«——【·摘要·】——»
我们讨论了准二维气泡和液滴的动力学，即在Hele-Shaw单元中，确认了黏性阻力磨擦的不同标度定理，以及许多相关现象的标度定理。受黏性阻力研究的启发，我们描述了颗粒介质中阻力磨擦的实验，该实验阐明了向干扰过渡发散的宽度尺度。
这种黏性流体和颗粒材料动力学中的事例指出了标度概念在理解化学过程中的重要性现象，一般通过相应的缩放定理明晰的数据崩溃证明是正确的。为了证明该策略的普遍适用性，我们讨论了另一个与生物材料硬度不同的反例。
«——【·介绍·】——»
众所周知，缩放概念在各个领域都很有用。诸如，粒子化学学的精典教科书以及破裂热学从量纲剖析的讨论入手。临界现象中的标度假定造成了重整化群的诞生。但是缩放方式并未被视为一种足以完成任何化学研究的策略：它更像是一种非即将的第一步考虑。
de进一步提出了缩放方式的重要性，非常是在聚合物教科书中和毛细现象，以表明缩放方式可能是一种数学策略，假若所讨论的问题很复杂，它足以完成数学考虑。因而缩放方式如今在软物质领域得到了广泛接受，并被该领域相对较小的一部份研究人员挺好地使用。
但是，虽然它具有很高的潜力物理二力平衡的知识点，但它还没有被挺好地用小麦理学各个领域的标准策略，以及更多面向应用领域的研究人员。我们将本文的目的设定为提供各类示例，在这种示例中，缩放方式成功地提供了清晰的数学图片，其中缩放定理由显著的数据崩溃证明是合理的。
这篇文章的结构安排如下。我们从Hele-Shaw单元的密闭空间中作用于被另一种流体包围的液滴的黏性阻力问题开始。在讨论了黏性耗散起重要作用的其他示例后，我们继续描述二维单元中颗粒阻力磨擦的实验，该实验的动机是研究Hele-Shaw单元中的黏性阻力。
最后，我们讨论了生物材料的硬度和硬度，阐明了同样的策略有效地提供了一些关于机械优势的简单观点。我们在最后总结了缩放方式的各类优点。
我们在这儿指出，缩放方式不一定限于相当特殊的情况：缩放法则可以是“稳健的”。标度定理一般是在某个化学参数的极限下导入的远大于特点值。正由于这般，缩放定理常常被觉得是一个仅在极其有限或特殊情况下有用的公式，这并不总是正确的。
因为我们在简略说明中讨论了不同的问题，因而我们没法为每位主题提供详尽的背景信息。建议对特定主题感兴趣的读者返回本文引用的原创文章，她们应当在其中找到相关背景。
«——【·单元中液滴的黏性阻力磨擦·】——»
材料中上升气泡实验的实验参数在表手指定1个.我们检测了纵向和横向半径和材料中定义的上升气泡。结果表明气泡在上升方向略微拉长，对于我们研究的所有参数，纵横比几乎保持不变。观察到的普遍纵横比的诱因还有待探求。
材料中在Hele-Shaw池中联通的液滴。这儿，液滴和周围流体的黏度表示为上升的气泡从方形稍为变型，其特点在于横向和纵向半径被更黏稠的油包围的甘油滴正在细胞中下沉。液滴形状与1中的特别相像。被黏性较低的油包围的甘油滴在细胞中下沉。
与之相比，产率显着。对比用于气泡实验。这种符号在表手指定1个。C对比用于气泡实验。材料中的绘图用两个轴重新勾画，重新归一化的速率Ca和重整化细胞长度，依据该理论证明了显著的数据崩溃。Ca与,其中数据没有像那样挺好地折叠，表明该诱因对解释实验很重要。
但是考虑到气泡形状的轻微变型，可以清楚地解释图中显示的实验数据，该数据勾画了恒定上升速率作为细胞长度的函数，通过图中展示的数据崩溃。
当黏性耗散对速率梯度起主导作用时在被隔开的细胞板之间的气泡附近产生，黏性耗散和重力能量增益之间的平衡可以表示为1这造成2这儿，和是空气和硅油之间的密度差、重力加速度和周围油的黏度。通过引入重整化速率Ca和重整化细胞宽度。
