全省小学数学大赛决赛试卷及答案_全省小学数学大赛决赛试卷及答案第二十届全省学生数学大赛决赛试题全卷共七题，总分为140分。一、〔15分〕图中a为一固定放置的直径为R的均匀带电圆球，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球外表处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝的动能沿与O'O平行的方向射向a．以l表示b与O'O线之间的垂直距离，要使质子b才能与带电圆球a的外表相撞，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．二、〔15分〕U形管的两支管A、B和水平管C都是由外径均匀的细玻璃管弄成的，它们的外径与管长相比都可忽视不计．己知三部份的截面积分别为2A1.010S-=?cm2，2B3.010S-=?cm2，2C2.010S-=?cm2，在C管中有一段空气柱，两边被水银封闭．当气温为127t=℃时，空气柱长为l＝30cm〔如右图〕，C中气柱一侧的水银柱长分别为a＝2.0cm，b＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12cm．大气浮力保持为0p＝不变．不考虑湿度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气湿度平缓下降到t＝97℃时空气的容积．三、〔20分〕有人提出了一种不用尼克斯发射人造月球卫星的构想．其构想如下：沿月球的一条弦挖一通道，如右图．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星都会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立刻把待发卫星的速率方向变为沿该处月球切线的方向，但不改变速率的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星刚好沿月球外表绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，月球直径0R＝．假设月球是质量均匀分布的圆球，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．全省中学数学大赛决赛试卷及答案全省小学数学大赛决赛试卷及答案四、(20分)如右图，一直径为R、折射率为n的玻璃半球，置于空气中，平外表中央直径为0h的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，刚好覆盖整个外表．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的座标轴．通过估算，求出座标轴Ox上玻璃半球一侧有光线通过的各点〔有光线段〕和无光线通过的各点〔无光线段〕的分界点的座标．五、(22分)有一直径为R的圆锥A，静止在水平地面上，并与竖直墙壁相接触．现有另一质量与A一样，直径为r的较细圆锥B，用手扶着圆锥A物理竞赛高中试题，将B置于A的前面，并使之与墙壁相接触，如右图，之后放手．己知圆锥A与地面的静磨擦系数为0.20，两圆锥之间的静磨擦系数为0.30．若放手后，两圆锥体能保持图示的平衡，问圆锥B与墙壁间的静磨擦系数和圆锥B的直径r的值各应知足哪些条件？六、(23分)两个点电荷坐落x轴上，在它们构成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x轴上各点的电势如图中曲线所示，当0x→时，电势U→∞：当x→∞时，电势0U→；电势为零的点的座标0x,电势为极小值0U-的点的座标为0ax〔a＞2〕。
试按照图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在x轴上的位置．七、(25分)如右图，将一铅球状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速0v抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速率的大小与碰前沿竖直方向的分速率的大小之比为e〔＜1＝．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动磨擦系数为μ〔≠0〕：每次碰撞经过的时间都十分短，并且都是“饼面〞着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．全省小学数学大赛决赛试卷及答案全省小学数学大赛决赛试卷及答案第二十届全省学生数学大赛决赛试卷参考解答、评分标准一、参考解答令m表示质子的质量，0v和v分别表示质子的初速率和抵达a球球面处的速率，e表示元电荷，由能量守恒可知=+〔1〕由于a不动，可取其球心O为原点，因为质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的扭矩仍然为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子抵达a球外表处时其速率方向正好与该处球面相切〔见复解20-1-1〕。以maxl表示l的最大值物理竞赛高中试题，由角动量守恒有=〔2〕由式〔1〕、〔2〕可得maxl=〔3〕代入数据，可得maxl=〔4〕若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式〔1〕中e改为e-。
同理可求得maxl=〔5〕评分标准：此题15分。式〔1〕、〔2〕各4分，式〔4〕2分，式〔5〕5分。全省小学数学大赛决赛试卷及答案全省小学数学大赛决赛试卷及答案二、参考解答在室温为1(27273)K=300KT=+时，气柱中的空气的浮力和容积分别为10pph=+，〔1〕1CVlS=〔2〕当气柱中空气的湿度下降时，气柱两边的水银将被平缓压入A管和B管。设气温下降到2T时，气柱两侧水银正好全部压到B管中，使管中水银高度减小?=〔3〕由此导致气柱中空气容积的减小量为CVbS'?=〔4〕与此同时，气柱两侧的水银也有一部份步入A管，步入A管的水银使A管中的水银高度也应减小h?，使两支管的浮力平衡，由此导致气柱空气容积减小量为AVhS''?=?〔5〕所以，当气温为2T时空气的容积和浮力分别为'''=+?+?〔6〕21pph=+?〔7〕由状态多项式知=〔8〕由以上各色，代入数据可得2347.7T=K〔9〕此值大于题给的最终气温=+=K，所以气温将继续下降。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当体温抵达T时，气柱容积为=〔10〕代入数据可得30.72cmV=〔11〕评分标准：此题15分。求得式〔6〕给6分，式〔7〕1分，式〔9〕2分，式〔10〕5分，式〔11〕1分。全省中学数学大赛决赛试卷及答案全省中学数学大赛