耶鲁学院的理论化学学家亚历山大·波利亚科夫（）在1981年洞悉了量子理论的未来。一系列谜团，从弦的摆动到夸克与质子的结合，都须要一种新的物理工具来揭露。
他在《物理快报b》（b）中写道“科学中有许多方式和公式，它们是解决许多看似不同的问题的万能锁匙。目前，我们必须发展一种处理随机曲面求和的艺术。”
波利亚科夫的提议被证明是强有力的。在他的论文中，他概述了一个公式，简略地描述了怎样估算一个十分混乱的表面，即“刘维尔场”。他的工作将化学学家带入了一个新的物理领域，这对于解开被称为弦的理论对象的行为以及完善量子引力的简化模型至关重要。
多年的努力使波利亚科夫为其他数学理论找到了突破性的解决方案，但他未曾完全理解刘维尔场背后的物理。
但是，在过去的五年中，一组物理家完成了许多研究人员觉得不可能完成的事情。她们用完全严格的物理语言重新定义了波利亚科夫的公式，并证明了刘维尔场完美地模拟了波利亚科夫觉得会出现的现象。
这三篇论文在物理和化学之间架起了一座桥梁。这项工作还涉及到一些哲学问题，这种问题涉及在基础数学的主要理论中抢占中心地位的对象——量子场。
无限的场
在昨天的数学学中，最成功的理论中的主角是场（填充空间的物体），从一个地方到另一个地方具有不同的值。
比如，在精典化学学中，一个单独的场能告诉你力是怎样推进物体的。以月球磁场为例：罗盘表针的晃动显示了磁场在月球上每一点的影响（硬度和方向）。场也是量子化学学的核心。但是，因为量子理论的随机性，情况愈发复杂。从量子的角度来看，月球不是形成一个磁场，而是无限多个不同的磁场。
然而化学学家一直想作出预测，将量子场的无限方式同化为一个单一的场是“量子场理论”的繁重任务。这是一个模型，描述了一个或多个量子场，每位量子场都有无限的变化。
在实验的促进下什么是经典物理学，量子场论已然成为粒子化学的基本理论。标准模型就是其中一种量子场论，它把电子这样的基本粒子描摹成电子场中的模糊突起。到目前为止，它早已通过了所有的实验测试。
化学学家使用了许多不同的量子场论。一些模型，例如标准模型，模拟真实粒子在宇宙的四个维度中联通。其他量子场论描述了奇特宇宙中的奇特粒子，从二维平面到六维超世界。它们与现实的联系是遥远的，但化学学家们研究它们是希望获得一些洞见，便于将它们带回我们自己的世界。
波利亚科夫的刘维尔场论就是这样一个反例。
引力的能量场
刘维尔场基于19世纪欧洲物理家约瑟夫·刘维尔提出的一个复剖析多项式，它描述了一个完全随机的二维表面，其中每位点的高度都是随机选择的。这样的表面会出现无数的“山峰”，每一个山峰都是通过滚动一个有无数面的色子来确定的。
这样的一个二维表面可能看上去不像数学的信息模型，但随机性并非没有固定的模式。诸如，钟形曲线告诉我们在街上随机经过一个2米高的足球运动员的可能性有多大。同样，球形云和褶皱的海岸线也遵守随机模式，但依然有可能辨认出它们的大尺度和小尺度特点之间的一致关系。
刘维尔理论可用于辨识无尽纹样中所有可能的随机、锯齿状的模式。波利亚科夫意识刘维尔理论对于弦的建模是必不可少的。该理论也被用于描述二维世界中的量子引力。爱因斯坦将引力定义为时空的曲率，将他的描述转化为量子场论的语言，创造了无限多的时空——就像月球形成无限多的磁场一样。刘维尔理论将所有那些表面打包成一个物体。它为化学学家提供了检测任意二维平面上每位位置的曲率的工具。
量子引力基本上意味着随机几何，由于量子意味着随机，而引力意味着几何。
波利亚科夫探求随机表面世界的第一步是写下一个表达式来定义找到一个特殊的尖状行星的机率，如同钟形曲线定义遇见某个特定高度的人的机率一样。并且他的公式并没有带来有用的数值预测。
量子场论要解决的就是能否借助场来预测观测。在实践中什么是经典物理学，这意味着估算一个场的“相关函数”，它通过描述场在某一点上的检测与另一点上的检测的关联程度来捕获场的行为。诸如，估算光子场中的相关函数可以得出量子电磁学定理。
波利亚科夫追求的是更具象的东西：随机表面的本质。几六年来，他尝试了两种不同的估算方式。他从一种称作费曼路径积分的技术开始，最终发展出一种称为自助法（）的变通方式。这两种方式在不同的方面都存在缺陷，直至物理家们将它们结合在一起，产生了一个更精确的公式。
把她们加上去
你可能会觉得，要解释量子场的无限多种方式几乎是不可能的，确实是这样。20世纪40年代，量子化学学的先驱理查德·费曼开发了一种解决这些令人困扰的情况的方式，但这些方式被证明十分有限。
