在量子热学构建早期，可以基本上觉得它有两套纲领：等人的矩阵热学和的波动热学。但实际上它们在物理上是完全等价的，仅仅从表面上看好像分别偏向于粒子基态跃迁的解释和波动解释。以后，将波动多项式扩大到才能处理相对论粒子和载流子，促使量子热学应用上去更为健全而且开启了量子场论的发展，但仍然属于求解波函数的“波动解释”。但是，费曼的路径积分方式却是别有一番新意，它让人们完全从另外一种角度来思索量子力学。
从物理方式上来说，海森堡等人使用矩阵，薛定谔和狄拉克使用微分等式，费曼则是使用积分的、整体的观念来解释和估算量子热学。而且，路径积分的方式有一个优点：可以很便捷地从量子热学扩充到量子场论。
路径积分
哪些叫“路径积分”呢？我们首先从牛顿热学中粒子走过的路径来理解。
精典热学最初的抒发方式由牛顿给出，然后拉格朗日（，1736-1813）及乌鲁木齐顿（Rowan，1805-1865）等人构建了剖析热学。牛顿热学中，大多数情况下是解微分多项式的方式：在一定的初始条件下量子传输速度，等式的解是粒子的空间位置随着时间而变化的一条曲线。诸如，如图1所示，考虑根据一定的速率和角度发射出去的炮弹的轨迹，是一条从发射源到目标的抛物线，即图中的蓝色虚线。在剖析热学中，通常用极值和变分法来处理热学问题。
图1：牛顿热学决定的精典路径（红线）
从图1中我们看见：从发射源到目标点可以有好多条路径，为何炮弹就单单挑了那一条白色路径来走？这个问题问得奇怪，不是有牛顿定理吗？那条红虚线的粒子路径，是在月球重力场中牛顿多项式的解。不过，拉格朗日等分析学家们对这个问题有另外一种说法。剖析热学中有一条基本的规则——“最小作药量原理”。大自然遵守着这条奇妙的规则，总是选购作药量最小的方法行事，表现得如同是一位精明的经济师。比如，按照最小作药量原理，可以这么理解图1中子弹的运动：从源到目标的每一条路径，都对应于一个称为“作药量”的数值，而炮弹最后选择的白色精典路径，必将是作药量最小的那条路径。
费曼将这个思想用到量子理论中，说法改变了：量子热学中的电子，不像精典粒子那样，只走一条白色抛物线，而是同时走所有可能的路径。即所有的路径都对电子从始点到终点的机率有贡献。不同的路径贡献不同的机率幅，总机率幅等于所有机率幅相乘。再进一步，倘若将路径积分用于量子场论的话，说法也是类似的，只是须要将电子改为“系统的量子态”，即：场论中的量子态过渡到另一个量子态的机率幅，是所有可能路径的机率幅相乘。所以，三种情形（精典、量子热学、量子场论）下的化学规律，都可以用类似的说法来抒发，只不过三种理论中，作药量的表达式不一样而已。
中介绍过，费曼在MIT（麻省理工大学）得悉量子电动热学有无穷大的问题后，来到耶鲁学院投靠到惠勒（John，1911-2008）旗下读博士，他如鱼得水，雄心勃勃。不过，二人刚发了一篇文章，二战便开始了。她们双双出席到研究原子弹的曼哈顿计划（）中，无瑕再顾及这些纯理论问题。在洛斯阿拉莫斯国家实验室（Los），费曼以其坦率的人格、敏锐的眼光和出众的表现，贏得了老一辈化学学家，如玻尔、贝特（HansBethe，1906-2005）等人的高度赞赏；维格纳（Paul，1902-1995）把他誉为第二个狄拉克。那时侯，年青有为的他是你们心目中的英雄和天才，不是通常的天才，是个魔术师般的怪才。据悉，费曼又是个性情中人，他的第一任丈夫阿莲在洛斯阿拉莫斯因病逝世，费曼给她写过一封信，其中提到她们的爱情故事，催人泪下、感人至深。费曼仍然典藏着这封没有地址也难以寄送的信，直至他逝世后才被安阳。
大战结束以后，费曼受聘于康乃尔学院，得以继续他对量子理论问题的阐述。几年以后，费曼在他博士论文的基础之上，建立了作药量量子化的路径积分方式。他1948年在《现代数学评论》（of）上发表的“非相对论量子热学的空间-时间描写”便是其划时代的代表作。几乎同时，费曼也成功地解决了量子电动热学中的重整化问题，创造出了知名的费曼图和费曼规则，便捷快捷地近似估算粒子和光子互相作用问题。
