7磨擦数值算法简介
在过去的三六年间，估算接触热学领域发展了多种用于求解磨擦接触问题的算法。在对磨擦接触问题进行数值模拟时，一个主要困难是磨擦力与切向滑动量之间的本构关系是非光滑的，本构函数在个别点上不可微分，进而导致数值估算中迭代收敛困难，这个问题可以通过对磨擦本构关系的规则化来解决。
目前已有多种迭代方案用于带磨擦的接触剖析，可大致分为以下几类：试探-校核算法、基于塑性理论中的弹塑性类比方式、基于优化理论的物理规划方式。后两类方式以严密的物理理论为基础，其可靠性低于试探-校核算法。
试探-校核算法通常是应用于小变型情况。对于磨擦接触问题，解的惟一性和存在性均不能保证，为此试探-校核算法在好多情况下并不可靠。但试探-校核算法依旧得到了成功的应用，在显式有限元剖析中才能获得合理的结果。
近几六年平均摩擦力怎么算，定理和其他磨擦本构关系被列入塑性理论的研究范畴，基于弹塑性理论的返回映射方案已成功应用于有限元磨擦接触剖析，该方案使算法的收敛行为和可靠性形成了本质的提升。返回映射方案最初用于材料非线性问题，用以积分弹塑性本构关系。将磨擦定理类比为弹塑性本构关系，就可以将返回映射方案应用于带磨擦的接触剖析。因为磨擦本构关系的非关联性，返回映射方案所得到的切线挠度矩阵一般不对称，降低了数值求解的难度。除返回映射方案之外，其他几种来始于塑性理论的方式，比如屈服极限拉氏乘子法，也已用于磨擦接触问题的数值剖析中。
语文规划方案在磨擦的模拟中也有较为成功的应用。据悉，其他的一些途径，比如内点法、屏障法、连续近似法等，也被尝试用于磨擦接触剖析中。
磨擦接触剖析中，须要分辨滑动或黏结两种状态。对于黏结状态，一般可以使用一个参数（罚值）εT将其引入到罚函数或则拉格朗日格式，εT相当于切向滑动的挠度。并且这些处理促使静磨擦力的大小依赖εT的数值。对于过小的εT，可能造成化学上有问题的估算结果，即接触界面出现类似粘滑效应的行为，与实际情况不符。似乎可以采用较大的εT来解决这个问题，并且εT取值过大将造成多项式组出现病态或则迭代流程丧失强壮性。
8磨擦定理与磨擦定理的正则化
8.1库伦磨擦定理
两接触表面的切向力一旦超过了某一个极限值，两表面不再保持黏结状态，而是发生相对的滑动。须要使用适当磨擦模型来描述这些切向行为。在实际工程中，库伦定理因其简单和适用性被广泛采用。库仑定理的表达式如下：
其中μ为磨擦系数，在精典库仑定理中被视为常数，由两接触面的材料种类决定；pN为法向接触压力；ġT为相对滑动速率；tT为切向磨擦力。
库仑定理表明，当磨擦力大于μpN时，无相对滑动，处于黏结状态；当有相对滑动时，磨擦力必然达到极限值μpN。
磨擦系数一般受多种诱因的影响，比如表面粗糙度、相对滑动速率ġT、法向接触压力pN、环境湿度θ等。假如考虑这种影响，可以得到精典库仑定理的改进方式：
8.2库仑定理的规则化
精典库伦磨擦定理是不可微的，在相对滑动速率ġT=0处发生由粘接至滑动的突变，当ġT反向时，磨擦力tT也立刻发生反转。这些突变将造成数值估算中迭代的收敛困难。为此提出了一些规则化（即光滑化）的模型来取代精典库伦磨擦模型，这种规则化模型可以抒发为如下方式
式中，函数φ(ġT)拿来描述由黏结状态至滑动状态的光滑过渡。不同的规则化模型中，φ(ġT)可采用多种方式，分别对应于不同的规则化模型。
在以上模型中平均摩擦力怎么算，标量参数ε为规则化参数，当ε→0即为精典库伦磨擦定理。ε不宜取值过大，否则规则化模型将与实际的接触界面黏结-滑动规律有较大出入。
上述规则化模型的前三种才能提供光滑的磨擦力-滑动量曲线，但第四种模型类似于理想弹塑性挠度-应变关系，以便采用弹塑性热学中的相关方案处理。
当采用规则化的模型后，剖析中不存在黏结状态，而统一的应用前面的物理描述来进行磨擦剖析。这在数学上可以更真实地描述实际磨擦现象，由于两个接触面上都存在一定的不泰安，因而完全黏结的接触状态是不存在的。只要有切向磨擦力的存在，总要伴随发生一定的相对滑动，而规则化的磨擦模型刚好可以描述这种化学现象。
