拉德金斯卡娅（1922—2004）是20世纪俄罗斯最著名的女数学物理学家之一，她在偏微分方程的重要领域做出了杰出贡献，尤其在双曲型、椭圆型、抛物型偏微分方程、-方程和吸引子理论等领域的研究尤为突出，为俄罗斯的科技强国做出了突出贡献。本文阐述了她的人生经历、学术成就和深远影响，展现了她执着的科学人生观、追求科学卓越的精神和推动科学进步的动力。
原定于2022年7月6日至14日在俄罗斯圣彼得堡举行的第29届国际数学家大会，由于俄乌局势原因，改以线上方式举行。值得注意的是，本次国际数学家大会设立并颁发了一个新奖项——拉德金斯卡娅数学物理学奖，是为了纪念俄罗斯伟大的女数学物理学家奥尔加·亚历山德罗夫娜·拉德金斯卡娅（Olga ）诞辰100周年，以表彰她在数学物理领域做出的杰出贡献（图1）。奖金为100万卢布，不限性别、年龄，在每届国际数学家大会上隆重颁发，奖励在数学物理领域做出杰出贡献的数学家。首届拉德金斯卡娅奖颁给了吉托米尔斯卡娅教授（ ），以表彰她在准周期薛定谔算子谱理论方面的杰出贡献。她是世界级的女性数学物理学家，但她坎坷的人生经历和杰出的成就并不为人所知。
图1 拉德金斯卡娅
传
奥尔加·亚历山德罗夫娜·拉德金斯卡娅1922年3月7日出生在莫斯科东北约300英里的科斯特罗姆地区偏远小镇科罗廖夫。她的父亲亚历山大（ ）是俄罗斯贵族后裔，在当地一所高中教数学。她的母亲安娜来自爱沙尼亚，是一名家庭主妇。她的祖父根纳迪（ ）是一名画家。拉德金斯卡娅是三姐妹中最小的一个。她的父亲虽然只是一名普通的高中老师，但他对女儿的教育非常用心。在拉德金斯卡娅8岁时，他就开始教她们数学。她天赋异禀，对数学有很强的好奇心。她非常热情，成绩进步很快，很快成为父亲最优秀的学生。不久之后，父亲又教她微积分。虽然家乡偏远，但她出生于知识分子家庭，对外界有着更广泛和更深刻的文化理解。 1937年10月，不幸降临到15岁的拉德金斯卡娅一家身上。她的父亲在政治“大清洗”中被内务人民委员部（NKVD，克格勃前身）以“国家敌人”的罪名逮捕，随后未经审判就被枪决。父亲的政治动荡让这个家庭陷入了20多年的困境，只能靠母亲和姐姐们亲手制作衣服、鞋子、肥皂等生活用品。直到1956年，父亲的冤案才因“缺乏犯罪证据”而被正式宣告无罪。那时，拉德金斯卡娅已经34岁了。
1939年，拉德金斯卡娅以优异的成绩从科罗廖夫中学毕业，前往列宁格勒（现圣彼得堡）继续学业。但由于父亲的犯罪，她被禁止进入苏联最负盛名的大学，只好在二流的波克罗夫斯基师范学院学习了两年，但因二战被迫离开列宁格勒。1941年秋天，她来到戈罗德镇的一家孤儿院任教，次年春天搬回家乡接替父亲的职位，她不仅在学校担任数学老师，还在家里为对数学感兴趣的学生免费辅导。
1943年，经过一番努力，拉德金斯卡娅终于得到了回报。她的事迹感动了一位学生的家长，在家长的热情帮助下，她回到莫斯科，说服莫斯科大学校长让她担任数学力学系的教授。在那里，她获得了斯大林奖学金和劳动配给卡。没有这些，她根本活不下去。这时，拉德金斯卡娅的数学天赋终于发挥出来了。最初，她研究代数、数论，后来转向偏微分方程，深受数学家伊万·彼得罗夫斯基、大卫·希尔伯特和库朗的经典著作《数学物理方法II》的影响。罗斯托夫斯基主要研究偏微分方程，对希尔伯特第19和第16问题做出了重大贡献。当时莫斯科大学的数学讨论会十分常见，拉德金斯卡娅是这些讨论会的积极参与者，特别是数学家斯捷潘诺夫、彼得罗夫斯基、吉洪诺夫等人的讨论会。其中，伊利亚·维库亚组织的微分方程讨论会和泛函分析大师盖尔凡德组织的分析讨论会最具影响力。20世纪80年代，她亲自组织了一次关于偏微分方程理论的青年讨论会，并说服彼得罗夫斯基的一名学生梅什基斯与她一同前往，邀请彼得罗夫斯基主持讨论会。斯基不仅主持了这次讨论会，后来还邀请自己的朋友和同事参加拉德金斯卡娅组织的常年讨论会，并解答相关问题，提出一些建设性的建议。