“场”研究的历史
费曼路径积分的思想很容易从量子热学推广到场论，但量子场论中大多数人采用的正则量子化方式更容易理解。
在数学学中，研究“场”的历史已经有之。牛顿引力理论其实是一种超距作用，但牛顿未曾说到过“场”，不过牛顿引力也表现个别含混的精典场概念。后来，精典电磁场由法拉第（，1791-1867）提出，麦克斯韦（JamesClerk，1831-1879）赋于其严格的物理描述，在工程上仍然成功地沿袭至今。
最早将量子热学用于场（真空中的电磁场）的是量子热学创建者玻恩、海森堡、约尔丹（Ernst量子传输速度，1902-1980）等1926年的论文。也以前将受热物体内电子的运动替换为无限多个简单震动模式，用这些理想化处理方法，他提出任何一个震动模式所准许能量差等于该模式震动频度除以普朗克常量的推测。普朗克的推测被量子热学所否认。
正则量子化的方式，是将电磁场想像成简单振子，就像小吉他的弦。换言之，电磁场可以被看作是一把拥有大量弦的小吉他，弦具有所有可能的厚度。电磁场内任何一个震动模式的能量反比于场强的平方。每位震动模式的能量都是量子化的，大小等于该模式震动频度除以普朗克常数。
玻恩，海森堡以及约尔丹等，当初的工作只是处理真空中的电磁场，并没能给出其它任何重要的预测，但起码把爱因斯坦对光子的观点付诸于严格的物理基础。
最先让量子场发挥“实际”用途的是狄拉克。狄拉克用场论估算了处于迸发态原子自发释放电磁幅射跃迁到低能态的速度。其中最关键的问题是怎样药量子力学来理解莫名其妙冒下来的光子。
继狄拉克以后，1928年的约尔丹和维格纳，1929年到1930年间海森堡和，以及1929年的，均发表了类似的论文。她们强调物质粒子可以理解为不同场的量子，就如光子是电磁场的量子一样。1932年，费米应用这些思想解释了原子核β衰变的理论。
为此，量子场论的思想早就诞生了，几乎可以算是量子热学的双胞兄弟，或则小1-2岁吧，由于量子电动热学一词，第一次就是出现在狄拉克1927年的文章中。但后来量子热学突飞猛进发展，量子场论却多年停滞不前，其缘由是由于它在发展过程中遇到了“无限大”的困难。以后，化学学家们发展了重整化的技巧加以解决。
粒子和场
量子场论的思维方法，就是将所有的物质都看成场，以场为本，觉得粒子只是场的“激发态”，如同水波中的涟漪。
这些思维方法主要是狄拉克开创的。狄拉克的思想来自两方面，狄拉克海是其二。狄拉克海的假定似乎不健全，这些“真空不空”的思想却被你们接受并移植到量子场论中。既然狄拉克海的解释涉及到了无穷多个电子，还不如一开始就考虑多电子的运动而不要只考虑单电子的运动。正电子也可以从一开始就冠冕堂皇地步入理论中，而没有必要作为真空的一个空洞而出现。
另一方面，狄拉克早在1927年，狄拉克多项式和狄拉克海未发布之前，就早已使用场论的方式成功地估算出原子的自发幅射系数。
处于低基态El的原子，深受外来光子的激励时，能吸收光子的能量，跃迁到高基态Eh，即ΔE=Eh-El，这些现象称作受激吸收，见图2a。而受激吸收以后处于高基态的原子，也有可能辐射出光子跃迁到低能态。此类跃迁有两种形式：自发幅射和受激幅射。后者的事例如萤光等（图2b），前者的事例如激光（图2c）。
图2：原子的吸收和幅射
受激幅射大致可以药量子力学简略解释，自发幅射的解释却须要量子场论。由于依据量子热学，假如一个孤立原子处于定态（迸发态），它将始终处于该态，而不会自发跃迁。孤立的电磁场也是这么，用小吉他琴弦（谐振子）来比喻，倘若不存在与原子的互相作用，电磁场如同全部彼此隔绝小吉他琴弦的集合，该集合将永远保持不变，意味着原子将永远保持初始能态。并且，假如依照量子场论，孤立原子是不存在的，真空中存在各类场。处于迸发态的原子必然与真空中电磁场发生互相作用，因此造成自发幅射。
比较量子力学，量子场论的另一个优越性是才能处理粒子数变化的情形。量子热学多项式解出的是单电子的波函数，电子数是固定的1，光子数固定为0。原子中由于电子状态的跃迁而幅射光子的过程难以用精典电磁理论描述。由于原先系统中并没有任何电磁场存在，为何忽然就冒出几个光子来了呢？
