第十三章动量矩定律质点和质点系的动量矩动量矩定律质心绕定轴转动的微分等式质心对轴的转动力矩质点系相对刚体的动量矩定律质心平面运动微分等式由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一质心，此力等于平面力系的主矢，此质心等于平面力系对简化中心的主矩。由质心平面运动理论知：质心的平面运动可以分解为陪同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在刚体上，则动量定律（刚体运动定律）描述了质心陪同刚体的运动的变化和外力系主矢的关系。它阐明了物体机械运动规律的一个侧面。质心相对刚体的转动的运动变化与外力系对刚体的主矩的关系将有本章的动量矩定律给出。它阐明了物体机械运动规律的另一个侧面。13.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定座标轴的动量矩等于质点对座标原点的动量矩在相应座标轴上的投影，即13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩1、质点系对固定点的动量矩即：质点系对任一固定点O的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。2、质点系对固定轴的动量矩即：质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点系中各质点对该固定轴动量矩的代数和。
13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩3、平动质心的动量矩即：平动质心对任一固定点的动量矩等于视质心为质量集中于刚体的质点对该固定点的动量矩。13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩4、转动质心对转轴的动量矩设质心绕定轴转动的角速率为，质心上任一质点的质量为，到转轴的距离为，则其速率的大小为，于是有即：定轴转动质心对转轴的动量矩等于质心对转轴的转动力矩与质心角速率的乘积。13.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩一、质点的动量矩定律将动量矩对时间取一次求导，得13.2一、质点的动量矩定律即：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶求导，等于质点所受的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定律。将上式投影在直角座标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得即：质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶行列式等于质点所受的力对同一轴的矩。13.2一、质点的动量矩定律即：若作用在质点上的斥力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点的动量矩守恒定律。13.2一、质点的动量矩定律式中减号表示扭矩的正负号恒与角坐标的正负号相反。它表明扭力总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。
13.2一、质点的动量矩定律13.2二、质点系的动量矩定律因为内力总是成对出现，因而上式右端的底二项13.2二、质点系的动量矩定律即：质点系对某固定点O的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。这就是质点系的动量矩定律。应用时，取投影式即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。13.2二、质点系的动量矩定律即：若作用在质点系上的斥力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点系的动量矩守恒定律。内力不影声响量矩的变化。例：人坐在椅子上，双腿离地，则人自己不能将桌子转动。例：均质鼓轮质量为m1，对中心轴的转动力矩为J，放在磨擦系数为f的粗糙水平面上，并与光滑的铅垂墙接触，重物A的质量为m2，不计绳质量。求：重物A下落的加速度和鼓轮所受的约束力。解：取系统，受力如图。因粗糙地面及夹墙的作用，鼓轮刚体O位置不变。ω=vA/r1。对固定点O用动量矩定律13.2二、质点系的动量矩定律解：以系统为研究对象，受力如图。以顺秒针为正，则13.2二、质点系的动量矩定律必须指出的是：为使动量矩定律中各化学量的正负号保持协调，动量矩和扭矩的正负号规定必须完全一致。
13.2二、质点系的动量矩定律解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这种力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即13.2二、质点系的动量矩定律由此求出断线后的角速率为13.2二、质点系的动量矩定律解：以系统为研究对象，受力如图。13.2二、质点系的动量矩定理由上可知，人与重物A具有相同的的速率，此速率等于人相对绳的速率的一半。假如开始时，人与重物A坐落同一高度，则不论人以多大的相对速率爬绳，人与重物A将一直保持相同的高度。13.3质心定轴转动的微分等式即：质心对定轴的转动力矩与角加速度的乘积，等于作用于质心上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各色均称为质心绕定轴转动的微分等式。