第二章流体静力学
提问：1、粘性
2、作用在流体上的力：
一、教学目的和任务
本次课是流体热学的基础，是流体运动学和动力学的最基本理论。为此，必须组织好教学内容，采用恰当的手段和技巧。
1、教学目的
（1）通过剖析流体静力学多项式，使中学生构建起水头的概念，为流体动力学完善基础。
（2）通过实例剖析，说明流体对固体壁面斥力的估算和应用。
2、教学任务
（1）理解和把握流体静压强及其特点；
（2）了解流体平衡微分方程式，理解其数学意义；
（3）把握流体的绝对和相对平衡；
（4）把握流体静压强的分布规律及点浮力的估算（借助等压面），把握流体静压强的量
测和表示方式；
（5）熟练把握作用于平面壁和曲面壁上流体总压力的估算。
3、重点、难点
重点：静压强及其特点，点浮力的估算，静压强分布图，压力体图，作用于平面上的流体总压力，作用于曲面上的流体总压力。
难点：复杂情况点浮力的估算（借助等压面），压力体图，作用于曲面上的流体总压力。1）你晓得有什么测压仪表，它们的主要区别是哪些？
2）怎样借助测压管检测静止液体中任意一点的浮力？
p及基准面改变时，对任意两点的位3）结合挂图及测压仪表实物，当液面压力
置
水头及浮力水头各有哪些影响？
4）相对平衡浮力分布规律、等压面形状与静平衡的优缺点。
4、能力培养：
1、了解各类测压仪表的构造、原理、测压范围及应用；
2、学会等压面的判定及应用。
3、了解相对平衡原理在工程中的应用
4、培养中学生科学思维及动手能力
过程：
班主任：提问、讲解、示范、解答中学生提出的问题。
中学生：听讲、观察、提问、操作、回答班主任提出的问题。
注意事项：
1、组织好中学生，要讲的内容集中讲解，中学生动手内容分组进行；
2、注意形式、方法，要机动灵活，随机应变；
3、多用通感式语调，停顿一会儿，给中学生足够的思索时间；
4、在回答中学生的问题时多向中学生反诘，让中学生发散思维。
5、讲解总时间控制在40分钟左右。
二、本次课主要研究内容
流体平衡时，(1)其内部的浮力分布规律；
(2)流体与其它物体间的互相斥力。
推论：对理想流体或黏性流体都是适用的。在通常情况下，液体可以被看成是不可压缩
的物质，在讨论中可觉得轻度γ或密度ρ为常量。
三、教学方式
本次课内容是中学生学习前面流体动力学的基础，曾经在数学学中接触到一些如压力、总
压力等概念，为此，主要应注意联系生活中的实际，培养中学生的学习兴趣，选择合适的作业
题，培养中学生剖析实际问题，解决实际问题的能力，切勿“生搬硬套”。
先前课内容回顾及本次课内容引出：
§2-1静止流体挠度特点
一、流体静压强
如图2.1.1，在均质的静止流体中任取一分离体，将此分离体用一平面AB劈成Ⅰ、Ⅱ
两部份,并拿走Ⅰ部分。去除后，要保持Ⅱ部分的平衡，在面AB上必须加上原来Ⅰ部分流
体对Ⅱ部分的斥力。
设作用在m点周围微小面积A?上的合力为P?，依照
浮力的定义，其平均浮力为=pA
P??（N/m2）当面积A?无限缩小到m点时，则得
pP???0Alim→=（N/m2或ap）图2.1.1静止液体中的分离体p——外部流体作用在流体内部m点上而形成的压力，称流体静压力。流体静压强—
—作用在单位面积上的力。二、流体静压强的特点
流体静压强有两个重要特点：
(1)流体静压强的方向必然重合于受力面的内法线方向。
(2)平衡流体中任意点的静压强值只能由该点的座标位置来决定，而与该浮力的作用方
向无关。即：平衡流体中各点的浮力p只是位置座标(zyx,,)的连续函数,与作用方向无关。
),,(zyxfp=证明略
§2-2流体平衡微分等式
一、流体平衡微分等式——欧拉平衡多项式
在平衡液体中取一微元立方体，周长分别为，设中心点的浮力为
，对其进行受力剖析：
