色子？色子是哪些东西？它应当出现在大富豪游戏里，应当出现在香港和拉斯维加斯的赌博中，然而，数学学？不，那不是它应当来的地方。色子代表了投机，代表了不确定，而数学学不是一门最严格最精密，最不能容忍不确定的科学吗？
可以想像，当伯尔尼于1926年7月将色子带进化学学后，是导致了何等的轩然大波。围绕着这个核心解释所展开的争辩激烈而尖锐，把数学学加热到了沸点。这个话题是这么具有争议性，很快就要引起20世纪数学史上最有名的一场大论争，而可怜的奥斯陆仍然要到整整28年后，才由于这一杰出的发觉而获得诺贝尔奖金–比他的中学生们白天许多。
不管怎样样，我们还是先来瞧瞧克拉科夫都说了些哪些。色子，这才是薛定谔波函数ψ的解释，它代表的是一种随机，一种机率，而决不是薛定谔本人所理解的，是电子电荷在空间中的实际分布。克拉科夫争论道，ψ,或则更确切一点，ψ的平方，代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身不会像波那样扩充开去，并且它的出现机率则像一个波，严格地根据ψ的分布所展开。
我们来追忆一下电子或则光子的双缝干涉实验，这是电子波动性的最好证明。当电子穿过两道狭缝后，便在感应屏上组成了一个疏密相间的纹样，展示了波峰和波谷的互相提高和抵消。并且，正如粒子派强调的那样，每次电子只会在屏上打出一个小点，只有当作群的电子穿过双缝后，就会渐渐组成整个纹样。
如今让我们来做一个思维实验，想像我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，迸发出一个小亮点。这么，对于这一个电子，我们可以说些哪些呢？很显著，我们不能预言它组成类波的干涉白色，由于一个电子只会留下一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的哪些地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验，它有时出现在这儿，有时出现在哪里，完全不是一个确定的过程。
不过，我们经过大量的观察，却可以发觉，这个电子不是完全没有规律的：它在个别地方出现的可能性要大一些，在另一些地方则小一些。它出现频度高的地方，恰恰是波动所预言的干涉白色的亮处，它出现频度低的地方则对应于暗处。如今我们可以理解为何大量电子能组成干涉白色了，由于其实每一个电子的行为都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一个干涉白色的纹样。这如同我们掷色子，即使每一个色子掷下去，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但假如你抛掷大量的色子到地下，之后数一数每位点的数目，你会发觉1到6的结果差不多是平均的。
关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现，它从来不会像薛定谔所说的那样，在屏幕上打出一滩纹样来。只有大量电子接二连三地跟进，总的干涉纹样就会渐渐出现。其中亮的地方也就是比较多的电子打中的地方，换句话说，就是单个电子比较容易出现的地方，暗的地带则刚好相反。如果我们发觉，有9成的粒子集聚在亮带，只有1成的粒子在暗带，这么我们就可以预言，对于单个粒子来说，它有90%的可能出现在亮带的区域，10%的可能出现在暗带。并且，到底出现在那里，我们是难以确定的，我们只能预言机率而已。
我们只能预言机率而已。
然而，等等，我们如何敢随意说出这些话来呢？这不是对于古老的数学学的一种大不敬吗？从伽利略牛顿以来，成千上百的父辈们为这门科学呕心沥血，建筑起了这样宏伟的构建，它的力量统治整个宇宙，从最大的星体到最小的原子，万事万物都在它的威力下必恭必敬地运转。任何巨大的或则细微的动作都逃不出它的力量。星体之间形成可怕的碰撞，释放出无法想像的光和热，并诞生数以亿计的新星体；宇宙射线以惊人的高速穿越遥远的空间，见证亘古的岁月；微小得看不见的分子们你推我搡，嘈杂不停；月球庄重地围绕着太阳运转，它自己的自转轴同时以未能觉察的速度轻微地震动；坚硬的岩石随着岁月流逝而渐渐风化；鸟儿扑动它的翅膀，借着气流一飞冲天。这一切的一切，不都是在数学定理的监视下一丝不苟地进行的吗？
