物理化学方式在数学学中的应用--结业论文【标题】数学化学方式在数学学中的应用【作者】何枫林【关键词】数学化学方式数学应用【指导老师】孙婷雅【专业】物理学【正文】1.导论1.1概述[1]你们晓得，物理上的每一个新概念，每一种新理论，归根究竟都是人们在生产实践和科学实验中、从某种数学模型上面具象下来的，有一些规律就是人们在对一些化学现象、物理过程、物理状态进行研究而归纳、总结下来的，我们把从数学问题中归结下来的数学规律用物理多项式抒发下来的方式，称为物理化学方式。1.2数学与物理的联系[2]物理、物理本是科学的孪生子，有着共同的症结，几个世纪以来，它们顺着各自的脉络发展，至今已门类林立，内容迥异。但是，明天应用的物理化学方式早已不在局限于18世纪的导入的等式。这种等式反映相关化学现象的本质和运动的基本规律。它们的确立，彰显了人们的认识从假象走向本质的飞越，是那些学科迈向成熟的一个标志。当我们沉迷于具体多项式的研究和学习时，常常并不满足于那些多项式具象的叙述方式和单纯的理论阐述，而急切须要熟悉它们化学现象的本源，了解它们的化学和物理的直观意义，便于进一步开拓思维，掌握实质，发觉内在联系，找到新的灵感。
但要做到这一点，在明天早已太不容易了，由于她们面前是一条横在物理与数学学两大学科之间的鸿沟。所以人们急切须要建造一座把数学学与物理沟通上去桥梁——数学化学方式。自然界中的一切事物都是质和量的统一体,认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察,量变到质变是事物发展的普遍规律。反映事物本质属性及其规律的数学学,除了应有正确的定性描述,还必须确切地描画出量的变化规律,但是也只有当数学学由定性步入到定量的阶段,才算是真正把松开了事物的质,才标志着数学学已然成熟,这其实离不开语文。数学学逐步发展成为一门成熟的自然科学,它除了用实验方式取代了往年整体的观察法并且引进了物理方式。在数学学研究中针对研究对象不同的特性,运用物理概念、方法和方法,对研究对象进行量的剖析、描述、计算和推论,因而找出能以物理方式抒发事物的量的规律性。1.3物理方式对化学研究的贡献[3]16世纪之后,物理在数学科学中取得的成就有目共睹:从牛顿的精典热学到狭义相对论以及广义相对论;从麦克斯韦等式组中的电与磁到量子热学中波粒二象性的对立统一,物理无时不在帮助陈述与帮助阐明自然的奥秘。近代科学是以数学科学为标志的,其重要诱因之一,就是它能以精确的物理方式表示出物体的运动规律,开创了科学实验同物理相结合的方式。
现代数学学则发展到了与物理须臾不离的地步,现代化学的研究对象离直观越来越远,须要反映其内在联系的自然现象或实验事实越来越复杂,欲想对其进行定量剖析和深入研究,就非用物理不可,用物理不但能确切地反映出已知事物的本质联系,并且能作出科学预见,取得重大的突破。现代数学的一切重大发觉,都与物理的应用密切相关。数学科学发展对数学的须要正好在物理发展上起了直接的决定性的推进作用,如微积分是牛顿在处理数学问题时,用已有的物理知识无法解决的前提下成立的。运用物理化学方式可以通过认识事物的量来认识事物的规律性，但是这些技巧进一步提供数目的剖析和估算的方式。诸如:(1)开普勒依据第谷积累的大量关于行星运动的观测资料，应用圆柱曲线理论，经过大量演算构建行星变速运动的椭圆轨道模型总算发觉了行星到太阳的距离R跟行星绕日运行的周期T的关系(恒量)。(2)太阳系字远的行星之一的海王星是1846年在物理估算的基础上被发觉的。天文学家阿达姆和勒未累剖析了天王星的运动规律性，得出推论说:这些规律是由其它行星的引力而发生的。勒未累按照热学定理和引力定理估算出这颗行星应当在何处，他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所强调的位子上见到了这颗行星。
