极化恒等式是高中数学中的一个重要恒等式，它对于理解三角函数和向量之间关系非常重要。以下是极化恒等式的推导：
1. 由向量数量积的定义和性质，可以推导出：
(1) |a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2ab cos
(2) |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2ab cos
(3) 1/2(|a+b|^2 - |a-b|^2) = ab sin
2. 将(1)和(2)相加并化简，得到：
|a|^2 + |b|^2 = (|a+b|^2 + |a-b|^2)/2 + (|a+b||a-b|sin
3. 令θ=
cosθ = (|a+b|^2 + |a-b|^2)/4 + (|a||b|sinθ)^2
4. 将上式两边同时平方，并化简，得到：
(sinθ)^2 = (|a||b|cosθ - |a|^2)/(|a||b| + |a|^2)
5. 将上式两边同时乘以cosθ，并化简，得到：
(sinθ)^4 = (cosθ)^3 - 3cosθ
6. 将上式两边同时乘以cosθ^3，并化简，得到：
(sinθ)^4cosθ^3 = cosθ^4 - 3cosθ^5
7. 将上式两边同时除以cosθ^4，并化简，得到：
sinθ = 1 - (cosθ)^2/2 + (cosθ)^4/8 - (cosθ)^6/160 + ...
这就是极化恒等式的推导过程。它展示了向量和三角函数之间的密切关系，以及如何通过数学公式来表达这些关系。
题目：
已知平面内两点$A(1,0)，B(0,2)$，点$P$在直线$x = 2$上运动，求点$P$的轨迹方程。
解答：
根据极化恒等式，可得$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
已知$A(1,0)，B(0,2)$，所以$\overset{\longrightarrow}{OA} = (1,0)，\overset{\longrightarrow}{OB} = (0,2)$。
又因为点$P$在直线$x = 2$上运动，所以设$P(2,y)$。
将$P$的坐标代入极化恒等式中，可得$y = 2$。
所以点$P$的轨迹方程为$y = 2$。
这个例题展示了如何使用极化恒等式来解决一个具体的问题。通过将向量和坐标进行适当的代入，我们可以得到问题的解。