再以月球磁场为例。我们的目标是用量子场理论来预测当你在一个特定的位置使用罗盘读数时你会观察到哪些。为了做到这一点，费曼提出将所有场的方式加上去。他觉得读数将代表所有场可能方式的某个平均值。用适当的加权把这种无限场构象加上去的过程称为费曼路径积分。
这是一个绝妙的看法，它只对选取的量子场给开具体的答案。没有一种已知的物理方式可以对覆盖无限宽广空间的无限数目的物体进行有意义的平均。路径积分更像是一种数学哲学，而不是精确的物理公式。物理家们指责它作为一种有效的运算的存在，化学学家们对它的依赖方法也让她们倍感疑惑。
化学学家可以借助费曼路径积分来估算自由场的精确相关函数，这种场与其他场甚至本身都不互相作用。她们给自由场降低一些交互或“扰动”。这个过程，被称为微扰理论。
尽管他最初猜测刘维尔场可能会接受添加轻微的扰动，但他发觉它与自己的互相作用太强烈了。与自由场相比，刘维尔场在物理上虽然不可能，它的相关函数显然无法实现。
自助法
波利亚科夫很快就开始找寻解决办法。1984年，他与亚历山大·贝拉文（）和亚历山大·扎莫洛奇科夫（）合作开发了一种称为自助法（）的技术，这是一种物理阶梯，可以逐步得出一个场的相关函数。
为了得到一个场的相关函数，你须要一个函数来抒发仅在哪个场中三个点的检测值之间的相关性。这个“三点相关函数”，加上一些关于场中粒子可以获得的能量的额外信息，产生了自助阶梯的顶部梯级。
之后一次降低一个点：使用三点函数构造四点函数，使用四点函数构造五点函数，以这种推。并且，假如你在第一阶上使用错误的三点相关函数，这个过程会形成矛盾的结果。
波利亚科夫使用自助法成功地解决了各类简单的QFT理论，而且如同费曼路径积分一样，她们不能使它适用于刘维尔场。
之后在20世纪90年代，化学学家找到了使“攀登阶梯”成为可能的三点关联函数，彻底解决了刘维尔场（及其对量子引力的简单描述）。她们的结果，简称为DOZZ公式，让化学学家可以作出任何涉及刘维尔场的预测。
驯服“狂野”的表面
在2010年代初期，物理家和化学学家联手，目标是解决刘维尔场的物理问题，解开DOZZ公式的神秘面纱。
当她们开始研究的时侯，她们意识到一个叫让·皮埃尔·卡哈内（Jean-）的日本物理家在几六年前发觉了波利亚科夫理论的关键。
她们首先去除了路径积分，由于刘维尔场与自身互相作用强烈，致使它与费曼的微扰理论不相容，所以波利亚科夫失败了。为此，物理家们使用卡哈内的思想将刘维尔场重新定义为一种“温和”的随机物体，即高斯自由场。高斯自由场的峰值不会像刘维尔场的峰值那样极端，这促使物理家才能以合理的方法估算平均值和其他统计检测值。
2014年，她们公布了她们的结果——波利亚科夫在1981年写下的路径积分的改进版本，但完全以可信高斯自由场定义。这是一个罕见的事例，费曼的路径积分哲学找到了一个可靠的物理基础。
有了一个严格定义的路径积分，研究人员之后企图瞧瞧她们是否可以用它来得到刘维尔场的答案，并推导入它的相关函数。目标是DOZZ公式——但它和路径积分之间的鸿沟虽然很大。
该团队花了数年时间来研究她们的机率路径积分，确认它确实具有自助法所需的所有特点。最终，瓦格斯（）、库皮埃宁（）和罗兹（）在2017年发表了一篇论文，并在2020年10月与科林·吉勒穆（Colin）发表了另一篇论文，取得了成功。她们从路径积分中导入了DOZZ和其他相关函数，并表明这种公式与化学学家使用自助法得到的多项式完全匹配。
这项工作解释了DOZZ公式的起源，并将自助（）过程与经过验证的物理对象联系上去。其实，它解开了刘维尔场的最后疑团。
量子场论的新希望
如今，我们有了一个强悍的互相作用的量子场论，用一个简单的物理公式完美地描述了一个非扰动的形式，也可以进行数值预测。
最重要的问题是，这种几率方式能走多远？她们能为所有的量子场论生成公式吗？瓦格斯觉得她们的工具是针对刘维尔理论的二维环境的。在更高的维度，甚至自由场都太不奏效，所以他怀疑该小组的方式是否还能处理宇宙中引力场的量子行为。
但波利亚科夫“万能锁匙”将打开其他的房门。它的影响早已在机率论中彰显下来了，物理家们如今可以使用原先不可靠的化学公式。
刘维尔场的严格建立可能会迸发物理家们尝试证明其他看似无法解决的量子场论的特点——不仅仅是引力理论，而是对真实粒子和力的描述，它们直接影响着现实中最深的数学秘密。