这个发觉除了是热学和天文学非常是哥白尼体系的胜利，并且也是物理估算胜利。(3)在频谱剖析中，将周期函数进行傅里叶展开，它表明化学过程是:在热学或声学上，把周期性复杂震动分解为一系列各类频度的谐振波动;在热学上，把交变电流或电压分解为一系列谐变电流或电压;在无线电电子学上，将讯号波形分解基波和纹波等等。(4)在非线性理论的应用研究中，运用Maple语言程序估算了具有耦合特点的非线性多项式组的行波精确解及其约束条件等式，并以图表的方式定量剖析了行波精确解组的特点。还比如:美国文学家勒威耶按照天王星运动轨道，按照万有引力定理估算下来的结果总有比较大的偏离，便运用天体热学理论结合物理剖析和估算，预算天王星轨道外边存在一颗未被发觉的行星，并精确估算了该行星的运动轨道以及他在各个时刻的位置。1846年9月23日下午，美国天文学家加勒巴望远镜对准了勒威耶所预言的位置立即发觉了后来被命名为海王星的这颗行星。又如电磁波的存在并预言了他以光速传播，是由麦克斯韦用物理“推导”出来的，15年后才有日本化学学家赫兹用实验否认;爱因斯坦通过质能关系式的研究，喻示了原子核反应中质量巨亏所形成的巨大能量。
以上事实表明，数学学中的许多重要推论都是按照已知原理，运用物理运算、交换法则。经过严密的物理推理证明后得到。1.4物理化学方式的研究现况常年以来，物理化学方式课程讲授上个世纪已基本产生的关于三种典型偏微分多项式的精典解法和理论以及解析函数的积分理论与级数理论，并适当介绍贝塞尔函数和勒让德方程的一些基本知识与应用。但是近几六年来，因为物理的基础理论，非常是拓扑学与泛函剖析的迅速发展，科学技术的突飞猛进，涉及到处理物理化学多项式的一些新的理论和新的方式不断涌现，使物理化学方式发生了巨大的变化。现代数学学发展到了与物理分不开的地步，现代数学学的研究离直观越来越远，须要反映其内在联系的自然现象或实验越来越复杂，欲想对其进行定量剖析和深入研究就非用物理不可。1.5本文研究的内容和目的意义“数学化学方式”是数学学类、电子信息科学类、天文学类、地球化学学类、大气科学类、海洋科学类、力学类、材料科学类和环境科学类等专业类的选修或限定必修课程。本课程通常包含复变函数和物理数学等式两部份内容，其基础理论属于剖析物理，其应用部份涉及化学及工程技术等其它学科。本课程的直接目标是帮助中学生把握必要的物理知识和工具，为后续专业基础课和专业课做打算。
长远的目标是训练中学生的物理思想及运用物理工具解决实际问题的能力。其实更高的要求是开拓创新思想的培养。物理化学方式是研究数学学的重要工具，应用物理化学方式解题实际上是把数学问题转化为物理问题，之后用物理方式进行解答。通过构建物理模型来解答化学实际问题才能使问题简单化。实践证明:在处理数学学问题时，若能充分利用物理工具的作用，则对迸发中学生的学习兴趣，培养中学生创新精神和创新能力，增强中学生解决实际问题的能力起到积极的作用。因而让物理化学方式在数学的应用中更具创新的价值。2.物理化学方式在数学研究中的作用2.1化学学以物理为工具由以上实践证明:物理化学方式在数学研究中的应用有着重大而深远的意义。但是化学学的研究和应用,都要求它完全以物理为工具,否则就丧失了意义。从方式上说,一个数学理论体系就是一个物理体系,具有高度的具象性,严密的逻辑性和丰富的辨证性,这三方面促使物理除了成为数学学的表现方式,并且成为人们认识和把握数学学的主要工具。所以,物理的本质和特性以及数学学的实际决定了物理是数学学的工具。数学学有着十分广泛的应用,但是在许多情况下都要依靠于物理工具,从一般的工程建筑到尖端宇航技术无不与数学理论相联系,但在具体运用过程中又要依靠于物理工具。