更重要的是，化学学除了才能解释过去和现今，它能够预言未来。我们的定理和多项式才能毫不含混地预测一颗子弹的轨迹以及它降落的地点；我们能预言几千年后的日全食，时刻确切到秒；给我一张电路图，多复杂都行，我就能说出它将做些哪些；我们制造的机器乖乖地根据我们预先拟定好的计划运行。事实上，对于任何一个系统，只要给我足够的初始信息，赋于我足够的运算能力，我还能估算出这个体系的一切历史，从它最初如何开始运行，仍然到它在遥远的未来的命运，一切都不是秘密。是的，一切系统，哪怕色子也一样。告诉我色子的大小，质量，玉质，初速率，高度，角度，空气阻力，椅子的玉质，磨擦系数，告诉我一切所须要的情报，这么，只要我拥有足够的运算能力，我可以毫不犹豫地预先告诉你量子物理史话上帝掷骰子，这个色子将会掷出几点来。
数学学统治整个宇宙，它的过去和未来，一切都尽在把握。这早已成了化学学家心里深深的信仰。19世纪初，欧洲的大科学家拉普拉斯(Simonde)在用牛顿多项式估算出了行星轨道后，把它展示给拿破仑看。拿破仑问道：“在你的理论中，上帝在哪里呢？”拉普拉斯平淡地回答：“陛下，我的理论不须要这个假定。”
是啊，上帝在数学学中能有哪些位置呢？一切都是由化学定理来统治的，每一个分子都遵循数学定理来运行，假如说上帝有哪些作用的话，他最多是在一开始加快了这个体系一下，让它得以开始运转罢了。在以后的漫长历史中，有没有上帝都是无关紧要的了，上帝被数学学逐出了舞台。
“我不须要上帝这个假定。”拉普拉斯站在拿破仑面前说。这可算科学最光荣最辉煌的时刻之一了，它把无边的自豪和骄傲撒播到每一个科学家的心里。除了不须要上帝，拉普拉斯想像，如果我们有一个妖精，一个大智者，或则任何拥有足够智慧的人物，如果他才能了解在某一刻，这个宇宙所有分子的运动情况的话，这么他就可以从正反两个方向推演，因而得出宇宙在任意时刻的状态。对于这样的智者来说，没有哪些过去和未来的分别，一切都历历在目。宇宙从它出生的那一霎那开始，就掉进了一个预定的轨道，它严格地根据数学定理发展，没有任何岔口可以走，仍然到遇到它那注定的命运为止。如同你出手传球，这么，这到底是一个三分球，还是打中篮筐弹出，或则是一个airball，这都在你出手的一霎那决定了，然后我们所能做的，就是看着它根据写好的剧本发展而已。
是的，科学家晓得过去；是的，科学家明白现今；是的，科学家了解未来。只要把握了定理，只要收集足够多的情报，只要才能处理足够大的运算量，科学家能够就像上帝通常无所不知。整个宇宙只不过是一台精密的机器，它的每位零件都根据定理一丝不苟地运行，这些看法就是古典的，严格的决定论()。宇宙从出生的那一霎那起，就有一个确定的命运。我们如今难以了解它，只是由于我们所晓得的信息太少而已。
这么多的天才前仆后继，这么多的伟人呕心沥血，这么多在黑暗中的探求，挣扎，拼搏，这才凝结成数学学在19世纪黄金时代的全部光荣。化学学家总算可以说，她们能否预测神秘的宇宙了，由于她们找到了宇宙运行的奥秘。她们说这话时，带着一种神圣而不可侵害的情感，决不宽恕任何勇于惧怕化学学力量的人。
然而，如今有人说，数学不能预测电子的行为，它只能找到电子出现的机率而已。无论怎样，我们也没办法确定单个电子到底会出现在哪些地方，我们只能推测，电子有90%的可能出现在这儿，10%的可能出现在哪里。这莫非不是对整个数学历史的嘲讽，对化学学的光荣和尊严的一种羞辱吗？
我们不能确定？数学学的辞典里是没有这个字眼的。在学校的数学考试中，题目给了我们一个小球的初始参数，要求t时刻的状态，你敢写上“我不能确定”吗？要是你这样做了，你的数学老师准会气得吹胡须瞪双眼，而且毫不迟疑地给你亮个红灯。不能确定？不可能，数学学哪些都能确定。固然，有时侯为了便捷，我们也会引进一些统计的方式，例如处理大量的空气分子运动时，但那是完全不同的一个问题。科学家只是凡人，难以处理那样多的复杂估算，所以应用了统计的捷径。并且从理论上来说，只要我们了解每一个分子的状态，我们完全可以严格地推论出整个系统的行为，分毫不爽。
但是伯尔尼的解释不是这样，奥斯陆的意思是，即使我们把电子的初始状态检测得精确无比，即使我们拥有最强悍的计算机可以估算一切环境对电子的影响，尽管这么，我们也不能预言电子最后的确切位置。这些不确定不是由于我们的估算能力不足而导致的，它是深藏在数学定理本身内部的一种属性。虽然从理论上来说，我们也不能确切地预测大自然。这早已不是推翻某个理论的问题，这是对整个决定论系统的挑战量子物理史话上帝掷骰子，而决定论是那时整个科学的基础。量子论挑战整个科学。
克拉科夫在论文里写道：“……这里出现的是整个决定论的问题了。”(Hiersichderganzedes.)