这些关系可以用无量纲方式表示，3依照这个方程，通过重新缩放图的两个轴，我们确认了一个显著的数据崩溃。轻微变型的重要性彰显在诱因中如材料所示：假若通过假定气泡为方形来忽视该诱因，则数据崩溃的质量会大大恶化。
若果在气泡情况下确认的多项式表示为力平衡方式，我们立刻晓得黏性介质作用在气泡上的阻力由下式给出这些为上升气泡构建的酸败机制也可以在甘油滴在硅油中下沉的情况下得到否认，假如滴的黏度高于周围的油，如气泡上升的情况。
但是若果周围的油黏性较低，即，可以确认另一种缩放方法，其中阻力磨擦定理被替换为5这是构建在同多项式上。
部份评论如下。1方程4和5中所示的标度定理可以视为知名的磨擦公式的准二维版本，其表示为对于直径为刚性的圆球。2对于Hele-Shaw单元中被另一种流体包围的液滴的黏性阻力磨擦，虽然有许多其他的缩放比列。
比如,在气泡和细胞壁之间产生的薄油膜内部的黏性耗散遭到抑制，由于膜长度很薄，因而在这些膜内部产生速率梯度在能量上是不利的。但是，可能存在这样的耗散成为主导的制度。事实上，我们早已发觉了其他缩放机制或动态阶段。
我们如今正在尝试构建这些动态机制的相图。在那个情况下，我们将才能揭示将每位制度与其他制度区分开来的条件。最后，我们谈到了另一系列实验，在那儿人们会发觉其他由数据崩溃明晰构建的缩放定理的反例。
«——【·纹理表面的吸收·】——»
材料显示了纹理表面的示例，以及薄膜长度的色温剖析。木柱很低，木柱的颈部边沿很圆，如快照所示。基材完全被硅油润湿。正由于这么，当垂直放置的有纹理的基材与油浴接触时，油会渗透到纹理中，就好象当饼干与奶茶浴的表面接触时，奶茶会渗透到饼干中。
材料中的数据表明，黏度和重力都很重要，而毛细现象是驱动力，这造成以下缩放参数被清晰的数据崩溃所否认。在-多项式中，驱动力对应于压力梯度项，可以表示为，和和分别为曲率和渗吸高度。
黏性项标度为和油的黏度和是黏性宽度标度。引力项表示为和和油的密度和有效重力加速度，即.毛细管重力平衡，将曲率直径固定为，随着吸液高度的降低而降低。薄膜随高度变薄，而黏性宽度尺度可能是薄膜的长度。
因而确定随高度降低的曲率直径与黏性宽度是合理的，即.通过这些辨识，黏性重力平衡，,造成以下缩放定理：基于此法则，可以显示出显著的数据崩溃，曲线令人信服地折叠到一条主曲线上。
方程中表示自吸宽度规模与与毛细管上升的一般黏性状态或在装潢有相对较高的木柱和尖锐腹部边沿的纹理表面上观察到的自吸动力学产生对比:在大多数情况下，同样的在毛细管上升到角落的相当不同的背景下观察到定理。
对于各种类型的纹理表面的吸收，虽然有许多不同的缩放机制，非常是由于问题本质上归结为开放毛细管的吸收，其中自由液体表面随着吸收的进行而膨胀。
与Hele-Shaw单元中显示的黏性阻力磨擦的不同缩放比列相关的一个天真的问题是，假如单元中的流体被颗粒替换，磨擦定理将怎样改变。回答这个问题的设置如材料中所示。电芯安装在滑块上，滑块可以匀速联通电芯。
在运动过程中，因为障碍物与测力计之间由一根不可伸长的强力钓竿相连，因而可以通过测力计检测作用在障碍物上的拖曳力。不同填充率下测得的力与时间的关系结果在材料中给出。力随时间波动很大，但每位时间点的平均值可以挺好地定义，如三个水平线所示。作为分数降低，阻力的平均值和波动都降低。
a和b颗粒阻力磨擦实验的设置。a从里面看电瓶。b设置的倾斜视图。一层平均半径d=2mm的颗粒状颗粒填充在由透明亚克力板制成的二维单元中。半径障碍物大概是10倍于。