2.2物理化学方式在物理解题中的作用[4][5]求解数学习题的过程属于数学理论在实际中应用的范畴之内,所以,在这过程中同样离不开物理知识,其作用具体彰显在以下几个方面。把数学问题向物理问题转化的过程当中,不仅选择合适的数学方式,还要灵活地运用物理知识,至于由物理问题推理估算求出结果的过程,愈加显著地说明它是一个物理过程。可见,但凡须要定量剖析的数学习题,语文运用是必不可少的。把数学问题转化为物理问题,就是为数学问题找寻一个相应的物理模型,以物理为语言抒发出数学量之间的互相关系,其通常步骤为:(1)借助物理知识丰富、深化数学模型。如运用已知数据进行简化处理,进行化学过程的定量剖析等,通过找出数目关系,给数学模型加入定量的诱因。(2)用符号来表示数学量。符号是数学内容的载体,它把复杂的事物代码化,成为可以一目了然加以掌握的感知对象。(3)按照化学规律列举问题中数学量间的关系,最后把数学问题转化为物理问题,实现了化学过程的物理转化。在实际当中借助现代物理化学方式解决数学问题，既要其对化学基本概念和规律有正确的理解，又要求对数学理论和方法能灵活的应用，把具体的数学问题具象为物理问题，并进一步应用物理手段加以正确的解答，最后得出其规律。
前面我们将用分离变量法、达朗贝尔法、格林函数法、积分变量法解定解问题来描述物理化学方式在数学学中的应用。2.3小结:本章主要探讨了物理化学方式在数学研究中的作用，(包括:数学学以物理为根据和物理化学方式仔物理解题中的作用)。3.按照化学现象导入物理数学等式物理数学等式的构建分三个步骤:(1)从所研究的系统中界定一小部份，剖析临近部份与这一小部份的互相作用;(2)按照化学学的规律(如:牛顿第二定理、能量守恒定理等)，用估算式抒发这个作用。(3)通分、整理，即得所研究问题满足的数学等式。3.1一维波动多项式的构建[1][6]一维波动多项式的构建的概述:热学中有一类所谓震动和波的现象，如弹性波，光波，电磁波等等，尽管各有其特殊规律，但有一个共性——波动，所以在物理上均能用波动多项式来描述其运动规律。设有一根拉紧着的均匀，厚实而有弹性的弦，长为，两端钉在O，L两点，当它在平衡位置附近作垂直于OL方向的微小横震动时，考察弦上各点的运动规律。为了解决这个问题，如图:3.1所示。选择座标系，并以u(x，t)表示弦上x点在时刻t沿垂直于x方向的位移。图3.1(一维波动多项式)在这弦上，任取一小段因为弦震动是微小的，故可以觉得是直线。
则有弦长，又因为弦是厚实的，弦的张力T的方向总是顺着弦的切线方向。且张力T是一个常数，它与位置x和时间t均无关。通过剖析作用在小弦段上的力是:(1)作用在点上的张力T，它在u轴方向上的分力为(2)作用在M点上的张力T，它在u轴方向的分力为(3)作用在上，垂直于x轴的外力为，其中是在点x处的外力的线密度。设弦的密度为，按照牛顿第二定理有因，故当时，有:同理代入上式得应用中值定律得其中令就得到弦的逼迫横震动等式其中若外力消失，则得到弦的自由横震动多项式这样就导入(,)所满足的偏微分等式。多项式构建除了适用弦震动，但是还适用热学上的弹性杆震动数学物理方法在物理学中的应用，管线中二氧化碳小扰动等等。3.2热传导多项式的构建[1]化学现象中的热传导和扩散在生活中常见。我们晓得的有热量差的物体，就有热传导现象。含量不同的氨水中，就有分子从含量大的地方流向含量小的地方。但凡因为化学量的密度不同而形成的运动，通称为扩散。在物理上，描述热传导规律和扩散规律的是同一种多项式，人们把它作为研究抛物型多项式的模型。在不少的生产实际问题中，常常须要考虑物体上各点的气温分布状态。