1947年，拉德金斯卡娅从莫斯科大学毕业后与同学安基谢列夫结婚，随丈夫再次搬到列宁格勒，在莫斯科大学的大力推荐下，成为圣彼得堡国立大学数学和力学教授。她在数学系读研究生，师从数学家索博列夫（ ）和斯米尔诺夫（ ）。从此她的数学生涯开始走上正轨。索博列夫是数学分析和偏微分方程方面的大师，奥尔加是数学物理方程边界值问题讨论会的核心成员，后来成为组织者直至逝世。斯米尔诺夫是地震学、流体力学和空气动力学方面的专家，后来，拉德金斯卡娅一直与其在流体力学方面保持着合作关系。
1949年，拉德金斯卡娅获得博士学位后，留在数学力学系任教。次年，她调至物理系担任讲师。1954年，她晋升为副教授，1956年，她晋升为正教授。她在微分方程、流体力学等领域做出了一系列创造性的贡献。由于拉德金斯卡娅年轻时就决心将自己的一生献给数学，因此她决定不要孩子，因为她觉得孩子可能会成为阻碍。这个想法导致她与丈夫发生了严重分歧，最终导致两人婚姻破裂。她终身未婚，没有留下孩子，将自己的一生奉献给了她热爱的数学。
由于语言、文化、政治体制等一系列复杂的原因，拉金斯卡娅直到晚年才被允许出国参加学术会议。1958年在英国爱丁堡举行的国际数学家大会上，她首次出国，并被提名菲尔兹奖，但未能成为第一位获此殊荣的女数学家，这在数学史上是一个遗憾。她再次出国，是30年后的事了。晚年的她与欧拉类似，患有严重的眼疾，需要借助带灯的特殊铅笔才能看清字迹。2004年初，她计划去美国佛罗里达州参加学术会议，并为此准备了一篇水力学分析论文。但就在出发前两天，她在圣彼得堡的家中睡梦中安详离世，享年82岁。
学术成就
拉德金斯卡娅一生著作颇丰，有论文250余篇，著作7部，教材1部。她在偏微分方程方面的研究涉及许多重要领域，与她的老师和学生一起为偏微分方程领域做出了巨大贡献，为微分方程的发展做出了基础性贡献，成为国际数学界一支非常重要的力量。她的数学成就主要体现在以下几个方面。
有限差分法和双曲偏微分方程
拉德金斯卡娅对双曲偏微分方程的研究始于博士学习期间。在她1949年完成的博士论文中，她发展了线性和拟线性双曲偏微分方程的有限差分算法。她在索博列夫空间网格上模拟了周期函数的傅里叶展开，并通过估计逼近误差证明了当网格步长趋于零时算法的收敛性；她将有限差分法推广到其他数学领域，并证明了包括具有时变系数的双曲偏微分方程的稳定性。她还在拟线性双曲偏微分方程组上找到了彼得罗夫斯基问题的局部唯一解的存在性，给出了全新的简化证明。
博士毕业后，拉德金斯卡娅继续研究二阶线性双曲偏微分方程的初边值问题。她清晰地论证了傅氏方法，详细研究了一般的对称二阶椭圆偏微分方程。她在索博列夫空间有界域上发展了特征函数的级数展开，找到了利用狄利克雷边界条件描述椭圆偏微分方程闭包域的方法，该方法以她的名字命名。她的工作对偏微分方程，包括谱理论，产生了重要的影响，使初边值问题的弱解成为数学物理中的一个重要概念。索博列夫空间中各类偏微分方程初边值问题弱解的思想、理论和方法构成了数学物理方程数值算法最重要的理论基础。此外，她在1951年的任教资格论文中研究了一般二阶双曲偏微分方程混合边值问题解的规律性，并给出了此类方程古典解的严格公式。她出版了第一本俄语专著《双曲方程的混合》，2008年总结了上述结果。