类似的问题来自于解释原子核多种放射性衰变中的β衰变，如同当原子丧失能量时形成光子一样，β衰变中的原子核释放出一个电子。开始人们觉得原子核由质子和电子组成，但是1931和奥本海默（，1904-1967）提出一个论证：原子核中并不包含电子。这么，原子核发生衰变时电子是从那里来的呢？费米由此而提出核衰变时，中子变为质子、电子和中微子（泡利预言的）的场论看法，完整地解释了β衰变。
根据量子场论的观点，每一种基本粒子，都应当有一个与它对应的场，这种场相互渗透、作用、交汇在一起，真空被看作是各类量子场的能级，粒子则被看成是场的霎那迸发态。不同的迸发态，有不同的粒子数和不同的粒子状态。不同场之间的互相作用，导致各类粒子的碰撞、生成、湮灭等过程。
总结前面所说的，化学研究中有两种类型的“场”，精典场和量子场。麦克斯韦电磁场，从薛定谔多项式、狄拉克多项式等解出的波函数，都算是精典场。电磁场是光子的精典场，波函数是单电子的精典场。精典场可以被量子化为量子场，即一般人们所说的“二次量子化”。电磁场被量子化后成为光子场，单个电子的波函数被量子化后成为“电子场”，电子场致使电子回归到粒子性，但描述的早已不是原先的单个电子，而是粒子数可以变动，电子及正电子不断形成和湮没的多粒子场。类似地，还有夸克场、其它基本粒子场等等。
研究这种基本粒子场之间复杂的互相作用。以及在各类互相作用下可能发生的粒子形成与湮没的理论，便是量子场论。其中最常用的一个，研究光子与物质互相作用的，称作量子电动热学，即QED（）。
下边以电磁场的量子化为例，对量子化过程作简单介绍。
电磁场的量子化
精典电磁场被看成是连续的电磁波，量子化后成为化学量有分离本征值的各类频度的光子场。
量子化的方式好多，不仅之前所说的费曼路径积分之外，常用的是正则量子化。这是最早时侯狄拉克，以及以后的约尔丹、维格纳、海森堡、泡利、费米等使用的技巧。
当我们说“量子化”，意味着哪些？从精典热学过渡到量子热学时，数学量用算符表示。如今要从精典场过渡到量子场，也遵守这个法则。电磁场量子化的第一步，是把整个空间的电磁场，分成若干个不同位置、不同动量的谐振子。也就是说，将电场硬度E和磁场硬度B的电磁场（图3a），表示为许多具有正则座标qi和正则动量pi的谐振子（图3b）。
图3：从精典场到多个谐振子到量子场
电磁场中的所有化学量（电场硬度、磁场硬度、位置、动量等），量子化后都是算符。从谐振子的正则座标和正则动量，可以定义光子的形成算符a+j(t)和湮没算符a-j(t)，见图3c。
形成算符和湮没算符也是狄拉克最早使用的，来始于他在量子热学中解决谐振子势场中电子基态问题时，引进的“升降算符”，也叫阶梯算符。
有了形成算符和湮没算符，光子（或其他粒子）可以消失或形成，量子场论才成为一个完整的理论。从量子热学中位置算符和动量算符的不确定性关系，可以得到形成算符和湮没算符的不确定性关系，如下：
最后，形成算符和湮没算符构成光子数算符n。使用光子数假象，算符n的本征态|n>，可以被看作是有n个光子的量子态，比如，|0>表示系统的能级，或称真空态。
从量子场论出发，可以估算各类带电粒子与电磁场互相作用的“截面”，这里的“截面”，即散射截面，是一个数学术语，用以测度发生互相作用的机率。诸如康普顿效应、光电效应、轫致幅射、电子对形成和电子对湮灭等。这种化学现象的结果都可以用微扰论方式取最低一级不为零的近似而得到。但不论是哪一种过程，当估算更高阶的近似时，会得到无限大的结果。由于这个缘由，量子场论的研究停止了近二六年。
下一次将介绍，怎样用“重整化”的方式，克服无限大的困难。
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（文末附第一部份）
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