我们考察一根均匀细杆内热量的传播的过程。设细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿厚度方向传导，因为细杆很细，以至于在任何时刻都可以把横截面上的气温视为等同，为此，是一个一维情况。图3.2(热传导等式)如图3.2所示，取轴与细杆重合，以(,)表示点在时刻的气温，问题就是要确定函数(,)。和完善弦震动多项式一样，我们采用微元剖析的办法来导入函数(,)所满足的偏微分等式。考查在时间间隔到内，细杆上到维元段的热量流动情况。此时应创立热平衡方程式，即:导致气温变化所汲取的热量流入的热量微元段的气温下降可以表示为:其中，于是，我们获知导致微元段气温下降所须要的热量为另一方面，热传导理论中的付里叶实验定理告诉我们，在时间内数学物理方法在物理学中的应用，沿ox轴正向流过截面(其面积为A)的热量为其中称为热传导系数。同样，在时间内，流过截面的热量为为此，流入微元段的热量等于通过截面流入微元段的热量乘以通过截面流出微元段的热量，亦称借助中值定律，上式就变型为其中由热平衡多项式=可得令、，因而、，于是得(3(1)其中这就是所谓的热传导多项式。
当细杆显存在热源(发出热或吸收热)时，若此热源的密度为，即在时刻和处，在单位时间内和单位宽度上所放出的热量。因而，在时间间隔到内，微元段[，]中的热源所形成的热量为，这么，在上述热传导多项式一侧还得加一个非齐次项，而成为.(3.2)(3.1)、(3.2)式就是一维热传导多项式。3.3泊松多项式和拉普拉斯多项式的构建在热传导问题中，假如气温分布稳定，即，得多项式此多项式称为泊松多项式。假如则得到拉普拉斯多项式，亦称为调和多项式。同样，在扩散问题中，含量处于稳定的章台或考虑震动的平衡现象，都得到同样的拉普拉斯等式或泊松多项式。下边讨论由静电和形成的静电场，从电磁学中晓得静电场是无旋场。即其中为场强。因无旋场必有势场，即存在势函数，使。有电动热学中的高斯定律，有其中为电荷密度，而由物理中的高斯公式，右边的面积分可写为容积分故有:=有D的任意性得泊松多项式假如所考虑的区域中没有电荷，势函数满足拉普拉斯多项式3.4定解条件的提出与定解问题的确定[7]3.4.1定解条件的提出上一节通过具体的数学过程讲了一维波动多项式的构建、热传导多项式的构建、拉普拉斯多项式的构建，多项式导入之后，目的就是要解多项式，得出多项式的解(规律)，但要完全确定多项式的解，仅仅有等式是不够，还与具体的数学过程相关的初始条件、边界条件以及边界所受的外界作用有关。
如:在弦震动，震动物体在某一时刻的震动状态总是和先前的状态有关，即与初始时刻的状态有关。另外，弦的两端遭到约束，也会影响弦的震动，约束的条件不同，弦震动边界条件也不同。因而，找出那些条件才会完全确定多项式的解，这种条件就是初始条件和边界条件。1)弦震动的初始条件和边界条件(1)初始条件指弦上的某一点(处)是初始时刻的位移和速率(2)边界条件:指弦的两端应遭到的约束条件分为三类?第一边界条件:指端点上的运动规律若两圆固定在OL上，则?第二边界条件:指已知端点的多处受的外力作用若不受垂直于轴的外力作用:表示端为自由端。在端点张力、，所以?第三边界条件:指端点遭到弹性体支撑的外力作用在点:2)热传导多项式的初始条件和边界条件(1)初始条件:指开始时刻物体的分布情况(2)边界条件?第一边界条件:指细杆端点的体温若表示在细杆段的气温为零。?第二边界条件:指细杆端点的热量，，若表示细杆端绝热。?第三边界条件:指细杆端点与介质的接触对于边界条件与多项式一样，若自由项不为零，则称为非齐次边界条件。若自由项为零，则称为齐次边界条件。即、、为零的边界条件为齐次边界条件。
