考点一虚像与实像的区别
【知识点的认识】
（1）成像原理不同
物体射出的光线经光学器件反射或折射后，重新会聚所成的像称作虚像，它是实际光线的交点．在凸透镜成像中，所成虚像都是倒立的．假若物体发出的光经光学器件反射或折射后发散，则它们反向延长后相交所成的像称作实像．
（2）承接形式不同
实像能用耳朵直接观看，但不能用光屏承接；虚像既可以用光屏承接，也可以用耳朵直接观看．人看实像时，仍有光线步入人眼，但光线并不是来自实像，而是被光学器件反射或折射的光线，只是人们有“光沿直线传播”的经验，以为它们是从实像发出的．实像可能因反射产生，也可能因折射产生，如平面镜成等大的实像，凸透镜成放大的实像．
（3）成像位置不同
虚像在反射成像中，物、像处于镜面同侧，在折射成像中，物像处于透镜异侧；实像在反射成像中，物、像处于镜面异侧，在折射成像中，物像处于透镜同侧．
【命题方向】
判定虚像还是实像，通常以实验题的方式出现．
【解题方式点拨】
理解识记虚像与虚象的特征是解题的关键．
考点二分辨凸透镜和凹透镜的方式
【知识点的认识】
（1）触摸法：用手摸，凸透镜：中间厚两侧薄，凹透镜：中间薄两侧厚。
（2）成像法；置于书上的字上，放大是凸透镜，缩小是凹透镜。
（3）太阳聚焦法：把透镜置于阳光下，再放一张白纸在透镜下，若能在纸上找到一个很亮的点（焦点）即为凸透镜，否则为凹透镜。
（4）借助下边方式理解也可以：
A.结构不同：凸透镜是由两面磨成球面的透明镜体组成；凹面镜是由一面是凹面而另一面不透明的镜体组成。凸透镜是中央较厚，边沿较薄的透镜。凹透镜镜框中央薄，周边厚，呈凹形。
B.成像性质不同：凸透镜是折射成像成的像可以是正、倒；虚、实；放、缩。起聚光作用；凹面镜是反射成像，能成倒立的缩小或放大的虚像，也可以成正立放大的实像。起近视作用透镜（包括凸透镜）是使光线透过，使用光线折后成像的仪器，光线遵循折射定理。面镜（包括凸面镜）不是使光线透过，而是反射回来成像的仪器，光线遵循反射定理。凸透镜可以成倒立放大、等大、缩小的虚像或正立放大的实像。可把平行光会聚于焦点，也可把焦点发出的光线折射成平行光。凹面镜只能成正立放大的实像，主要用发散光线。
C.对光的作用不同：凸透镜主要对光线起会聚作用；凹透镜主要对光线起发散作用。
D.成像不同：凸透镜能成正立放大实像、倒立放大虚像、倒立等大虚像、倒立缩小虚像；凹透镜只能成正立缩小实像。五、焦点不同：凸透镜有实焦点，有2个焦点；凹透镜有虚焦点。
【命题方向】
判定透镜属于哪些镜是命题主要技巧。
【解题方式点拨】
（1）辨认凸透镜与凹透镜有很多方式，哪种方式好，要视具体情况而定。诸如，假若待鉴别透镜的中央与边沿的薄厚差别不显著，就不能用“摸”的方式（毕竟精密光学仪器是不容许直接用手去摸的）；在有太阳光与没有太阳光的场合，所选的方式也不同。反正，一种好方式，应当简便、易行、有效。它是随场合变化而变化的，不宜一概而论。
（2）当你想要判断两件事物的相同和不同之处时，就须要用比较与对比的方式。比较就是找出事物的相像性，即共同特点。对比是找出事物的不同点。用这些方式来剖析事物，能帮助你发觉一些平常容易忽视的细节。
例1
【分析】凸透镜和凹透镜的分辨：
（1）边沿薄、中间厚的凸透镜，边沿厚、中间薄的凹透镜；
（2）对光起会聚作用的是凸透镜，对光起发散作用的是凹透镜；
（3）能成虚像的是凸透镜；能起放大作用的是凸透镜。
【解答】解：由图可见，阳光通过墨镜产生的光斑中间较四周暗，对光线起发散作用，因而是凹透镜。
【点评】本题考查了凸透镜、凹透镜的特征：凸透镜能使光线会聚，凹透镜能使光线发散，属于基础知识的考查。