由受力平衡得：
通分整理得：
同理对于x、z方向可推出类似结果，即
——液体平衡微分多项式（即欧拉平衡多项式）
上式表明：处于平衡状态的液体，单位质量液体所受的表面力份量与质量力份量相等。因而在平衡液体中，若在某一方向有质量力份量，该方向就一定有浮力的变化大气压强实例分析，反之亦然。
二、液体平衡微分多项式的积分
由于，液体的平衡微分方程式各项分别除以，得
则
－－－液体平衡等式的另一种方式，
称为浮力差公式
令，则，
函数
称为力势函数，即－－－液体平衡微分等式的另一种
抒发方式
积分得：
其中C为积分常数，由边界条件确定。由自由液面的边界条件可得：
，
代回上式得
这是不可压缩液体平衡微分方程式的普遍积多项式，即：在平衡液体中，当值
有所改变时，液体中各点的浮力p也急剧有同样大小的数值变化。
三、等压面及其特点
等压面多项式：0=++ZdzYdyXdx
等压面的特点：1.等压面是等势面；2.等压面与质量力正交。
§2-3、重力场中流体静压强分布规律
研究质量力只有重力，即绝对平衡流体中的浮力分布规律及其估算等问题。
1、静止液体中浮力分布规律
如图示。单位质量力J在各轴上的投影为
0=X0=YgZ-=
代入式dzgdzdzgdpγρρ-=-=-=)(
或0=+dzdp
γ
积分得cpz=+γ（常数）
——静止液体中浮力的分布规律，称流体静力学基本多项式。图2.3.1重力平衡液体
对静止流体中1、2两点，可写成如下方式γγ2
21
1pzpz+=+
由上式看出：
（1）当21pp=时，则21zz=，即等压面为水平面。
（2）当2z>1z时，则1p>2p，即位置较高点处的浮力建业于位置较低点处的浮力。
（3）当已知任一点的浮力及其位置标高时,便可求得液体内其它点的浮力。
2、静止液体中的浮力估算
cp
z=+γ?czp+-=γ
积分常数00zpcγ+=，因而)(00zzpp-+=γ
式中zz-0表示液体质点在自由表面以下的深度，若用h表示，上式可写成
hppγ+=0★
——为静止液体中的浮力估算公式。该式表明：任意位置处，h↑、p↑
意义：静止流体中任一点c处的浮力p等于表面浮力0p与液柱重量hγ之和：
课堂练习：1—8
3、静止液体中的等压面（自学）要点：1、静止液体中等压面的形状？2、各种复杂情况下等压面的判定？
4、绝对浮力、相对浮力和真空度
浮力p值的大小，从不同基准估算就有不同的抒发方式。
(1)绝对浮力
——以构想没有大气存在的绝对真空状态作为零点（起量点）计量的浮力，它表示该点
浮力的全部值hppaγ+=
(2)相对浮力
——以当时当地大气压强ap作为零点计量的浮力大气压强实例分析，亦称为表压强。
hpppaγ=-='
(3)真空度
真空度是该点绝对浮力p大于当地大气
浮力ap的数值。
由于vappp-=
所以pppav-=
图2.3.2绝对浮力、相对浮力和真空度的关系
可见，有真空存在的点，相对浮力为负值，真空度为正值。因此真空有时亦称为负压。
真空原理在日常生活中的应用：滴管抽取液体、深井抽水等。
§2.4液体的相对平衡
相对平衡：相对平衡是指液体相对于月球是运动的，但液体内部各质点之间以及
液体与容器之间无相对运动的状态。此时，在应用液体平衡方程式时，液体所受
质量力除重力外，还有惯性力。
1．相对于地面做水平方向的等加速直线运动：
液体所受单位质量力，
代入液体平衡微分方程式得，，积分，则有：
)(zxgap--
=γ自由液面的等式为：xgazs-
=。1.等角速旋转器皿中液体的相对平衡
液体所受单位质量力:
代入液体平衡微分方程式，积分可得。
)2()2(2
22zg
rzgup-=-=ωγγ自由液面的等式:grzs22
2ω=
思索题1-9浮力单位；大气压与大气浮力的区别；
