第1章第1节动量和动量定律
碰撞现象在生活中司空见惯。一般，猪肉从高处落到坚硬的碟子里会破，但若落在较厚的软垫上就会破吗（图1-1）？本节我们学习了动量、冲量和动量定律后，便能解释这类现象。
图1-1猪肉会破吗1．动量
在游乐场开碰碰车（图1-2），当运动的车去碰静止的车，若运动的车的总质量越大、车速越大，这么静止的那辆车会被砸得越远。可见，碰撞形成的疗效与碰撞物体的质量和速率都有关。
图1-2游乐场的碰碰车迷你实验室
观察小球的碰撞
如图1-3所示，将质量相等的两个钢球A、B并排悬挂上去。把球A分别拉到不同高度释放，去碰撞静止的球B，观察球B每次上升的最大高度。
图1-3球A撞向球B
将球A换成质量不同的钢球，分别拉到同一高度释放，再观察球B每次上升的最大高度。
由实验可知，从不同高度释放同一钢球，高度越高，被碰球上升越高；从同样高度释放质量不同的钢球，质量越大，被碰球上升越高。由此可见，对同一被碰球，其上升的高度与碰撞球的质量和碰前速率都有关。
人们在研究碰撞这类问题时，为了更好地说明问题，引入了一个与质量和速率都有关的数学量—动量。数学学中，把物体质量与速率的乘积称为物体的动量（），一般用字母p表示。
[p=mv]
动量的单位由质量的单位和速率的单位共同决定。在国际单位制中，动量的单位是千克米每秒，符号为kg·m/s。动量是矢量，它的方向与物体速率的方向相同。
物体在运动过程中，当速率的大小或方向变化时，动量会发生变化。物体动量的变化量Δp等于物体的末动量p2与初动量p1的矢量差，即Δp=p2−p1。动量的变化量也是矢量。
例题
如图1-4所示，一质量为58g的足球以30m/s的速度水平往右飞行，被球拍击打后，又以30m/s的速度水平返回。被球拍击打前后，球的动量分别是多少？球的动量的变化量是多少？
图1-4击打篮球
剖析
依据动量定义可求被击打前后足球的动量。因为球在被击打前后的动量在同仍然线上，可借助同仍然线上的矢量运算法则估算动量的变化量。
解
选取水平往右为正方向。由题意可知，m=58g=0.058kg，v1=30m/s，v2=−30m/s。
击打前，球的动量
p1=mv1=0.058×30kg·m/s=1.74kg·m/s
球被击打前的动量大小为1.74kg·m/s，方向水平往右。
击打后，球的动量
p2=mv2=0.058×（−30）kg·m/s=−1.74kg·m/s
球被击打后的动量大小为1.74kg·m/s，方向水平向左。球被击打前后动量的变化量
Δp=p2−p1=（−1.74−1.74）kg·m/s=−3.48kg·m/s
球被击打前后动量的变化量大小为3.48kg·m/s动量冲量动量定理公式，方向水平向左。
讨论
球被击打前后，尽管动量的大小没有变化，但动量的方向发生了改变，因而动量发生了变化。求得动量的变化量为负值，表示其方向与选取的正方向相反。
策略提炼
动量与动量的变化量都是矢量。假如动量的方向都在同仍然线上，在选取一个正方向后，已知矢量的方向用正、负号表示，动量及动量的变化量的运算就变为代数运算。
迁移
对同一条直线上的矢量运算，正方向的选取是任意的。例题中，若选取水平向左为正方向，结果又怎样？请估算并与例题的结果进行比较。
2．动量定律
由以上例题可知，足球运动员投球时，球拍的斥力使球的动量发生了变化。在生产生活中，物体动量发生变化的现象随处可见。物体动量的变化与什么诱因有关呢？
对于一个质量不变的物体，速率的变化造成动量的变化，而物体速率的变化不仅与物体受力情况有关外，还与力作用于物体的时间有关。诸如，列车启动时，若牵引力小，则须要较长的时间才会达到正常的行驶速率；若牵引力大，则只需较短的时间便可达到正常的行驶速率。下边我们来推导，在恒力作用的情况下，物体动量的变化量与斥力和时间的定量关系。
设一质量为m的物体，初速率为v1，初动量p1=mv1。在合外力F的作用下，经过一段时间t，速率变为v2，末动量p2=mv2（图1-5）。物体的加速度
图1-5物体动量发生变化示意图
[a=frac{{{v_2}-{v_1}}}{t}]
代入牛顿第二定理得
[F=ma=mfrac{{{v_2}-{v_1}}}{t}]
变型得