例2
有一块透镜，不知是不是凸透镜，请你设计三种方式，并简略说明理由。
【分析】分辨凸透镜和凹透镜有四种方式：
（1）凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用。
（2）中间比边沿厚的是凸透镜；中间比边沿薄的是凹透镜。
（3）凸透镜能使物体成放大的像，凹透镜只能使物体成缩小的像。
（4）凸透镜能成虚像，凹透镜只能成实像。
【解答】解：按照凸透镜和凹透镜的成像特性设计方式如下：
方式一：放大镜法：将透镜放在书上，透过透镜看见书上的字变小的是凹透镜，字变大的是凸透镜。
方式二：成虚像方式：将透镜置于眼前正对后面的景物，假如见到倒立缩小的物像是凸透镜，正立的是凹透镜。
方式三：阳光聚焦的方式：把透镜正对着太阳光，上下联通能在地面上出现最小最亮的光斑是凸透镜；同样的操作在地面上出现暗圈的是凹透镜。
【点评】本题具有开放性，对中学生的发散思维训练较好，须要中学生综合了解凸透镜和凹透镜的特性才行。把握凸透镜和凹透镜的集中区别的方式：观察法，阳光聚焦法，成像法，放大镜法等等。
考点三主光轴、光心、焦点和焦距
【知识点的认识】
（1）透镜通常多是由两个以上的凹凸方形透明体组成，每位透明体均有两个曲率直径和两个球心，联接两个球面的中心就是主光轴．浅显的说法是：通过透镜后侧球心的直线，称作主光轴，简称主轴．所谓曲率直径就是球面的直径，也就是从圆的中心至边沿的厚度．
（2）光心：每位透镜主轴上都有一个特殊点：但凡通过该点的光，其传播方向不变，这个点叫光心．
（3）焦距：焦点到光心的距离．
（4）焦点：实验表明，凸透镜能使平行于主光轴的光凝聚在一点，这个点叫焦距．
【命题方向】
这几个透镜要素是学习凸透镜、凹透镜基础高考命题是通常不会直接出题．
【解题方式点拨】
结合图用形象记忆法记忆，明晰焦距、焦点是关键．
例3
实验室备有甲、乙、丙三个凸透镜，三个实验小组分别用这三个凸透镜探究凸透镜成像规律，实验时，当蜡烛到透镜的距离都为12cm时，甲、乙、丙三透镜分别成缩小的虚像、放大的实像、放大的虚像，则这三个透镜的焦距f甲、f乙、f丙的大小关系为（）
A．f甲＞f乙＞f丙B．f乙＞f丙＞f甲
C．f乙＞f甲＞f丙D．f丙＞f乙＞f甲
【分析】根据凸透镜成像的三种情况进行判别：
u＞2f，成倒立、缩小的虚像．
2f＞u＞f，成倒立、放大的虚像．
u＜f，成正立、放大的实像．
【解答】
【点评】本题按照各凸透镜成像性质确定物距和焦距的关系，求出各凸透镜焦距的取值范围，之后比较焦距的大小．
例4
关于透镜，下述说法正确的是（）
A．凸透镜对光线有会聚作用，通过凸透镜的光线一定会聚到一点
B．不论是凸透镜还是凹透镜，经过透镜光心的光线方向都不变
C．置于凹透镜焦点上的点光源，它发出的光线经透镜折射后光线平行于主光轴
D．凸透镜有两个虚焦点，凹透镜有两个实焦点
【分析】
（1）凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用；凸透镜有实焦点；凸凹镜有虚焦点．
（2）对于凸透镜来说：平行于主光轴的光线会聚于焦点；过光心的光线传播方向不变；
对于凹透镜来说：平行于主光轴的光线会发散，其发散光线的反向延长线过焦点；过光心的光线传播方向不变；
【解答】解：
A、凸透镜对光线有会聚作用，只有平行于主光轴的光线能够会聚于焦点，故A错误；
B、不论是凸透镜还是凹透镜，经过透镜光心的光线方向都不变，故B正确；
C、根据光路的可逆性，置于凸透镜焦点上的点光源，它发出的光线经透镜折射后光线平行于主光轴，故C错误；
