1/12考生类别第33届全省部份地区学院生数学大赛试题南京数学学会编撰2016年12月11日上海化学学会对本试题享有版权，未经准许，不得刊刻出版或用本试题进行商业活动，违者必究。答题说明：前14题是必做题，满分是120分；文管组和农林医组只做必做题；除必做题外，非数学B组限做15题，满分140分；非数学A组限做15、16题，满分160分；数学组限做15、17题，满分160分。请朋友们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若二者不符，按废卷处理。请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。一、填空题（必做，共10题，每题2空，每空3分，共60分）1.如图所示，高、倾角30的光滑斜面顶端处有两个质点。质点1以初速率1水平朝左抛出，质点2同时以初速率2沿斜面下降。设质点1、2同时抵达斜面底端处，则1=，2=。2.质量=0.5mg（微克）的虱子，腿长=0.4mm。开始时身体和腿都贴在地面上，起跳的过程中腿向下伸展，最终以=1m/s竖直向下的速率离开地面。过程中虱子整体向下加速度处理为常量，过程所经时间为s（秒），过程中腿的平均输出功率为W（瓦）。（答案均取1位有效数字）3.质量、长度2的匀质细杆，开始时如图所示，处于水平静止状态。
将细杆自由释放后，细杆可绕着通过端的水平光滑固定转轴摆动。细杆端刚抵达最低处时，转轴提供的向下支持力=。若端抵达最高位置后顿时，细杆中央处忽然断掉，杆的下半段继续运动，转过180°后端正好着地，则转轴距水平地面高度力ℎ=。4.参考多普勒效应示意图，波源S的震动频度为0。S朝着接收者B运动，在介质参考系中速率大小为Sv；机械波在介质中的传播速率为u，接收者B朝着S运动在介质参考系中速率大小为Bv。则当0Svu，0Bv时，B的接BvS0S介质vB）））ℎ水平地面题号一二1~分数阅卷人题号三总分分数阅卷人考场姓名准考证号所在中学*****************************密******************封*******************线*********************************2/12收频度1；当0Sv，0Bv时，B的接收频度2。5.理想二氧化碳平衡态的麦克斯韦速率分布函数(�⃑�)和速度分布函数()分别为。设大气湿度处处为，将地面大气浮力记为0，则距地面高度为ℎ处大气浮力(ℎ)=。
6.热力学第二定理的克劳修斯叙述为；开尔文叙述为。7.题图所在平面为某个光滑水平面，处固定着一个负电荷如图所示ab是圆直径的两个端点，空间有匀强磁场，磁感应硬度方向垂直图平面朝里，大小为。一个比荷（电量与质量之比）为的带正电光滑球，绕着在此平面做直径为0的逆秒针方向匀速圆周运动，则运动速度0取值的可能范围为。取消磁场�⃑⃑�，若仍可以相同速度0绕着在此平面上做直径为的顺秒针方向匀速圆周运动，则=。8.如图所示，每周长为的等腰三角形区域内有匀强磁场如图所示ab是圆直径的两个端点，磁感应硬度�⃑⃑�的方向垂直图平面朝外。每周长为的等腰三角形导体框架，在=0时正好与磁场区的边界重合，而后以周期绕其中心沿顺秒针方向匀速旋转，于是在框架中有感应电压。规定电压按−−−方向流动时电压硬度取为正，反向流动时取为负。设框架的总内阻为，则从=0到1=6⁄时间内平均电压硬度1=；从=0到2=2⁄时间内平均电压硬度2=。9.如图1所示，三条周长各为1、2、3的均匀长方体内阻块，电压从左边表面均匀流到左边表面，已测得其阻值为=10Ω。若将其各周长都减小一倍，则此时相应的阻值1=。如图2所示，每周长为的匀质正圆形内阻薄平板，已测得′、′两端间内阻′=5Ω。若将每周长都增为2，质材不变，则此时相应的内阻′2=。