3.4.2定解问题的确定上一节我们谈到了弦震动、热传导的初始条件和边界条件1)定解条件、初始条件和边界条件也称为定解问题(确定解的附加条件)2)定解问题:某个偏微分等式和相应的定解条件也称为定解问题如:(0,,)，,0定解问题也分三类(1)初始问题(哥西问题):定解条件中只有初始条件的定解问题如:(无限长的弦震动)(2)边界问题:只有边界条件的定解问题。如:(一个薄圆)(3)混和问题:既有边界条件又有初始条件的定解问题。3.5小结:本章主要依据化学现象导入一维波动多项式、热传导多项式、泊松多项式和拉普拉斯多项式的构建方式以及定解条件的提出与定解问题的确定。4.物理化学方式在数学中应用的举例[8][9][10]4.1分离变量法解有限长的弦震动问题所谓分离变量法就是将未知函数按多个单位函数分开，如，令因而，将偏微分多项式的求解问题，化为若干个常微分多项式的定解问题来求解。其基本步骤为:(1)将代入等式和边界条件得到关于的特点问题和一个关于的常微分多项式。(2)求出特点问题的特点根和特点函数。(3)求出对应的有关的常微分多项式的选择。
(4)写出一系列特解h=1.2„„。(5)进行叠加，由初始条件确立，则由欧拉公式确立的就是混和问题的的解。例:弦震动定解问题为(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)解:令(4.5)将(4.5)代入等式(4.1)和边界条件(4.2)，(4.3)得:即于是得:(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)下边求本征值问题(4.6)——(4.8):度，则又代入(4.8)得:于是得，，即，当时，故。时，则(4.6)有通解由(4.7)得(4.10)(4.11)解:由(4.10)、(4.11)得故有又由(4.8)得:(4.12)(4.13)解:由(4.12)、(4.13)得所以(n=1，2，3„„)故本征值问题为，本征函数为将代入T的等式(4.9)得:因而有:(4.14)代入初始条件(4.4)得将上两式代入(4.14)便是弦震动的运动规律。4.2用达朗贝尔公式解无限长的弦震动问题4.2.1达朗贝尔公式对于一维波动多项式的问题(4.15)，(4.16)等式(4.15)的通解为(4.17)其中，是以速率a沿x轴正向传播的正行波，而是以速率a沿x轴负向传播的反行波。
1)定解问题(4.15——4.16)的特解为(4.18)称为达朗贝尔公式。它表明弦上的任意扰动，总是以行波的方式分别向正反两个方向以速率a传播出去。此解法又称为行波法.其解题要领为:(1)引入变量代换，将多项式化为变量可积的方式，进而求得其通解;(2)用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)，进而求得其特解。4.2.2用达朗贝尔法求解定解问题例:在无限长得输线上传播着的电流和电压满足如下定解问题(4.19)(4.20)(4.21)(4.22)并且有，试求该传输线上的电压和电流。解:这是关于未知函数和的一阶偏微分多项式的定解问题，我们希望通过适当的变换，将之化为本课程所讨论的二阶线性偏微分多项式来求解。首先，将(4.20)乘后对导数乘以(4.19)乘后对导数得:由(4.20)有，并考虑到CR=GL以及(4.21)和(4.22)给定的初始条件，于是有(4.23)，(4.24)如今我们令(4.25)代入定解问题(4.23)、(4.24)得，由达朗贝尔可以求得于是，原定解问题中的电流为类似的，也可以求得原定解问题中的电压。4.3用格林函数法求解物理数学等式4.3.1格林函数的定义通过拉普拉斯多项式的球内狄利克雷问题的解决，可以引出关于通常曲面的狄利克雷问题，在区域内，在的边界上的求解得到公式:调和函数在界面上与函数相等，这么上式就变为之后令于是(4.26)对于平面的情形可以推论得(4.27)其中(4.28)函数称为拉普拉斯多项式关于区域狄利克雷问题的格林函数。