D、凸透镜有两个实焦点，凹透镜有两个虚焦点，故D错误．
故选B．
【点评】
晓得凸透镜和凹透镜对光线的作用是解决该题的关键．
考点四凸透镜的会聚作用
【知识点的认识】
（1）凸透镜是依据光的折射原理制成的．
（2）凸透镜是中央较厚，边沿较薄的透镜．
（3）凸透镜分为双凸、平凸和凸凹（或正弯月形）等方式，凸透镜有会聚作用故又称聚光透镜，较厚的凸透镜则有望远、会聚等作用，这与透镜的长度有关．
【命题方向】
借助凸透镜的会聚作用画图，制造的工具用的哪些原理，比如：拍照机，老花镜、放大镜等，有时直接考查凸透镜的作用，这种都是命题的要点．
【解题方式点拨】
结合图形理解凸透镜的作用，识记它的作用是解题的关键．
例5
常言道，水火不相容，但用透明冰块磨制成的一个光学元件却可以取火，这个元件相当于下边的（）
A．平面镜B．凸面镜C．凸透镜D．凹透镜
【分析】辨别凸透镜和凹透镜可以从形状上判定；也可以从对于光线是会聚还是发散来判定．
【解答】解：透明冰块磨制成一个光学元件，光线可以透过；可以取火是由于这个光学透镜可以会聚光线，凸透镜又叫会聚透镜．故选C．
【点评】此题考查了对凸透镜的认识及其作用，凸透镜对光线有会聚作用，凸透镜的材料可以是玻璃、水、冰或其他透明物质，材料不同，对光线的会聚作用是相同的．
例6
一塑胶薄膜组成的房顶下堆满着一堆麦草，夏季雪后，阳光穿过薄膜上的积水，照射到草料上，则下述说法正确的是（）
A．薄膜上的积水产生一个大的凸透镜，假如其焦点正好在草料处，麦秸有可能燃烧
B．透镜都是固体物质组成的，液体不能起凸透镜作用
C．起凸透镜作用的应是塑胶薄膜
D．水和塑胶薄膜共同起凹透镜作用
【分析】凸透镜对光线有会聚作用，射到地面上的太阳光看作是平行光，当平行光通过凸透镜折射会聚在焦点上，假若达到一定湿度，正好是麦草的燃点，这么麦草才会燃烧．
【解答】解：薄膜上的积水中间厚，边沿薄，正好产生了一个大的凸透镜，而此时太阳光通过这个凸透镜发生折射，麦草又在凸透镜的焦点处，就很容易造成麦草的燃烧．故选A．
【点评】本题主要考查的是凸透镜对太阳光的会聚作用在日常生活中的应用．
考点五凹透镜的发散作用
【知识点的认识】
（1）凹透镜也称为负球透镜，镜框的中央薄，周边厚，呈凹形，所以又叫凹透镜．
（2）凹透镜对光有发散作用．平行光线通过凹球面透镜发生偏折后，光线发散，成为发散光线，不可能产生实性焦点，顺着飘动光线的反向延长线，在投射光线的同两侧交于F点，产生的是一虚焦点（凹透镜有两个虚焦点）．
【命题方向】
借助凹透镜的发散作用画图，一些刚学原件借助哪些原理导致的比如斜视镜等，有时直接考查凹透镜的作用，与凸透镜的作用结合，这种都是命题的要点．
【解题方式点拨】
结合图形理解凸透镜的作用，识记它的作用是解题的关键．
例7
防盗门上装一只“猫眼”，站在屋里的人通过“猫眼”能认清屋外的人有一个正立、缩小的像，这只“猫眼”相当于（）
A．凹透镜B．凹面镜C．凸面镜D．凸透镜
【分析】“猫眼”是由两块透镜组合而成．当我们从门外向外看时，目镜是凹透镜，物镜是凸透镜．目镜的焦距极短，它将室内的人或物成一缩得很小的正立实像，此像刚好落在物镜的第一焦点之内，物镜起着放大镜的作用，最后得到一个较为放大的正立实像，所以防盗门镜的作用相当于一个凹透镜．凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用．
【解答】解：“猫眼”是由两块透镜组合而成．当我们从门外向外看时，目镜是凹透镜，物镜是凸透镜．最后见到来客的正立、缩小的像，所以防盗门的“猫眼”相当于凹透镜．故选A．
