首先说无规律运动。这个命名实际上是从观测现象来命名的，看起来是在零乱无章的运动，实际上是有规律的。其实，这个世界上任何的运动都是有规律的。无规律运动是原子或则分子间不断的互相作用改变它们的运动轨迹的表现。在固体中，原子都是深受各类原子间互相斥力的约束，将其约束在平衡位置，它们不能老跑分子热运动能量的计算，只能在平衡位置附近震动。
再说为何能量可以转化为运动。我们在小学时学的是动能是能量的一种，能量互相转化时，转化为动能都会导致物体的运动。热本身就是一种原子、分子震动的宏观表现，所以你的第二个问题问得并不妥当。真正引起震动的关键缘由是加热的方法。我举几个反例：
1.热传导形式。当一个热的物体接触一个冷的物体时，冷的物感受被加热。冷的物体原子震动会减缓，为何呢？就是由于热的物体上原子震动很厉害，它们接触之后，剧烈震动的原子不断的撞击冷的物体上的原子分子热运动能量的计算，产生弹性碰撞，冷的物体上的原子被砸了之后，其实运动也会更激化烈了，这么扩飘动来，就产生了热传导。它的本质还是机械的碰撞，精典化学可以描述。
2.幅射。比如微波。我们学过幅射可以迸发原子，而且迸发发光并不是消耗幅射能量的惟一途径。有些基态的跃迁并不会导致幅射，而可能会导致震动。也就是电磁波的幅射能弄成了机械震动的能量。这是量子效应。
不说这种现象了，下边再说更深层次的问题。为何能量可以转化为动能，它凭哪些能互相转化，缘由很简单:动能的本质就是电磁能！
换个说法，动能只是电磁能的宏观表现，这个是比较难理解的，我也难几个字说清楚，你可以把一个物体想像成一堆乱七八糟的原子通过复杂的各类互相作用、量子效应等等维系成一个宏观的物体。上面最为复杂的互相作用之一就是电磁作用。静电好理解，磁呢？各类带电粒子的载流子形成磁，核磁，电子载流子磁矩等等。当它们在空间中形成集体运动时，就对应于它们在内外磁场中的一种能量状态。不晓得这样说是不是有一点感性认识？
楼主注意不要把能量和气温画上对应关系，并不是所有的能量都能表现在室温的差别上，例如各类势能。气温仅仅是对分子平均动能的一个标称。在精典理论框架下绝对零度可以实现，如今好多分子模拟估算中对分子几何构象的优化就是在假定的绝对零度条件下。也就是说，从理论上讲，假定绝对零度可以实现，物质也还是能保留它的结构形态，只是完全没有热运动。并且实际上这个状态是一个极限，目前觉得是达不到的。由于海森堡原理说了粒子的位置难以精确测定，假如达到绝对零度，那不就可测了？悖论。
另外，依据广义相对论，运动物体的幅射还包括一种引力波幅射。虽然我感觉，现今的量子理论也好，广义相对论也好，都还是有各类各样的缺陷的。所以去思索这类基本的问题是徒劳的，按照现有的理论框架，你没法得到完全确切的推论。如今这个时代，数学规律的发觉很难直接通过思辨来发觉，把这种问题留给做基础数学学研究的人去。我们自己只要在自己解决问题所须要的那种层面起来思索问题就OK了。