导数在数学分析和物理学中被广泛用于描述复杂的函数和变量，其中可能包括电压、化学反应和运动速度。
这是任何难以或不可能用常数值描述的量。例如，行驶中的汽车在行驶过程中加速和减速多次，其速度就是如此。函数的数学导数旨在描述、系统化和分析这些量。
函数的导数
根据官方定义，导数是函数自变量趋近于零时，函数的增量与其自变量的增量之比的极限。计算导数的过程称为微分。只有当函数具有有限导数时，它才被称为可微的。
函数可以描述为一个量对另一个量的依赖关系，并在坐标平面上绘制为一条线。对其进行区分：
导数将显示 y 值的增量大于或小于 x 值的增量的倍数。这些增量的比率描述为 dy/dx，导数为 f(x)。
一点历史
早在 15 世纪，数学家就已开始使用导数 - 用于确定炮弹射程与炮倾斜度的关系。意大利数学家是第一个使用这种技术的。
17 世纪，瑞士的伯努利兄弟开始认真研究导数。弟弟约翰·伯努利（ ）于 1687 年出版了第一本系统介绍微积分的著作，成为《无穷小分析》的基础。到 1742 年，这位科学家还完成了积分学课程的开发，并提出了求解常微分方程的新方法。
约翰的弟弟雅各布·伯努利利用导数求出平坦曲线的曲率，并以此研究对数螺线。“积分”这个名称是雅各布·伯努利取的，事实上，“积分”与微分相反。
17、18世纪之交，伯努利兄弟对导数的研究做出了巨大贡献，奠定了数学变分法的基础。
17 至 19 世纪的欧洲，其他杰出的科学家也参与了导数的研究：莱布尼茨、牛顿、拉格朗日、雅可比、魏尔斯特拉斯、勒让德。例如，微分的现代符号 - d(x) - 是由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ( ) 引入的，而素数导数的符号 - f'(x) - 是由约瑟夫·路易斯·拉格朗日 ( Louis ) 引入的。
“导数”这个词本身最早是由拉格朗日于1797年使用的，该词是从法语deree翻译而来的，源于“衍生”。
随后许多欧洲数学家都使用了法国引入的符号对数函数求导，而“delta”（∇）符号直到 1853 年才由爱尔兰数学家罗文出现。
过山车类比
为了便于理解该函数并求导，可以将其与世界闻名的游乐设施——过山车进行简单的类比。如果从侧面看，即使用眼睛也可以确定车子运动的主要特征，而无需进行复杂的计算：它在哪些区域上升/下降，在哪里加速/减速，在上升/下降之间会跨越多少次边界。
平面上绘制的函数可以用完全相同的方式描述。在不同区域，它以不同的方式增加和减少 - 这个过程可以用导数来描述和确定。为此，我们引入以下定义：
参数 x 的增量越小，计算越准确。当独立变量的增量趋近于零时，精度最高。在这种情况下，求导数将需要非常大量的计算，接近无穷大（根据精度/梯度进行调整）。
如果这项任务对于人类来说太难对数函数求导，那么现代计算机可以立即处理。使用特殊的在线应用程序就足够了，这些应用程序可以使用输入的数据找到函数的导数，即使它们包含在具有正弦、余弦、根和指数的复杂公式中。