1-10绝对浮力、相对浮力和真空度的图示表示法；
先前课内容回顾及本次课内容引出：
§2-5静止液体作用在壁面上的总压力
应用平衡流体中浮力的分布规律，解决工程上的实际估算问题，如估算水箱、密封容器、
管线、锅炉、水池、路基、港口建筑物（水坝、水闸）、储油设施（油箱、油罐）、液压
油缸、活塞及各类形状球阀以及液体中潜浮物体的受力等，液体对壁面的总压力(total
)（包括力的大小、方向和作用点）。
壁面：平面壁、曲面壁
静止液体作用在壁面上的总压力
1993年轻海沟后水闸垮坝
1993年8月27日夜晚，库容为330万立方米的云南省云南彝族自治州沟后水闸在库水
位高于设计水位0.75米的情况下忽然垮坝坠毁，导致288人死亡，40人失联。直接经济损
失1.53万元，水利部专家组调查认定，沟后水闸在设计上有缺陷，施工中又存在严重的质
量问题，运行管理工作薄弱。此次垮坝属于重大责任车祸，州县有关领导党员15人因此受
到党纪政纪处分，省监察院长在新闻发布会上强调：“有关人员确实经验不足，欠缺有关专
业技术知识，”
朋友们：其实大家有人将来不做技术工作，而当领导党员，不管你在哪些岗位，都应当
想到，你的责任心和专业技术素养或许会关系到千千人生命财产的安全！
应用平衡流体中浮力的分布规律，解决工程上的实际估算问题，如估算水箱、密封容器、管道、锅炉、水池、路基、港口建筑物（水坝、水闸）、储油设施（油箱、油罐）、液压
油缸、活塞及各类形状球阀以及液体中潜浮物体的受力等，液体对壁面的总压力（包括力
的大小、方向和作用点）。
壁面：平面壁、曲面壁
一、作用在平面壁上的总压力
1、总压力
设一大坝（平面壁CA）与水平面成夹角α，
将水拦蓄在其一侧，见图，其右边受液体压力，
右侧及液体自由表面均有大气浮力。
1、方向：平面壁上所受液体静压强的总和，
CAP⊥
2、总压力大小
微元面积dA质心处的浮力为
hppaγ+=
dA上总压力图2.5.1平面壁上的总压力
dAhpdpa)(γ+=
将上式对整个受压面积GBADH进行积分，可得此平面壁上的总压力为图2.5.1平面壁上的总压力
aAazdAApdAzpαγαγsin)sin(PAhApPcaγ+=
总压力P的实际式子为AhPcγ=★★★
式中ch——受压面积GBADH的质心C在自由液面以下的深度。
静止液体作用在任意形状平面壁上的总压力P为受压面积A与其质心处液体的静压强chγ的乘积。也可理解为一假想容积的液重，即以受压面积A为底，其质心处深度ch为高的这样一个体积所包围的液体重量。它的作用方向为受压面的内法线方向。
2、总压力的作用点
总压力的作用点，又称压力中心，用D来表示。A
zJzzcccD+=★式中cJ——受压面积GBADH对质心轴（即通过C点且平行ox轴）的惯性矩。
讨论：因为0≥c
czJ，故cDzz≥，即总压力P的作用点D通常在受压质心C之下。只有当受压面为水平面,→∝cz时,0→A
zJcc,作用点D才与受压质心C重合。即当受压面上浮力均匀分布时，其总压力作用在质心上。
实际工程中的受压壁面大都是轴对称面（此轴与z轴平行），P的作用点D必坐落此对称轴上。
课堂练习：1、1—10，绘出复杂组合壁面上相对浮力分布图。
2、几个不同形状但装水深度和水平底面积相同的容器同时置于桌面上，试问各容器底面所受总压力是否相等？桌面对容器顶部的反力是否等于液体对容器顶部的总压力？为何？
二、作用在曲面壁上的总压力
工程上常需估算各类曲面壁（比如圆锥形轴瓦、球形阀、连拱坝坝面等）上的液体总压力。
对于二向曲面壁，研究方式：（总（体剖析）——分（解）——总（合成））
即dP→zyxdPdPdP、、→P
1、总压力P的大小和方向