椭圆和抛物型拟线性偏微分方程
拉德金斯卡娅长期从事线性和拟线性椭圆型和抛物型偏微分方程解的存在性和唯一性的研究，并在此领域取得了一系列重大研究成果，这些成果基本都是和她的合作者一起完成的。1964年，她与学生尼娜·乌拉尔采娃出版了《线性和拟线性椭圆方程》（《和》）；1967年，她与乌拉尔采娃和索洛尼科夫（ ）及其两名学生合作出版了《线性和拟线性抛物型方程》（《和》）。这两本书提供了发散形式的拟线性方程的完整理论，特别是解决了自然界中的线性方程问题。它们展示了增长约束下经典边值问题的全局可解性，这些内容现在已成为《偏微分方程》等教科书的标准内容。特别是，他们证明了自然增长约束下高维变分弱极值的正则化，被积函数的性质完全由被积函数的光滑性决定。这个结论在某种意义上结束了希尔伯特19、20世纪二阶方程问题的研究。此外，他们还研究了几类具有对角主成分和平方梯度的拟线性系统，证明了标量散度系统的性质，为流形调和映射的研究提供了新的方向。2005年，阿贝尔奖获得者、诺贝尔奖获得者美国数学家彼得·拉克斯评价两本书“包含了许多关于椭圆和抛物方程解的估计的深刻结果。作者大大拓展了伯恩斯坦（）和乔治·（恩尼奥·德·）、莫泽、约翰·纳什的思想，他们是该领域基础知识的源泉。”
拉德金斯卡娅还在一大类非均匀椭圆算子（如平均曲率算子）方程的解方面给出了一系列重要的研究结果，同时她还与伊沃金娜（Nina）合作，在几何领域做出了巨大的成就。1994-1997年他们发表了一系列关于抛物型非线性方程第一初边值问题的整体经典可解性的重要结果，这些方程描述了由未知曲面或其主曲率的对称函数生成的方程流。
流体力学和纳维-斯托克斯方程
拉德金斯卡娅是现代流体力学数学理论的奠基人之一，他的研究范围包括弹性力学方程、薛定谔方程、线性化的纳维-斯托克斯方程以及麦克斯韦方程。他尤其在纳维-斯托克斯方程的研究中取得了巨大成就，发表了一系列重要成果。纳维-斯托克斯方程是由物理学家路易斯·纳维和斯托克斯分别在1921年和1945年提出的留学之路，该问题以他们分别推导出来的亚历克斯爵士的名字命名。2000年5月24日，美国克雷数学研究所把它列为千禧年七大数学难题之一。给定一个空间和时间中的起始速度场，存在一个矢量速度场和一个标量压力场，它们是纳维-斯托克斯方程的解，其中速度场和压力场必须满足光滑和全局定义。科学家们希望找到-方程的通解，也就是证明方程总有一个解存在。一组难以用数学理论解释的方程，而且还要证明这个方程的解总存在，使得很多科学家绞尽脑汁，被称为最难的数学物理公式。任斯卡娅从二维稳态斯托克斯方程开始研究，取得了一系列的研究成果，1958年她在苏联科学院院刊上发表了一篇非常重要的论文，证明了二维-方程初边值问题的全局唯一可解性。同时，她还给出了-方程的数值解和算法收敛性的证明。为力学领域引入了很多新颖、有趣的课题，这些重大成果都总结在她于1961年出版的专著《粘性不可压缩流的数学理论》（The of Flow）中，这本书后来成为该领域的经典之作。
三维-方程研究起来非常困难，现为七大千年难题之一。1967年，拉德金斯卡娅证明了在Leray-Hopf意义下可以解的弱解的唯一性条件和正则性。这一结论为寻找合适的泛函类使得-方程初值问题全局唯一可解奠定了重要基础。此外，她还研究了对三维-速度场进行修改，允许在某些区域有较大的波动。这个修改后的方程后来被称为“拉德金斯卡娅方程”。她证明了这个方程，并应邀在1966年的莫斯科世界数学家大会上报告了这个“漂亮”的结果。