8.3磨擦定理的弹塑性类比
弹塑性类比方案的关键思想在于将切向滑动gT分离为弹性滑动部份gTe和塑性滑动部份gTp，如图2。
图2：切向滑移量的分离
这些分离方可视为对磨擦定理的规则化。并且它也有实际的化学含意：gTe代表接触界面上的弹性微小位移，卸载后gTe和由gTe造成的变型将恢复为0；gTp代表不可恢复的位移，在卸载后依然存在。
对于切向磨擦的弹性部份，可采用以下各向同性线弹性模型，
式中，cT为界面弹性常数。
也可采用各向异性线弹性模型
式中，cT为弹性系数张量。
切向磨擦的塑性部份也有类似的本构等式，可依照弹塑性理论的标准概念导入。与弹塑性理论进行类比，可以构建屈服函数fs(tT)和相应的屈服准则，如下：
屈服函数fs(tT)可以简单的抒发为：
上式等价于精典库伦磨擦定理。
借助最大耗散原理，得
之后可以导入塑性滑动的流动法则
据悉，还可以得到加载-卸载准则
按照上式可确定参数ƛ.
9商用有限元软件中的接触和磨擦算法
9.1中的接触算法
缺省使用拉氏乘子法施加接触约束，用户也可选择使用罚函数或增广拉格朗日法。在接触模拟中，要在各个预制构件上构建表面，定义可能会发生接触的一对表面（接触对），之后根据本构关系求出表面间的法向和切向互相作用。
可以手动确定二维和三维实体单元的自由面，并借助它们构建一个表面。对于壳单元和刚性单元，必须指明是正法向的面还是负法向的面。
应用单纯的主控-从属接触算法，执行单边接触检测：从属表面的节点不能穿透主控表面的任何部份，这些算法对于主控表面没有限制，它可以在从属表面的节点之间穿透从属表面。因而必须正确选择从属与主控表面，要遵守的简单原则是：
（1）从属表面应当是网格界定的更精细的表面。
（2）假如网格密度相仿，从属表面应该由更厚实的材料组成。
定义接触对时，须确定两表面之间的相对滑动是小量还是有限值。默认设置是有限滑动状态。当应用小滑动公式时，从模拟开始就完善从属表面和主控表面之间的关系，确定主控表面那个部份与从属表面的结点发生作用。这些互相关系在剖析过程中保持不变。对于有限滑动情况，两个变型表面间的有限滑动模拟仅能用于二维问题，变型面和刚性面的有限滑动估算可用于三维问题。
图3为接触剖析的流程。在增量步开始前检测所有接触对的状态，判定从属结点是否步入接触，对于接触的结点，判定是滑动还是粘接，之后施加相应的约束。
图3：接触算法流程
在检测力或转矩的平衡前，首先检测从属结点接触条件的变化，假如检查到当前迭代步的任何接触状态改变，则标示为严重不连续迭代，不进行平衡检验，而是改变接触约束步入第二次迭代。直到接触状态不再变化，才进行平衡收敛检测，假如收敛性不满足，则进行下一次迭代。
9.2MSC.MARC中的接触算法
MARC软件提供了基于直接约束的接触算法，是解决所有接触问题的通用方式。非常是对大面积接触，以及事先未能预知接触发生区域的接触问题，程序能依据物体的运动约束和互相作用手动侦测接触区域。当发生接触时，使用边界条件直接约束运动体，二者的运动约束转化成了节点自由度的约束和节点力的约束。
MARC中的接触检测默认采用双边检测，为提升检查速率，用户也可选择单边检测。MARC除了可以处理变型面和刚性面之间的有限滑动，对于变型面与变型面间的有限滑动也能挺好的处理。
MARC软件接触算法基本流程如图4所示。从图4可见，整个过程包括：
据悉，对于接触区域事先已知的情况，用户还可使用间隙单元(gap单元)方案，或则基于罚函数方式，通过用户子程序对接触界面施加非线性弹簧。
图4：MARC接触算法流程
作者简介
王朋波，复旦学院热学博士，车辆结构CAE剖析专家。上海市妇联成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真估算，车体结构优化与轻量化，CAE剖析流程手动化等。王朋波私人陌陌：；加微请标明：单位+姓名。