【点评】本题考查中学生对凸透镜和凹透镜本质区别的认识，理解凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用是解答此题的关键．
例8
凹透镜对光具有发散（填“发散”或“会聚”）作用；放大镜就是凸透镜（填“凸透镜”或“凹透镜”）．
【分析】（1）凹透镜对光线有发散作用，光线经过凹透镜可以是会聚的，只是比原先错后会聚；（2）物在坐落凸透镜1倍焦距之内时，成正立、放大、的实像．
【解答】解：（1）光线无论是会聚、平行、发散的，凹透镜对那些光线有发散作用；（2）放大镜是借助了当物距在1倍焦距内时，凸透镜成放大正立的实像的原理．故答案为：发散、凸透镜．
【点评】掌握凹透镜对光线有发散作用，凸透镜成像的原理及应用是解决这种问题的关键．
考点六透镜的光路图
【知识点的认识】
（1）凸透镜主要对光线起会聚作用，凹透镜主要对光线起发散作用．
（2）不管是凸透镜还是凹透镜，过光心的光线方向不变．
（3）凸透镜要点：平行于主光轴的光线在旁边会聚于焦点后继续传播，经过焦点的光线在透镜旁边平行于主光轴传播．
（4）凹透镜要点：平行于主光轴的光线过透镜后的光线的反向延长线经过虚焦点．
【命题方向】
凸透镜、凹透镜的画图是高考命题的热点．
【解题方式点拨】
应把握透镜的特殊光线的特征：对于凸透镜，平行于主光轴的光线折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变；对于凹透镜，平行于主光轴的光线，通过透镜后折射光线的反向延长线过另左侧焦点．就可以解题．
例9
【分析】凸透镜三条特殊光线的画图：①通过焦点的光线经凸透镜折射后将平行于主光轴．②平行于主光轴的光线经凸透镜折射后将过焦点．③过光心的光线经凸透镜折射后传播方向不改变．
凹透镜三条特殊光线的画图：①延长线过另左侧焦点的光线经凹透镜折射后将平行于主光轴．②平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点．③过光心的光线经凹透镜折射后传播方向不改变．
【解答】解：A、入射光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后，折射光线应当过焦点．故A错误．
B、通过焦点的光线经凸透镜折射后将平行于主光轴．故B错误．
C、平行于主光轴的入射光线经过凹透镜折射后，折射光线的反向延长线过焦点．故C正确．
D、凹透镜对光线有发散作用，而图中的凹透镜对光线起了会聚作用，故D错误．
故选C．
【点评】关于凸透镜和凹透镜三条特殊光线：射向另一个焦点的；平行于主光轴的；过光心的．关于这三条特殊光线的考查通常是告诉入射光线让画出出射光线或则告诉出射光线让画出入射光线．解这些题目时，掌握入射光线和出射光线的特性的对应是解决此题的关键．
例10
【分析】由图示可知，入射光线平行于主光轴，按照入射光线的特性，可以画出对应的折射光线．
【解答】平行于主光轴的入射光线经过凸透镜折射后，折射光线过焦点，由此可以确定该条入射光线对应的折射光线．故作图如下．
【点评】关于凸透镜，有三条特殊的入射光线：①平行于主光轴；②过焦点；③过光心的．每条特殊的入射光线对应的折射光线都有自己的特性．按照二者的对应关系可以告诉入射光线作出折射光线；也可以借助折射光线作出对应的入射光线．
考点七凸透镜成像规律及其探究实验
【知识点的认识】
1.凸透镜成像规律：是指物体放到焦点之外，在凸透镜另左侧成倒立的虚像，虚像有缩小、等大、放大三种．物距越小，像距越大，虚像越大．物体放到焦点之内，在凸透镜同右边成正立放大的实像．物距越小，像距越小，实像越小．