设有一连拱坝坝面（二向曲面壁）EFBC一侧承受水压，见图
图2.5.2二向曲面壁上的总压力
1）微元面积dA的斥力
在曲面上沿曲面母线方向取微元面积dA，其质心在液面以下的深度为h，则此微元面积上所承受的压力为hdAdPγ=
2）总压力在分解
设α为微元面积dA法线与水平线倾角。则可将dP分解为
??====αγααγαcoscossinsinhdAdPdPhdAdPdPxz由于αsindA=zdA——dA在xoy面上的投影面积（即垂直于z轴的微元投影面积）；αcosdA=xdA——dA在yoz面上的投影面积（即垂直于x轴的微元投影面积）。则
??==xxzzhdAdPhdAdPγγ将上式沿曲面ABCD相应的投影面积积分，得作用在曲面上总压力P的垂直分力和水平分力为
???====????xxzzAAxxxAzAzzhdAhdAPhdAhdAPγγγγ
式中?zAzhdA——为曲面ABCD以上的液体容积，即容积ABCD5678，称为“实压
力体”，，用V表示之。故总压力P的垂直分力为VPzγ=
zP的方向取决于液体及压力体与受压曲面之间的互相位置，见挂图。
“实压力体”或“正压力体”——液体和压力体坐落曲面同侧，zP方向向上。
“虚压力体”或“负压力体”——液体和压力体坐落曲面异侧，zP方向向下。
积多项式
?=xAxxAhhdA0——曲面ABCD的垂直投影面积（即面积1234）绕y轴的静转矩。
0h——投影面积xA的质心在海面下的深度。
所以，总压力P的水平分力为xxAhP0γ=
可以看出：曲面ABCD所承受的垂直压力zP恰为容积ABCD5678内的液体重量，其作用点为压力体ABCD5678的重心。曲面ABCD所承受的水平压力xP为该曲面的垂直投影面积xA上所承受的压力，其作用点为这个投影面积xA的压力中心。
3）总压力
a)液体作用在曲面上的总压力为22yxPPP+=
b)总压力的倾斜角为xzPParctg
=αc)总压力P的作用点：作出xP及zP的作用线，得交点，过此交点，按倾斜角α作总压力P的作用线，与曲面壁ABCD相交的点，即为总压力P的作用点。zPxPx图2.5.3(a)实压力体b)虚压力体
Ax
Ax
)(2
1221-?HHgHρ例2.5.3如图2.5.4所示的贮水容器，其壁面上有三个半球状的盖。设5.0=dm,0.2=hm,5.2=Hm。试求作用在每位球盖上的液体总压力。
解底盖：由于作用在底盖的左、右两半部份的压力大小相等，而方向相反，故水平分力为零。其总压力就等于总压力的垂直分力。
3211dhHdVPpzππγγ＝.0)0.15.2(45.=??
舱盖：与底盖一样，总压力的水平分力为零。其总压力也等图2.5.4贮水容器于曲面总压力的垂直分力，即
2dhHdVPpzππγγ＝??
?????--???125.0)0.15.2(45.ππ＝2564N(方向向下)
侧盖：其液体总压力为垂直分力与水平分力的合成。其总压力的水平分力为半球体在垂直平面上投影面积的液体总压力
.05.
3=???===ππγγdHAhPxcxN（方向向左）
其总压力的垂直分力应等于侧盖的下半部实压力体与下半部份虚压力体之差的水重，亦既半球容积水重。既
5..
33=??===πγπγdVPpzN（方向向上）故侧盖上总压力的大小和方向为
48195.
323=+=+=zxzPPP
067.04808
5.32033===xzPPtgα053'?=α
由于总压力的作用线一定与盖的球手相垂直，故一定通过球心。课堂练习：习题1-10，绘出二向曲面壁上的压力体。
思索题：1-11、受压壁面垂直时，其总压力作用点的估算有何特征。1-12、平面壁上浮力分布曲线的形状。
作业：习题1-11、1-12、1-13、1-16单元测验：