
答案：°（其中G是物体的重量）。
2、如图19所示，将质量m=5kg的物体放在粗糙的斜面上，用平行斜面以F=30N的推力推动物体，使物体向上运动沿斜面匀速运动，且斜面始终静止。 已知斜面的质量为M=10kg，倾斜角度为30°，重力加速度为g=10m/s2。 求地面与斜面之间的摩擦力。
评论：
该问题旨在展示整体解决问题方法的优越性。
方法一、隔离法。 简单的介绍……
方法二，整体法。 注意，滑块和斜面之间存在相对运动，但从平衡的角度来看，它们是完全等价的，可以看作一个整体。
进行整体受力分析时，不考虑内力。 受力分析比较简单，通过建立水平平衡方程很容易求解地面摩擦力。
答案：26.0N。
（学生活动） 地面对斜面的支撑力是多少？
解决方法：稍微。
答案：135N。
应用：如图20所示，将表面粗糙的斜面放置在光滑的水平地面上。 斜面的倾斜角为θ。 另一个质量为m的滑块可以匀速沿着斜坡滑下。 如果对滑块施加推力F，使其能以恒定速度沿斜面向上滑动，且要求斜面静止，则必须对斜面施加P=θcosθ的水平推力。 使F的大小和方向满足题意。
说明：这是一个困难的静力学问题，可以使用所有可能的工具来解决它。
方法一：隔离法。
从第一个物理场景很容易得到斜面与滑块之间的摩擦系数 μ = tgθ
对于第二种物理场景，分离滑块和斜面进行受力分析，将F沿斜面和垂直斜面分解为Fx和Fy。 滑块与斜面之间的两对相互作用力仅用两个字母表示。 （N代表正压力和弹力，f代表摩擦力），如图21所示。
对于滑块，我们可以考察沿斜面和垂直于斜面的平衡情况——
Fx= f + mgsinθ
Fy+ mgcosθ= N
并且 f = μN = Ntgθ
结合以上三个方程我们得到：
Fx=Fytgθ+θ ①
对于斜面，只看水平方向的平衡——
P = fcosθ+ Nsinθ
即：θcosθ=μNcosθ+ Nsinθ
代入μ值并化简：Fy= mgcosθ ②
②代入①得：Fx=θ
最后，F =
F 大小的解由下式给出： tgα=
求解 F 的方向（令 α 为 F 与斜面之间的角度）。
答案：大小为F=mg
，方向与坡度的夹角 α= arctg(
) 点位于斜坡内部。
方法二：介绍摩擦角的概念和总体方法。
仍采用“方法一”中F的方向设置（见图21中的α角）。
我们先看一下整体水平平衡：Fcos(θ- α) = P ⑴
然后将滑块孤立出来，分析受力时引入总反力R和摩擦角φ。 由于简化后只有三个力（R、mg 和 F），因此可以将矢量平移形成三角形，如图 22 所示。
在图22右侧的矢量三角形中，有：
⑵
注： φ= arctgμ=arctg(tgθ) = θ ⑶
F和α的值可以通过求解方程⑴⑵⑶得到。