2.设计并进行实验：
（1）提出问题：凸透镜成像，像的大小、正倒、虚实跟物距有哪些关系？
（2）实验器材：带刻度的光具座、蜡烛、光屏、透镜（焦距在10～20cm之间）、刻度尺．见实验装置图．
（3）实验步骤：
A.先测出透镜的焦距：让凸透镜在阳光出来回联通，找着最小、最亮的点，用刻度尺量出亮点与凸透镜的距离凸透镜和凹透镜的区别，这就是这个凸透镜的焦距．
B.实验阐述像的大小、正倒、虚实跟物距的关系：
[方案]
①把透镜置于光具座标尺中央，从透镜的位置开始在左右两侧的标尺上用粉笔标出等于焦距和2倍焦距的位置．
②点燃蜡烛，调整它们的高度，使烛焰、凸透镜、光屏的中心大致在同一高度．
③把蜡烛置于离凸透镜尽量远的位置上，调整光屏到透镜的距离，使烛焰在屏上成一个清晰的像，观察像的大小、正倒，测出蜡烛与凸透镜、凸透镜与光屏间的距离．把数据记录在表格中．
④继续把蜡烛向凸透镜紧靠，观察像的变化是放大还是缩小，是正立还是倒立，蜡烛与凸透镜、凸透镜与光屏的距离测出，将数据记录在表格中．
⑤当蜡烛到一定位置上时，光屏没有像，用嘴巴直接对着凸透镜观察蜡烛的像，把蜡烛与凸透镜、像与凸透镜的距离，像是放大还是缩小的，像的正倒，填入表格中．
【命题方向】
凸透镜成像规律及其探究实验是高考命题的热点．
【解题技巧点拨】
识记凸透镜成像的规律，实验探究中注意化学学方式．
例11
小明朋友用一个焦距未知的凸透镜、蜡烛、光屏、光具座探究凸透镜成像规律：
（1）如图a可知，该凸透镜的焦距是11cm．
（2）如图b所示，若在光屏上（光屏未画出）能得到清晰放大的烛焰的像，则蜡烛可能放在凸透镜右边a、b、c、d四点中的c点上（P是该凸透镜的2倍焦距处），此成像特性可应用在投影仪上．
（3）通过实验，小明发觉蜡烛离凸透镜越远，光屏上得到的清晰像越小（填“大”或“小”）．把蜡烛向凸透镜紧靠时，要在光屏上成清晰的像，光屏应远离凸透镜（填“靠近”或“远离”），此时在光屏上成的清晰像是倒立的（填“倒立”或“正立”）．
（4）实验中，光屏上已成清晰的、缩小的像，此时小明固定蜡烛和凸透镜，在光屏和凸透镜间放上自己所佩戴的斜视墨镜，若仍要在光屏上成清晰的像，则需将光屏向远离（填“靠近”或“远离”）凸透镜的方向联通，此时所成的清晰像为虚像（填“实”或“虚”）．
【分析】（1）凸透镜的焦距是使平行于主光轴的光会聚的点到光心的距离；（2）按照凸透镜成像的三种情况进行判别：u＞2f，成倒立、缩小的虚像．2f＞u＞f，成倒立、放大的虚像．u＜f，成正立、放大的实像．
（3）厘清像距和物距之间的关系．晓得物距越大，像距越小，成的像也越小；物距越小，像距越大，成的像也越大
【解答】解：（1）按照焦距的定义，此岁月屏到凸透镜的距离为焦距，f＝41cm﹣30cm＝11cm；
（2）要想在光屏上得到清晰放大的烛焰的像，蜡烛应置于凸透镜的二倍焦距与焦距之间，即图中的c点，图中的此成像特性可应用在投影仪上．
（3）按照物距与像距的变化规律可知，蜡烛离凸透镜越远，光屏上得到的清晰像越小．把蜡烛向凸透镜紧靠时，要在光屏上成清晰的像，光屏应远离，此时在光屏上成的清晰像是倒立的．
（4）弱视墨镜是凹透镜，凹透镜对光线有发散作用，实验中，光屏上已成清晰的、缩小的像，此时固定蜡烛和凸透镜，在光屏和凸透镜间放上凹透镜，若仍要在光屏上成清晰的像凸透镜和凹透镜的区别，因为光线发散，会延后会聚，则需将光屏向远离凸透镜的方向联通，此时所成的清晰像仍为虚像．
故答案为：（1）11；（2）c；投影仪；（3）小；远离；倒立；（4）远离；实．