对于许多化学学家来说，这是一个不可宽恕的假定。色子？不确定？别开玩笑了。对于她们中的好些人来说，数学学之所以那样诱人，那样富于魔力，正是由于它深刻，明确，才能确定一切，扫清人们的一切疑问，这才使她们义无反顾地涉足到这一事业中去。如今，数学学居然有弄成摇奖机器的危险，居然要弄成一个掷色子来决定命运的赌徒，这如何才能容忍呢？
不确定？
一场史无前例的大争辩正式展开，在争执和辩论旁边是兴奋，发抖，绝望，眼泪，伴随着整个决定论在20世纪的悲情退场。
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饭后闲谈：决定论
可以说决定论的变迁浓缩了整部自然科学在20世纪的发展史。科学从牛顿和拉普拉斯的时代走来，辉煌的成功使它一时得意忘形，觉得它具有预测一切的能力。决定论觉得，万物都早已由化学定律所规定出来，连一个细节都不能修改。过去和未来都像早已写好的剧本，宇宙的发展只能严格地根据这个剧本进行，未能跳出这个窠臼。
矜持的决定论在20世纪首先受到了量子论的严重挑战，此后混沌动力学的盛行使它彻底被击溃。如今我们早已晓得，虽然没有量子论把机率这一基本属性赋于自然界，就牛顿多项式本身来说，许多系统也是极不稳定的，任何细小的干扰都还能对系统的发展导致极大的影响，差之毫厘，失之千里。这种干扰从本质上说是不可预测的，因而想凭着牛顿多项式来预测整个系统从理论上说也是不可行的。典型的事例是常年的天气预报，你们可能都早已据说过洛伦兹知名的“蝴蝶效应”，哪怕一只蝴蝶轻微地扇动它的翅膀，也能给整个天气系统引起戏曲性的变化。现今的天气预报也早已普遍改用机率性的说法，例如“明天的降雨机率是20%”。
1986年，知名的流体热学权威，詹姆士?莱特希尔爵士(SirJames，他于1969年从狄拉克手里接过剑桥卢卡萨院士的席位，也就是牛顿曾兼任过的那种)于皇家学会记念牛顿《原理》发表300华诞的游行上发表了震惊一时的歉意：
“现在我们都深深意识到，我们的高手对牛顿热学的惊人成就是那样崇敬，这使她们把它总缔结一种可预言的系统。并且说实话，我们在1960年曾经也大都倾向于相信这个说法，但如今我们晓得这是错误的。我们曾经当初欺骗了公众，向她们宣传说满足牛顿运动定理的系统是决定论的，然而这在1960年后已被证明不是真的。我们都乐意在此向公众表示歉意。”
(Wearealltodaythattheofourfortheofledthemtomakeinthisareaofwhich,,wemayhaveto1960,butwhichwenowwerefalse.Wewishtoforthebyideasabouttheof'slawsofthat,after1960,weretobe.)
决定论的内乱是否注定了自由意志的盛行？这在哲学上是很值得阐述的。事实上，在量子论以后，化学学越来越陷于形而念书的争辩中。其实形而念书()应当改个名子叫“量子论以后”()。在我们的简史前面，我们会详尽地阐述这种问题。
Ian写过一本关于混沌的书，书名也叫《上帝掷色子吗》。这本书文字优美，很值得一读，其实和我们的简史没哪些联系。我用这个名子，一方面是想指出决定论的变迁是我们简史的中心话题，另外，虽然爱因斯坦这句格言原本的版权是属于量子论的。