c阻力与时间.力随时间显着波动，但具有明晰定义的平均值。d平均阻力与阻力速率对于我们调查的所有填充分数。值得注意的是，是一个光滑的函数.平均力和波动都随着填充分数的降低而降低。
e因为将阻力的重整化动态份量重新勾画为重整化速率的函数，因而d中的数据崩溃，按照理论f和g：干扰点处力的动态和静态份量的发散。h总力量乘以发散因子与速率。
发觉平均力是阻力速率的平滑函数随着力和波动随着填充分数的降低而降低，如材料所示，对于我们研究的所有填充分数。此处为清楚起见，删掉了偏差条即波动。事实上，所有的曲线都在表格中得到了挺好的描述既和依赖于。
动态组件拖曳力的解释如下。该份量可以恐怕为每次的动量传递。动量转移发生在障碍物与小粒子碰撞时。频度可以恐怕为和和是圆盘障碍物的直径和是轻微多分散颗粒的平均半径。假如碰撞是双体碰撞，则每次碰撞的动量传递应按比列缩放和小麦的质量。
但是随着包装分数的降低，障碍物后面的小麦应当有点卡住或剪切卡住。因而障碍物每次与单个小麦碰撞时就会与一簇小麦发生碰撞。自然地，特点簇大小随着填充分数的降低而降低，表明观察到的平均力降低和恐怕簇大小，我们考虑干扰点下方障碍物周围的空白空间。
在区域障碍物周围的区域,空白区域缩放为.簇大小可以确定该区域与障碍物区域成比列的形式，即，这意味着该宽度标度向干扰点发散。集群面积现今恐怕为：我们期望宽度尺度里面得到的速率方向上的宽度是分开的因为作用在颗粒介质中的联通方向的剪切力，垂直于它的方向。
簇倾向于在垂直方向上被破坏。这个假定意味着每次与颗粒碰撞的动量传递应当按比列缩放和颗粒的密度。结合前面的频度表达式，，我们得到关系，
我们早已听到，缩放论证是阐明所讨论问题的数学机制的有力工具，这些方式在以下方面对各类问题普遍有用。该方式可以提取问题的数学本质。比列定理一般是通过能量平衡或各类化学力的平衡获得的起源，并为此提供关于该问题的简单观点和“直觉”。
在课程中获得的比列定理可能足够简单，可以用作开发产品或控制产品质量的指导原则。在这些情况下，缩放定理可能会对各类应用形成重大影响，包括工业应用。
从某种意义上说，标度法则可以是稳健的，虽然仅略微满足或什至轻微违背该法则有效的限制条件，它也可以接近精确。这促使缩放方式在各类情况下都很有用。标度定理的有效性一般可以通过显著的数据崩溃来确定，这是构建理论与实验之间一致性的一种相当主观的形式。
清晰的数据崩溃决定了缩放定理的数值系数，对未来的详尽研究和对研究领域的影响作出预测。标度剖析最严重的弱点是我们难以确定量纲数值系数，并且这个弱点可以通过拟合实验数据来克服。这意味着良好协调实验和理论研究的重要性。
«——【·结论·】——»
该方式非常适用于日常生活中的复杂现象问题或与工业应用相关的问题，与之相关的这意味着良好协调实验和理论研究的重要性。该方式非常适用于日常生活中的复杂现象问题或与工业应用相关的问题，与之相关的这意味着良好协调实验和理论研究的重要性。
该方式非常适用于日常生活中的复杂现象问题或与工业应用相关的问题，与之相关的因为复杂性带来的困难，化学学家仍然迟疑不决。但是物理二力平衡的知识点，对于数学学中的任何新问题，迈出正确的第一步也是有用的。
其实，缩放方式对于任何数学科学领域的先驱来说都是一种强悍的方式。作者希望这篇简略的笔记才能激励那些先驱者开辟数学科学的新领域。
«——【·参考文献·】——»
李，《粒子化学学和场论概论》，哈伍德学术出版社，1981年。
安德森，《断裂热学》，,CRC出版社，1995年。
卡迪，《统计数学学中的缩放和重整化》，剑桥学院出版社，1996年。
德根斯，《高分子化学中的缩放概念》，康奈尔学院出版社，1979年。