10.如图所示，一艘无人飞船和一颗慧星相对地面参考系，分别以0.6和0.8的速率面对面地运动。地面系时钟读数=0时，刚好飞船时钟读数也为=0。地面系觉得=5s（s表示秒）时，飞船会与慧星翻车。飞船则觉得=s时，自己会与慧星翻车，但是飞船在=0时觉得慧星与它相距cs（光秒）。�⃑⃑�123图1图2′′0.60.8飞船慧星地面�⃑⃑��⃑⃑�003/12二、计算题（必做，共4题，每题15分，共60分）11.（15分）如图所示，两块相同的平面镜之间的倾角为−2，其中为每一块平面镜与空间平面之间的倾角。在两个平面镜倾角的角平分面上放置单色线光源，它与两平面镜交线的距离为=20cm。图中屏幕与平面平行且被放置在足够远处（解答时处理为无穷远），设=0.1rad，光源发出的光线不能直射到上，试问平面镜间距最小为多少时，在上必能有干涉图样？（结果保留一位有效数字）12.（15分）某单原子分子理想二氧化碳的压缩过程如图中左下方的过程曲线所示。将此过程每一个状态的浮力量朝上平移0量，保持容积不变，平移所得曲线刚好是气温为0的等温压缩线。（1）试导入左下方过程曲线内含的放热区域（定义为其中每一个无穷小过程都是放热过程的区域）和吸热区域（其中每一个无穷小过程都是吸热的区域），要求这两类区域均取坐标量的取值范围来划分。
（2）将吸、放热区域的转换点记为，它在0等温线上对应的点已在图中记为。从点朝右作等压线，前者与0等温线交于图中点，试求图中热循环过程的效率。（取ln53=0.51，答案取1位有效数值）0000考场姓名准考证号所在校区*****************************密******************封*******************线*********************************4/1213.（15分）施特恩盖拉赫实验装置如图所示，炉中的银蒸气经准直缝后产生银原子细束，经过一个抽成真空的不均匀磁场区域，磁场沿垂直于原子束的z轴方向，最后抵达拍照底片产生两条对称的分立痕迹.银原子由原子核与外层电子所产生的“原子实”和最内层的一个价电子组成，炉中银蒸气中的银原子处于能级，原子实是球对称的，价电子绕核运动的轨道角动量等于0，对磁矩没有贡献，因而银原子的磁矩就是价电子的载流子磁矩μ，实验结果表明：电子载流子磁矩在z轴方向上的份量只有两个值B，其中B被称为玻尔磁子。SN炉拍照底片准直缝吸铁石z5/12设实验中炉温恒为T，银原子以该气温下的平均速度通过准直缝，沿银原子束方向的磁体宽度为L，纵向（即图中z轴方向）不均匀磁场梯度的大小最大为G.忽视重力，不计拍照底片与吸铁石间的距离，求银原子抵达拍照底片上的痕迹偏离中心的最大距离.14.（15分）请按次序解答下边两个问题。
（1）质量为、半径为、厚度可忽视的圆盘，顺着它的某一半径开成一条很窄的光滑通道。假定通道中的一个自由质点才能仅在圆盘万有引力作用下作简谐震动，且震动中心即为圆心，试给出圆盘的一种面密度分布。（2）保留（1）中原圆盘通道，但使质量面密度降低1倍成为质量等于2的新圆盘，再将新圆盘割分为直径为′的小圆盘与内、外直径分别为′、的圆环，致使二者质量均为。引入三个时间量如下：1：自由质点从（1）中原圆盘半径通道的一个端点自静止出发产生的震动周期；2：自由质点从新圆盘半径通道位置的一个端点自静止出发，在拿走圆环后，即仅在小圆盘万有引力作用下产生的震动的周期；3：自由质点从新圆盘半径通道位置的一个端点自静止出发，在拿走小圆盘后，即仅在圆环的万有引力作用下产生的震动周期。请剖析地用等号或不等号构建1、2、3间的大小关系。（做数值判定时，可用如下近似：√43≈1.59，√10≈3.16）考场姓名准考证号所在中学*****************************密******************封*******************线*********************************6/127/12三、限做题（按照考生类别选做）15.（20分）如图所示，有一直径=0.128m的玻璃半球，在其主光轴放一长=0.20m的条形物12。