格林函数的存在解决了狄利克雷问题。所以人们也把这些处理问题的方式称为格林函数法。例:半空间的情形，即求一个在上半空间内的调和函数，且在边界面上满足设是由到变点之间的距离，其中，是由到变点之间的距离。对平面而言，是的对称点。由于坐落半空间之外，故在半空间，内是的调和函数，当出现在边界条件面上时，即便有，这么，在所考虑的情形下格林函数为对于半空间而言，边界面的外法线方向与z轴的方向相反，就是说，于是公式(4.28)给出问题的解4.4积分变换法在化学中的应用4.4.1哪些叫积分变换法1)积分变换所谓积分变换，就是把函数类中的函数，经过某种可逆的积分手续弄成另一函数类中的函数。其中称为的像函数，称为原函数，而是和的已知函数，称为积分变换核。2)积分变换法对偏微分等式(常微分多项式、积分多项式)的定解问题中的各项实行积分变换，因而将偏微分多项式的求解问题转化为常微分多项式的求解问题的方式称之为积分变换法。对各项实行变换的方式，称为变换法。变换法求解数理多项式的积分变换法。变换法多用于求解没有初始条件的无界或半无界问题。
3)积分变换法的解题步骤用积分变换法求解数理多项式(也包括常微分多项式和积分多项式)大体分为如下三步:(1)对多项式和定解条件中的各项(对某个适当的变量)取变换，得到像函数的常微分多项式的定解问题或代数等式。(2)求解常微分多项式的定解多项式问题或代数等式，得到函数。(3)求像函数的逆，即得原定解问题的解。4.4.2积分变换法在化学中的应用欲用变换法求解数理多项式，必需要对函数、函数的微分或积分进行变换，并须要变换的逆变换，故学会正确的应用变换的定义式或性质来进行这种工作是首当其冲和至关重要的。下边我们来求解波动多项式的定解问题例:求半无界杆的热传导问题解:1)将边界条件齐次化，作奇延拓，将问题化为无界问题。令因此的定解问题为将作奇延拓，得到在无边界条件上的定解问题为2)由变换公式(4.29)将及无界域上的代入(4.29)便有4.5小结:本章主要介绍了几种常用的物理化学方式(分离变量法、达朗贝尔公式、积分变换法、格林函数法)在化学中的应用，并分别列出了反例来更深的讲解。5.总结[11][12][13]物理化学方式是研究化学学的重要工具，应用物理化学方式解题实际上是把数学问题转化为物理问题，之后用物理方式进行解答。
通过构建物理模型来解答化学实际问题才能使问题简单化。我在此篇论文中，首先列举了物理化学方式在数学学中实际应用中所创造的辉煌成就，其次又谈了物理化学方式在数学学实际应用当中的重要性以及具体作用;再度从数学学的本源出发，以一些典型化学现象导入了物理数学等式:一维波动多项式、热传导多项式、拉普拉斯等式;最后用最常用的分离变量法、达朗贝尔法、格林函数法、积分变换法四种物理化学方式来解析实际中的物理化学问题。历史告诉我们，物理化学方式在化学中的应用无论是在过去，还是在将来还会在科学的舞台上饰演着极其重要的角色[14]。实践证明:在处理数学学问题时，若能充分利用物理工具的作用，则对迸发中学生的学习兴趣，培养中学生创新精神和创新能力，增强中学生解决实际问题的能力起到积极的作用。因而让物理化学方式在数学的应用中更具创新的价值[15]。从数学学的发展史中可以看到，物理化学方式远比数学学更具有稳定性和普遍性。为此，启示我们物理化学方式可以涉及到的好多领域，从一般的建筑到尖端的航天都无不与数学理论息息相关，但在具体运用过程中又要依靠于物理工具,比如:物理化学方式在工程建设梁弯曲中的应用、电工学中物理化学方式的应用以及无线电技术就是电磁场理论的具体应用等等。