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陈仓佚2吴波1宋峰2
1.上海天府第七分校；2.南开学院数学科学大学
本题研究管线中的流体由于压力波造成的浮力变化，主要处理因为快速和慢速关掉管路中球阀造成的水锤效应。
为简化估算，要求只考虑非粘性流体的一维流动。所有管线及球阀都看成是刚性的，但流体是可压缩的。容积为V0的流体单元在浮力P0作用下处于平衡状态，假如浮力改变量为ΔP,则容积改变量ΔV与ΔP成反比，表示为
ΔP=-B(ΔV/V0)(1)
比列系数B表示液体的容积泊松比。对于水，密度为ρ0=1.0×103kg/m3，容积挠度为B=2.2GPa。
A部份：浮力变化和浮力波传播
在宽度为L均匀圆锥形管路中大气压强表达式为，水顺着x轴正方向稳定流动，水平方向速率为v0，密度为ρ0，浮力为P0。如图1所示，管线与储液器相连，离海面深度为h，储液器与大气相通，大气浮力记为Pa。
图1均匀管内的稳定液体流动
假定坐落管线末端的流量控制阀T顿时关掉，球阀附近即将流出管线的液感受承受浮力的变化ΔPs≡P1-P0和速率的变化Δv=v1-v0(v1≤0)。这会导致浮力变化ΔPs通过纵波的方式以传播速率c沿x轴负方向传播。
问题A.1浮力变化ΔPs与速率的改变量Δv的关系可表示为ΔPs=αρ0cΔv。浮力波的传播速率为
试求出α，β和γ。(1.6分)
问题A.2在水流速率v0=4.0m/s，v1=0条件下，估算浮力波的速率c和ΔPs的大小。(0.6分)
B部份：流量控制阀模型
图2为液体流经流量控制阀T时的数学模型。控制球阀紧靠管线的A端，宽度为ΔL大气压强表达式为，内直径为R。球阀锥形出口的直径为r，与大气相通，大气浮力为Pa。重力对射流的影响可以忽视。
液体被觉得是不可压缩的，球阀入口处的稳定流动的液体速率为vin，浮力为Pin，密度为ρ0。图2中，画出的流线及其法线，只是为了帮助认清流动图样。
图2球阀规格和喷射口的收缩示意图
流体离开球阀步入大气后，流体的横截面将收缩直至达到最小值，此时流线将再度平行。在这个最小值处，流体速率为vC，流体横截面直径为
。CC被称为收缩系数，由球阀的内直径与锥形凹坑直径的比值r/R以及锥角大小β决定，见表1。
表1喷射口凹坑的收缩系数
问题B.1求出当球阀入口处流线平行时的ΔPin=Pin-Pa，用ρ0，vin,r，R,和CC表示。(1.0分)
本题目C和D部份，对于图1所示的储液器-管线系统，有如下假定条件：
(1)传播速率c和液体密度ρ0是与流速无关的常数。环境大气压Pa和重力加速度g为常数。
(2)最初球阀完全打开，管线中的流体稳定，其浮力为P0，流速为v0。
(3)图1和图2所示的管线宽度为L，直径为R。球阀T是一个直径r可变的方形开口，锥角β=90°。球阀的宽度ΔL可忽视不计，球阀入口紧挨管线的A端。重力对射流的影响可以忽视。
(4)储液器中的液体是准静态的，因而其紧靠管线入口B的压力Ph保持恒定。管线中的流体压力变化可以忽视，因而整个管线中的液体流动是一维的。
C部份：流量控制阀快速关掉造成的水锤效应
对于图1中所示的储液器-管线系统，当管线中的液体流动被完全或部份关掉的球阀阻塞时，将会形成向下游传播的浮力波。浮力波在管线末端遇到储液器后将向球阀反射，并在球阀端再度反射产生另一个浮力波。以上过程不断重复，进而造成球阀附近的液体形成一系列的浮力大小的突变，这个现象称为水锤。
问题C.1参考图1和图2，当球阀T完全打开(r=R)时，求出管线内稳定流体的浮力P0和速率v0。用ρ0，g，h和Pa表示。(0.6分)
问题C.2考虑与问题C.1中具有相同浮力P0和速率v0的稳定流体。在t=0时，球阀立刻关掉(r=0)。浮力波以传播速率c朝着储液器联通。管线B端的浮力为Ph=P0+ρ0gh，令τ=2L/c。当时间t十分接近τ/2和τ时，管线内流体浮力P(t)和流速v(t)是多少？(1.2分)
D部份：流量控制阀平缓关掉造成的水击效应
再度考虑与问题C.1中具有相同浮力P0和速率v0的稳定流体。平缓关掉蝶阀，并采用有限步方式模拟关掉过程。
从时间t=0开始，球阀直径r的瞬时削减量按时间间隔τ=2L/c依次给出(表2)。每次直径增大后，球阀区域内的流动可被近似为立刻稳定，与B部份所示情况相同。此时球阀处的浮力和速率与管线中其他流体的不同。
表2球阀关掉步骤
表2给出球阀每位关掉步骤n的持续时间和蝶阀开口的直径rn，而且给出球阀处相应时刻的流体浮力Pn和流动速率vn。
液体密度ρ0和浮力波传播速率c均看作常数。步骤n=0、1、2、3、4，浮力改变量为ΔPn=Pn-P0，速率改变量为Δvn=vn-v0，Ph与P0近似相等(Ph=P0)。
问题D.1求出ΔPn/(ρ0c)的表达式，用ΔPn-1/(ρ0c),vn-1和vn，该表达式应适用于表2中所有n>0的关掉步骤。对于n=1、2、3，在vn-1和ΔPn-1/(ρ0c)都已知的情况下，求出才能估算vn的表达式。(3分)
问题D.2依据问题D.1的结果，取水流的速率v0=4.0m/s，勾画出所有的ΔP-ρ0cv图。对于所有的关掉步骤n=1、2、3、4，给出所画直线和曲线的交点座标，应给出ρ0cvn和ΔPn的值，同时在图中标出每位交点座标(ρ0cvn,ΔPn)所对应的n的值。从图中计算n=1、2、3、4时ρ0cvn和ΔPn的值(均以MPa为单位)。
赛题背景
流体沿压力管线(如输油、输水等管线)流动时，若忽然关掉或开启球阀、或者电机忽然停机或启动，流体流动速率将发生忽然变化；同时因为流体惯性和可压缩性，流体浮力将形成剧烈的周期性变化，此现象被称为水击或水锤。发生水击现象时，管线内浮力波动可能达到额定工作浮力的几十倍甚至几百倍，管壁及管线上的设备及附件将承受很大的高频交变压力，形成剧烈震动并发出如同锤击的声音。该交变压力可能导致球阀破坏、管件接头断裂、断开，甚至管线炸裂等重大车祸。因而压力管线中水击现象的害处及预防研究是一项重要的工业工程问题。
本题即以水击效应为背景，讨论压力管线球阀关掉时流体浮力和流速的变化。
END