只考虑近轴光线成像，在图中主光轴上可同时观察到12的两个像，它们分别是经玻璃半球的平面和凹球面反射而得。而且，当条形物的2端与半球面中心相距2̅̅̅̅̅̅=0.020m时，两个像正好无重叠地联接在一起，试求玻璃半球的折射率。（答案取1位有效数字。）解题时，只可取用下列在近轴条件下创立的球面反射和球面折射成像公式：球面反射成像：1+1={2凹球面−2凸球面：球面直径、：物距、：像距球面折射成像：+={−凸球面：物光所在空间介质折射率−−凹球面：像光所在空间介质折射率12考场姓名准考证号所在中学*****************************密******************封*******************线*********************************8/1216.（20分）系统如图所示，MN和PQ是两根固定光滑竖直平行直杆，二者相距l，轻绳长Ll，下端固定在M点，绳穿过光滑小环A后联接在小环B上，环A、B质量同为m。图中两段绳长1l、2l与L的关系为12Lll，图中为2l绳段与PQ杆间的倾角。（1）取23Ll，假定系统仅在重力、绳的张力和直杆提供的水平方向支持力作用下，处于图示角位置时为平衡态，试求值，并判断该平衡态的稳定性。
为提高阅卷效率，本题全部通感中一致规定，绳段下蹲且10l时系统所处状态的重力势能取为零位。（2）设Ll，只讨论A在B的上方朝下运动，B在A的下方朝上运动的过程。再设此过程中仅在重力、绳的张力和直杆提供的水平方向支持力作用下，绳段MA和AB仍然会处于下蹲状态，即12Lll一直创立。（2.1）确定1l可取值范围；（2.2）将角对应的A下行速率、加速度分别记为Av、Aa，试求此时B的上行速率、加速度Bv、Ba，答案用l、、Av、Aa叙述。（3）取2Ll，开始时10l，A、B静止，系统自由释放后，假定系统过程能如（2）问所述。（3.1）试求系统自由释放后顿时的Av、Bv，Aa、Ba和绳中张力T，答案用l、g和m叙述；（3.2）试求第一次达到60o时的Av、Bv，Aa、Ba和绳中张力T，答案用l、g和m叙述；（3.3）再求第一次无限接近90o时的Av、Bv，Aa、Ba和绳中张力T，答案用l、g和m叙述；BMQP/12考场姓名准考证号所在中学*****************************密******************封*******************线*********************************10/1211/1217.（20分）前言：如图1所示，某竖直平面上有水平朝内的匀强磁场B，匀质金属圆形框架ABCD以AB边取水平状态在该竖直平面内自由下落。
略去空气阻力，试问框架下落加速度是否仍为g？细致地剖析，框架下落过程中，内部自由电子和正离子分别遭到朝左和朝右的磁场力。整体所受水平力可以抵消，但自由电子必将会朝左运动，产生电压。此电压所受磁场安培力朝上，使框架下落加速度因而稍大于g。自由电子的迁移，在四根杆的右侧面累积负电荷，左侧面累积正电荷，框架内出现电场，因而影响电子的迁移速率和电压。框架下落速率的变化也会影响自由电子的迁移速率、侧面电荷的累积以及框架内的电场结构。定量讨论框架下落加速度和速率的变化，困难较大。为对框架下落加速度必将会大于g的定性推论作简单的量化讨论，特用长方导体块替代图1中的框架，设置题目如下。题文：如图2所示，质量密度为m、电阻率为的长方导体块ABCD，0t时刻以AB面处于水平方位的静止状态自由释放，空间有垂直于导体块前后表面朝内的匀强磁场B。略去空气阻力，不考虑导体块落地的可能性。再设导体块的AD面和CD面足够大，在讨论的时间范围内可处理为常量，导体块内的电场可处理为随时间变化的匀强电场。略去导体块内电流的磁场、略去电场变化迸发起的磁场。（1）导入可解的关于BC面上电荷面密度()t的微分等式。
（2）引入简化热阻（2.1）求解()t函数，答案中只可出现热阻g、B、、t；（2.2）求解导体块下落加速度和速率随t变化的函数：()aat，()tvv答案中只可出现热阻g、B、、t。BBBBBCgDA图CgDA图2考场姓名准考证号所在校区*****************************密******************封*******************线*********************************12/121/13第33届全省部份地区学院生化学大赛参考答案2016.121.√32√，32√2√。2.8×10−4，3×10−4。3.52，(2+23)。4.−0，+0。5.(2)32⁄−2/2和4π2(2)32⁄−2/2，0−ℎ/。6.不可能使热量从高温物体自发地传到低温物体而不形成任何其他影响，不可能从单一热源吸收热量使之完全转化为有用功而不形成任何其他影响。7.0>0，00−00。8.√322⁄，22√3⁄。9.5Ω，5Ω。10.4，14037。