由于三维非稳态-方程过于困难，自之后研究进展几乎停滞，直到2015年，美籍华人 Tao发表了一篇关于三维-方程的文章，该文主要目的是形式化-方程全局正则性问题的超临界态势垒，简单来说就是抽象地建立-方程。由于方程的全局正则性是不可能的，因此构造了一个类似于-方程的反例，但不是原始的-方程。
偏微分方程的吸引子理论
拉德金斯卡娅在研究二维-方程的初边值问题时推导出半群的概念，她证明了解算子在每个固定时刻在相空间中都是紧致算子，她对无限维相空间取一个交点，并证明了这个交点是非空的、紧致的、并且是相空间的任意有界子集，她把这个交点称为全局最小吸引子，她发现这个交点具有许多有趣的有限维性质，如一定的不变性和有限维数、时间在负方向上的可逆性，特别是抛物线型耗散问题，从而开辟了偏微分方程理论的新方向，即大尺度稳定性理论和偏微分方程的吸引子理论。她建立了算子半群和二维-方程的联系，并给出了吸引子维数和分数维的精确估计。这些结果总结在她1991年出版的专著《半群的吸引子和发展方程》（“for and”）中。
深远影响
拉德金斯卡娅是现代偏微分方程理论的创始人，她与她的老师和学生一起创建了自己的偏微分方程学派，成为国际数学界一股重要而强大的力量。真正的数学大师不仅要能解决数学问题，而且要能提出新的问题和方法。她提出了广义解、弱解和广义模拟等著名的基本概念，微分算子的谱理论、衍射理论、双曲函数，她和她的合作者在拟线性椭圆和抛物方程边值问题的发展方面取得了重要进展，发展了二阶抛物和椭圆拟线性方程一大类边值问题解的正则性理论女性物理学家论文，从而解决了希尔伯特著名的19和20世纪问题。
拉德任斯卡娅还是现代流体力学理论的奠基人。她于1961年出版的专著《粘性不可压缩流的数学理论》是该领域必读的经典著作女性物理学家论文，已被译成多种文字。她是流体力学中偏微分方程，尤其是-方程的“宠儿”，是第一个证明二维-方程初边值问题全局唯一性的人，还给出了一系列三维解的唯一定理，是最接近解决这一千年数学难题的人。直到现在，三维空间中的全局可解性仍然是一个悬而未决的问题。德任斯卡娅还在二维-方程系统中引入了吸引子的概念并证明了它们的存在性，从而开辟了演化偏微分方程理论的一个新领域，即大尺度稳定性理论。
在做出杰出贡献的同时，拉德金斯卡娅还十分注重年轻人的培养和学术组织的发展。她天生具有人格魅力，讲课清晰精妙，内容娴熟通俗易懂。她帮助初学者，善于以明珠暗投的方式甄别珍珠，并讨论他们感兴趣的问题。从1947年开始，她和苏联科学院院士斯米尔诺夫组织了每周一次的数学物理研讨会，一直延续至今，参加者包括许多著名数学家。她一直领导这个研讨会直到生命的最后几天，培养了一大批非常优秀的科学家，如乌拉尔佐娃、索洛尼科夫等，他们如今都是圣彼得堡国立大学乃至世界数学物理学术界的领军人物和中坚力量。
正如国际数学联合会在设立拉德金斯卡娅数学物理学奖的理由中所说：“拉德金斯卡娅在圣彼得堡、俄罗斯乃至世界数学和数学物理史上占有十分重要的地位。她奠定了现代数学物理学偏微分方程理论的基础。通过她的讲座、研讨会和学生，她激发了数学物理学许多其他分支的非凡进步，包括量子场论和统计物理学。”
作者简介：程小红，首都师范大学小学教育学院副教授，研究领域为世界数学史。