应用质心定轴转动的微分等式可以解决动力学两类问题。13.3质心定轴转动的微分等式解：由质心定轴转动的微分等式由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽有匀速转动，但可忽视滑轮的转动力矩时，越过定滑轮的皮带拉力才是相等的。13.3质心定轴转动的微分等式13.3质心定轴转动的微分等式如将上式改写为解：以飞轮为研究对象，由质心定轴转动的微分多项式质点动量定理的数学表达，有13.3质心定轴转动的微分等式将（1）式改写为13.3质心定轴转动的微分等式解：分别以三轮为研究对象，受力如图，由质心定轴转动的微分多项式，有13.4一、转动力矩的概念对于质量连续分布的质心，上式可写成积分方式13.4二、规则形状均质质心的转动力矩1、均质细杆对过刚体和端点且垂直于杆轴线轴的转动力矩13.4二、规则形状均质质心的转动力矩2、细圆环对过刚体垂直于圆环平面轴的转动力矩3、薄圆板对过刚体垂直于板平面轴的转动力矩13.4二、规则形状均质质心的转动力矩4、圆柱体对其中心轴的转动力矩5、薄平面的转动力矩13.4二、规则形状均质质心的转动力矩对于薄圆板，注意到它关于半径的对称性，有6、矩形薄平板的转动力矩13.4三、转动力矩的平行轴定律定律：质心对于任一轴的转动力矩，等于质心对于通过刚体、并与该轴平行的轴的转动力矩，加上质心的质量与两轴宽度离平方的乘积，即证明：如图所示，作直角座标系，则13.4三、转动力矩的平行散景定理由定律可知：质心对于所有平行轴的转动力矩，过刚体轴的转动力矩最小。
13.4三、转动力矩的平行散景定律13.4四、组合质心的转动力矩于是13.4四、组合质心的转动力矩代入前式得13.4五、回转直径（惯性直径）在工程上常用回转直径来估算质心的转动力矩，其定义为回转直径的几何意义是：假想地将质心的质量集中到一点处，并保持质心对轴的转动力矩不变，则该点到轴的距离就等于回转直径的厚度。由定义知，回转直径仅与质心的形状有关，而与质心的材质（即与质心的质量）无关。即几何形状相同，材质不同的均质质心，其回转直径相同。例：图示一均质正圆形平板在光滑水平面上以角速率ω绕AB轴转动，设该板一角E忽然被固定在CD轴上，进而使板以角速率ω1绕CD轴转动，试比较ω与ω1的大小。解：mZ（F）=0关于Z轴动量矩守恒JABω=JCDω1JCD=JAB+m（OE）2＞JAB即：转动力矩越大，越不易改变运动状态。如胖人比瘦人转的慢。又如花样滑雪运动员胸前的收、放。例：图示系统，质量为m的均质杆AB在质量为M的均质管CD内自由的滑动，当杆全部在管内时（x=0），系统的角速率为ω1，磨擦略去不计，求：当x=l/2时，系统的角速率ω2。对Z轴动量矩守恒x=0：LZ1=JZ1ω1=l2（M+m）ω1/3x=l/2：LZ2=（Ml2/3+ml2/12+ml2）ω213.5质点系相对刚体的动量矩定律13.5质点系相对刚体的动量矩定律质点系对于固定点O的动量矩定律可写成上式右端是外力对刚体的主矩，于是得13.5质点系相对刚体的动量矩定律即：质点系相对于刚体的动量矩对时间的行列式，等于作用于质点系的外力对刚体的主矩。
这就是质点系相对于刚体的动量矩定律。13.5质点系相对刚体的动量矩定律13.6质心平面运动微分等式部份。取如图的动座标系，则质心绕刚体的动量矩为13.6质心平面运动微分等式上式也可写成以上两式称为质心平面运动微分等式。应用时，前一式取其投影式。即13.6质心平面运动微分等式解：以圆锥体为研究对象，受力如图。圆锥体在斜面上的运动方式，取决于接触处的光滑程度，下边分三种情况进行讨论：（1）设接触处完全光滑13.6质心平面运动微分等式（2）设接触处相当粗糙13.6质心平面运动微分多项式这就是圆锥体在斜面上作纯滚动的条件。于是，由式（1）、（2）、（3）、（5）联立解得13.6质心平面运动微分等式解：分别以A、B为研究对象，受力如图。A作定轴转动，B作平面运动。对A和B分别应用定轴转动的微分等式和平面运动的微分多项式，有13.6质心平面运动微分等式联立求解（1）——（5），得13.6质心平面运动微分等式13.6质心平面运动微分多项式以C点为基点，则A点的加速度为再以C点为基点，则B点的加速度为13.6质心平面运动微分等式13.6质心平面运动微分等式解：以杆为研究对象，受力如图，构建如图座标。
由AB作平面运动，以A为基点，则13.6质心平面运动微分等式所以联立求解（1）、（2）、（3）式，得注:物体由静止忽然运动时,刚体Vc=0,aCτ0;质心时ω=0,ε0；若体内有定点，则质心定轴转动；若体内没有定点，则质心平面运动；偶有特殊情况，质心做转动。例：重量为P质点动量定理的数学表达，长为l的均质杆AB，其B端放在水平面上，A端用细绳系住，α=300。设杆与水平面间磨擦系数为f=1/3，且B端静止或滑动时磨擦系数不变。问：割断绳时，B端是否滑动？并求：该瞬时杆的角加速度及地面对杆的约束反力。aCXaCyaCaCB解：若磨擦力FfN，（磨擦力达最大），B端为固定点，AB做定轴转动；否则，B端滑动，AB杆做平面运动。13.6质心平面运动微分等式解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分等式对BC由质心平面运动的微分等式13.6质心平面运动微分等式BC作平面运动，取B为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得13.6质心平面运动微分等式解：分别以圆锥和板为研究对象，受力如图，构建如图座标。对圆锥：由13.6质心平面运动微分等式13.6质心平面运动微分等式解：分别以曲柄和蜗杆O1为研究对象，受力如图。13.6质心平面运动微分等式联立求解（1）——（4），得