11.（15分）解：参考题解图，发出的光经两块平面镜反射后产生两支相干光束。这两支光束可等效为由的两个实像1、2发出，将1、2视为两个线光源，则问题转化为杨氏双缝干涉。考虑到反射机制，1发出的光束由题解图中的射线11和射线11划分，2发出的光束由射线22和射线22划分。因为屏幕足够远，为使这两支光束在上能相遇产生相干叠加，便要求11不能与两平面镜倾角的角平分线′向下相交成锐角。同理，22不能与′向上相交成锐角。即取11、22分别与′平行（即倾角分别为零）时，可保证在很远的屏幕上必有干涉图样，但是平面镜的长度又可取为最小，其值为（8分）min=2[cos(2−)]=2⋅sin（5分）由于小角度，故min=2⋅sin≈2=4cm（2分）12.（15分）解：（1）无穷小过程′题解图2/13=+32,>0,320：0放热区域（7分）（2）点：=320，由(+0)=0⟹=2500由=⟹=350点：由=+0⟹=520，=0由=⟹=2500点：=0，==320，由=⟹=2300过程效率：=32(−)=350=0ln=0ln53=−52(−)=−0⟹=1−−+=1−135+ln53=1−10.6+0.51≈10%（8分）13.（15分）解：银原子载流子磁矩在磁场中的势能：BμBμWz（3分）z轴方向受力：B（5分）设银原子的质量为m，z轴方向加速度：（2分）通过磁体的时间：mkTLtπ8（2分）痕迹偏离中心的距离：π212B2（3分）3/1314.（15分）解：（1）质量均匀分布的圆环在其中央轴线上的万有引力场强，可等效为将环质量平分给环上两个对径点（如题解图1中、点）后在原轴线上的场强。
质量均匀分布、半径的圆球，其质量体密度为=3/43如题解图2所示，构建−平面，原点坐落球心，在−平面上取{、}位置附近面馆元。将此面馆元绕轴旋转一周产生一细环体，它所含质量为=(2cos⋅)细环体上质量均匀分布，它在中央轴，即轴上的引力场强等效为将等分给两个面馆元后在轴上的引力场强。两个面馆元上的质量面密度同为=12=3cos/43用这些方式将圆球质量集中在平面上的直径圆面上，则球与圆面在轴半径通道上的场强分布一致，故自由质点在该通道上均作简谐震动。为此，(、)={⁄−2≤≤2(、−)2≤≤32（5分）（2）分步讨论′的确定：新圆盘面密度降低一倍，质量便为2，′小圆盘与外环质量均为，对小圆盘有′(、)=3cos4′3⁄,2(、)=⁄即得′=√23⁄1的估算：同于质量为、半径为匀质球半径隧洞中的震动周期。如题解图3所示，自由质点处于位置时，将圆盘还原为匀质球，则受力(1)=−2⁄,=433即为线性恢复力(1)=−2⁄⟹简谐震动{=√/31=2√/（4分）2与1的大小比较：题解图1题解图2题解图34/13参考题解图4，自由质点在′≤≤处受力(2)=−2⁄⟹|(2)|≥|(1)|而在0≤≤′处受力(2)=−′3⁄⟹|(2)|>|(1)|自由质点从=处静止出发后，处处受力变大，加速度值也变大，速率值也处处变大。
考虑到经过|∆|所需时间∆=|∆|||⁄，故必有∆(2)1=2√/（2分）附注：2√2√2√43−3≈2√2√2×1.59−3=2√2√0.18>2√10>2为此3>1据上述讨论最后1、2、3间大小关系为3>1>2（1分）′题解图45/1315.（20分）解：Ι：平面反射成像取⟶∞，即成平面反射成像1+1=0⟹=−实像如题解图所示，有实像1′2′：2′̅̅̅̅̅̅=2̅̅̅̅̅̅=0.020m2′1′̅̅̅̅̅̅̅==0.20m（5分）ΙΙ：平面折射----球面反射----平面折射成像点（1点或2点）平面折射成像⟶∞，即成平面折射成像11+1=0⟹1=−1（3分）凹球面反射成像12+12=2,2=−1=+1,2=(+1)+21（3分）平面折射成像3+13=0,3=−2=1+21,3=−1+21（3分）1点成像点1′′1=1̅̅̅̅̅̅=2̅̅̅̅̅̅+=0.22m,3=−0.128×0.220.128+2×0.22m