【点评】此题考查了凸透镜成像规律的探究及应用，关键是熟记成像规律的内容，并做到灵活运用．
考点八凸透镜成像的应用
【知识点的认识】
【命题方向】
借助凸透镜成像的规律解题．
【解题方式点拨】
识记凸透镜成像的规律，灵活解题．
例12
如图，这是一款人脸辨识门镜一体机，通过摄像镜头捕捉人脸信息，并将所拍图像与系统数据库中预先录入的人脸相片模板进行对比．下边对该装置说法错误的是（）
A．该摄像镜头相当于凸透镜
B．这些镜头可拿来矫治斜视眼
C．这些镜头对光线具有会聚作用
D．若镜头的焦距为10cm，为了能成清晰的像，人脸到镜头的距离应小于20cm
【分析】摄像机是借助凸透镜成倒立、缩小的虚像的原理制成的，当U＞2f时，凸透镜才成倒立、缩小的虚像．
【解答】（1）摄像机的镜头是一个凸透镜，凸透镜对光线有会聚作用，借助了当U＞2f时，凸透镜成倒立、缩小的虚像原理制成．凸透镜的焦距是10cm，当人脸和摄像头的距离小于二倍焦距，也就是小于20cm时，能成倒立、缩小的虚像，故选项ACD正确．
（2）矫治斜视眼的镜框是凹透镜，不是凸透镜，故B错误．故选B．
【点评】本题考查了凸透镜的成像特性和应用，要把握凸透镜成像的规律，厘清每种情况下的应用．在学习过程中要擅于总结、寻找规律，学着将所学知识与生活实际联系上去．
考点九生活中的透镜
【知识点的认识】
一、照相机的原理
1.
物体坐落凸透镜2倍焦距以外（μ＞2f），成倒立的、缩小的、实像。
像坐落凸透镜的一倍焦距与二倍焦距之间。（f＜μ＜2f）。
物体与虚像分别坐落凸透镜的左侧。
借助拍照机能成倒立的、缩小的、实像。
2.
被照的物体坐落镜头（凸透镜）的二倍焦点以外（μ＞2f）。
物体与虚像大小比较虚像大于物体（像小）。
物距与像距大小比较像距大于物距（像距小）。
3．拍照机主要构造
镜头通常由几个透镜组成，相当于一个凸透镜。胶片相当于光屏，拿来接收像。外壳相当于暗室，胶片上涂着一层对光敏感的物质。变焦环可以调节镜头到胶片的距离，在胶片上产生清晰地像。焦段可以控制从镜头射入的光线的多少，焦段上的数字越小，焦段就越大，步入镜头的光就越多。快门可以控制爆光时间，数字表示秒的倒数。
4．拍照机拍照的特征
（1）物体到拍照机镜头的距离要小于胶片到拍照机的距离。
（2）物体离拍照机越远，物体在胶片上所成的像越小，像的位置（胶片到镜头的距离）越近，黑箱越短。
（3）拍照机胶片上所成的像一定比物体小。
（4）物体和像在镜头（凸透镜）的左侧。
二、投影仪的原理
1.
物体坐落凸透镜的二倍焦距与一倍焦距之间（2f＞μ＞f）成倒立的、放大的、实像。
物体与虚像大小比较虚像小于物体（像大）。
物距与像距大小比较像距小于物距（像距大）。
2．投影仪主要构造
投影仪上有一个相当于凸透镜的镜头，来自投影片上纹样（物体）的光，通过凸透镜后会聚在天花板上，产生纹样的像。
平面镜的作用是改变光的传播方向，使射向天花板的光能在屏幕上成像。
3．投影仪成像特性
（1）投影片到镜头的距离大于镜头到像的距离；
（2）投影片离镜头越近，屏幕上所成的像越大，像到镜头的距离越大；
（3）投影仪在屏幕上所成的像一定比纹样（物体）大。
三、放大镜原理
1.
物体坐落焦点以内，即μ＜f时，成正立的、放大的、虚像。
2．放大镜成像特性
（1）物体被放大了
（2）物体和像在凸透镜的同侧
（3）放大镜离物体越近，所成的像越小；放大镜离物体越远（不超过焦距），所成的像越大。
应老师2019夏季八年级数学第十二讲
非常细致的讲解了这部份内容
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