[Ft=m{v_2}-m{v_1}]
物体动量的变化量既与遭到的合外力有关，又与该力的作用时间有关。合外力越大、作用时间越长，物体动量的变化量就越大。可见，Ft这个量反映了力对时间的积累效应。化学学中，把力和力的作用时间的乘积称为这个力的冲量（），一般用符号I表示。
[I=Ft]
冲量也是矢量，它的方向与力的方向相同。在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为N·s。
由此，Ft=mv2−mv1还可表示为
[I=m{v_2}-m{v_1}]
由上式可知，物体在一过程中所受合外力的冲量等于该物体在此过程中动量的变化量。这称为动量定律（of）。
由动量定律可得
[F=frac{{m({v_2}-{v_1})}}{t}]
该式表明，作用在物体上的合外力等于物体动量的变化率，这实际上是牛顿第二定理的另一种叙述。可进一步证明，在变力作用下，动量定律仍旧创立。
例题
一个质量为60kg的女孩从高处跳下，以5m/s的速率竖直落地。取重力加速度g=10m/s2。
（1）若女孩落地时弓步（图1-6），用了1s停出来，则落地时地面对他的平均斥力是多大？
图1-6落地时弓步
（2）若女孩落地时没有两臂，只用了0.1s就停出来，则落地时地面对他的平均斥力又是多大？
剖析
女孩刚触地时动量方向竖直向上，一段时间内减少到0，这一过程中地面对脚的斥力是变力。依据动量定律可求出落地时地面对他的平均斥力。
解
女孩落地时的受力剖析如图1-7所示，选取竖直向下为正方向。设地面对他的平均斥力为({barF})，由题意可知，m=60kg，v1=−5m/s，v2=0。
图1-7落地时的受力剖析
（1）小孩从触地到速率减为0，经历的时间t1=1s。由动量定律得
（({barF})1−mg）t1=mv2−mv1
({barF})1=−(frac{{m{v_1}}}{{{t_1}}})+mg
=（(frac{{60times5}}{1})+60×10）N=9.0×102N
方向竖直向下。
（2）小孩从触地到速率减为0，经历的时间t2=0.1s。同理可得，地面对他的平均斥力
({barF})2=−(frac{{m{v_1}}}{{{t_2}}})+mg=（(frac{{60times5}}{0.1})+60×10）N=3.6×103N
方向竖直向下。
讨论
两种落地形式中，动量的变化量相同，但所经历时间不同。作用时间越短，地面对人的平均斥力越大。为此，人从高处跳下时，为防止重伤，要尽量延长触地后的缓冲时间，以减少地面对人的斥力。由此，你能解释猪肉从高处落到软垫上不容易破的缘由吗？
策略提炼
在碰撞这类问题中，互相斥力会发生变化，可依据动量定律估算变力的平均值。
运用动量定律剖析问题时，要注意明晰研究对象和过程，正确剖析受力和运动的初、末状态；注意动量定律是矢量式，需依照矢量运算法则构建多项式。
迁移
在碰撞这类问题中，因为互相作用时间极短，互相斥力会很大，一般可忽视其他较小的力而使问题简化。比如，在上面击打篮球的例题中，若球与球拍的接触时间为0.01s，球遭到球拍击打的平均斥力是多大？
科学书屋
关于“运动的量度”的争辩
关于“运动的量度”，历史上有两种不同的观点。1644年，笛卡儿提出“运动不灭原理”：物质的运动有一个固定的量，这个量从来不降低也不降低，并把物体的质量和速率的乘积（mv）作为物体的“运动量”的量度。而莱布尼茨（G.，1646—1716）觉得，活力（mv2）才是物体的“运动量”的量度。这场知名的争辩延续了半个世纪之久。1743年，瑞典热学家达朗贝尔（J.leR.D’，1717—1783）对这场争辩给出了“判决”：两种量度是同样有效的。达朗贝尔的“判决”模糊提到了：动量的变化和力的作用时间有关，活力的变化和力的作用距离有关。直至一百多年后，人们构建了能量转化与守恒定理，才进一步认识到这两种量度的区别。
对某一问题的认识有时会存在不同的观点，科学争辩常常可帮助人们从多维的思想方式中得到启迪，因而更深刻、更全面地理解和认识问题。
3．碰撞与缓冲的实例剖析
由动量定律可见，物体间的互相斥力与物体动量的变化和作用时间有关。既可通过减小物体动量变化量、缩短互相作用时间来减小互相斥力，也可通过降低物体动量变化量、延长互相作用时间来减少互相斥力。诸如，铣床注塑型腔时，因为冲头动量变化大且冲头与型腔的碰撞时间短，在冲头与型腔间会形成很大的斥力。注塑型腔就是借助了这些斥力。修路、建房时常用打夯机。打夯时（图1-8），打夯机将夯锤提及一定高度释放，通过夯锤撞击地面筑牢地基。夯锤质量越大、提升高度越高、与地面的撞击时间越短，筑牢地面就越有效。为保证驾乘人员的安全，有的车辆在相关部位安装了安全气帘，借助气帘的形变来延长力的作用时间，减少因剧烈碰撞而导致的对车内人员的伤害（图1-9）。
图1-8打夯
图1-9安全气帘的缓冲可减少伤害DIS实验室
验证动量定律
我们可用DIS实验装置验证在变力作用下的动量定律。如图1-10所示，将力传感、光电传感接入电路，将遮光片的长度和货车质量输入计算机。推进货车使其与力传感发生碰撞，通过碰撞中互相斥力随时间变化的图象（图1-11）可得出货车遭到的力的冲量，再由光电传感检测的时间等可得到货车动量的变化量。比较货车遭到的力的冲量和动量变化量，验证动量定律。
图1-10实验装置
图1-11斥力—时间图象节练习
1．运输易碎元件时，常常在包装箱中填充泡沫塑胶；为解救高空坠地者，常会在倒塌者下方放置气垫。请解释这样做的理由。
参考解答：这样做是为了降低作用时间，进而降低对元件或倒塌者的斥力，防止或减少导致的伤害。
2．若质量为m的物体在某时刻的动量大小为p，动能为Ek，试证明：p2=2mEk。
参考解答：p2=（mv）2=2m×(frac{1}{2})mv2=2mEk，即p2=2mEk。
3．在某货车的撞击实验中，有一质量为60kg的人体模型坐在驾驶位置，货车以108km/h的速率撞到结实的墙，假定该模型与车皆在0.2s内停下。
（1）此模型在水平方向所受力的平均值为多少？
（2）有人觉得，在类似的车祸中，假如人用右手抵住方向盘，便可止住忽然往前倾倒的身体。请对上述想法做出评价，并说出你的根据。
参考解答：（1）此模型在水平方向所受力的平均值为9000N，方向与货车出速率的方向相反。上述想法是不正确的。
（2）9000N约等于质量为900kg的物体的重力，这近似相当于15个人同时站在人的手掌上。其实，人的手掌难以承受这么巨大的斥力。故上述想法是不正确的。
4．一小球从某高处以10m/s的速率竖直向下抛出，落到地面时速率大小为20m/s。求小球在空中的运动时间。（取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力）
参考解答：t=3s
5．高空作业必须系安全带。假如质量为m的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚形成斥力的过程中，人下落的距离为h（可视为自由落体运动）。随后经历时间t，安全带达到最大伸长量，若在此过程中安全带的斥力一直竖直向下，则该段时间内安全带对人的平均斥力大小为多少？请提出关于安全带设计的建议。
参考解答：F=mg+(frac{{msqrt{2gh}}}{t})
安全带设计的建议：
（1）适当减小安全带所能承受的最大拉力；
（2）选用合适材料，延长人与安全带的作用时间。
（其他合理建议均可）
6．一质量为1kg的物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，其所受的合外力随时间变化的图象如图所示。求物体分别在2s末、6s末和9s末的速率。
参考解答：v1=4m/s，v2=0动量冲量动量定理公式，v3=−2m/s
*7．现代切割技术常用的一种“水刀”如图所示。它将水从高压水枪中高速射出，产生很细的水束，拿来切割厚板等物体。已知水束的横截面积为S，速率为v，并垂直射向厚板，若水射上厚板后的速率视为0，水的密度为ρ，求水对厚板的平均冲击力。
参考解答：F=ρSv2
本套选择性选修教材的习题，对应不同的学业质量水平，其中题号标有“*”的习题有一定难度，可依照具体情况选做。
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