今天我们来讨论圆周运动的物理过程，尝试建立匀速圆周运动的函数，了解科学研究的基本过程。
对于一个物体，比如一个小球（可以抽象为一个质点），如果不受到任何外力的作用，它就会保持静止或者做匀速直线运动。如果有外力作用在球上，球的速度就会发生改变。如果外力的方向和球的运动方向平行，那么球就会加速或者减速，这就是我们前面讨论的直线运动。如果球上的作用力始终垂直于运动方向，那么球的运动轨迹就会是一个圆，这就是我们今天要讨论的圆周运动。
图1 地球和金星绕太阳的圆周运动
在圆周运动中，球所受的外力方向始终垂直于球的运动方向，并指向圆心。我们把这种力叫做向心力。圆周运动在我们的宇宙和自然界中非常常见，随处可见。例如太阳系中的行星围绕太阳公转，人造卫星围绕行星公转，这些都是圆周运动。引力为这种天体运动提供了向心力。我们生活中的轮子，游乐园里的摩天轮，乡间的水车，磨盘留学之路，都是太多圆的例子了。
那么大家肯定很好奇，这些圆周运动中，什么参数会影响力呢？
对于一个做圆周运动的物体，如果速度不同，它受到的力也会不同。如果我们改变物体的半径，它受到的力也会改变。现在让我们一起来研究这种力。我们当然可以花几个小时来推导圆周运动的方程。但相比之下，更好的方法是选择做实验或在生活中观察。
图2：游乐园里的飞行旋转木马
我们去游乐园里观察一下飞行旋转木马的运动情况（见图2）。我们会发现，随着旋转木马慢慢启动，速度越来越快，旋转木马的倾斜角度越来越大。不管椅子上是否有人坐，只要速度相同，椅子的倾斜角度都是相同的。这说明重力和向心力的比值是相同的。也就是说，向心力和球的质量成正比。同时，速度越大匀变速圆周运动，偏移量越大，所以更快的速度需要更大的力。
我们再来看其他的情况，比如摩托车场地追逐赛的情况，通过观察我们可以发现，在选手速度相同的情况下，弯道内侧选手的倾斜角度更大，这意味着弯道内侧选手（转弯半径较小）需要的向心力更大。也就是说半径越小，向心力越大。这里我们就不推导了，直接给出向心力的公式：F=mv^2/r。（见图3）
图3 摩托车赛车转弯场景
匀速圆周运动
当质点做圆周运动时，如果它在任何相等的时间内，它所走的弧的长度都相等，即在任何时刻质点的速度都相等，这种运动叫做匀速圆周运动，或简称为匀速圆周运动。
现在我们取一个半径为R的圆盘（图4），让它绕着圆盘的中心点O旋转。在圆盘上半径为r的粒子在相同的时间间隔Δt内，它们的弧长Δs都相等；在圆盘上不同半径的粒子在相同的时间间隔Δt内，它们的弧长Δs都不同。因此，半径相同的粒子速度相等，半径不同的粒子速度不同，但它们在相同的时间间隔Δt内旋转的圆心角Δθ相等，于是有Δθ/Δt=常数。当Δt无穷小的时候，Δθ/Δt=常数。这个值在物理学上叫做角速度，用希腊字母ω表示。
图4 做匀速圆周运动的圆盘
ω的大小表示每秒转过的角度，单位为弧度每秒，用rad/s表示。但日常生活中常提到的转速n通常是指每分钟转数（r/min），它与角速度ω的换算关系为：ω（rad/s）= 2πn/60（r/min）。由圆弧Δs与圆心角Δθ的关系Δs=rΔθ，可得出速度与角速度的关系：v=ωr。转盘上各点的角速度相同，质点离圆心越远，速度越大。
质点做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但速度的方向却在不断变化。因此，匀速圆周运动是一种变速运动，同时也具有加速度。这种因方向改变而产生的加速度称为向心加速度或法向加速度，其大小为：a=v^2/r=ωr^2。
【思维扩展】如果一个粒子的角速度ω也随着时间而变化，那么我们应该引入什么样的物理量来描述粒子的非均匀圆周运动？
图5 过山车以圆周运动通过定点
【重点】苗小米通过这篇文章想要传达给大家的是一种科学的研究方法。
现在我们来总结一下前面讨论圆周运动时所采用的科学研究方法：
首先，我们一起观察客观现象。
在圆周运动中，我们发现了游乐园里的空中旋转木马，摩托车比赛。然后我们发现了产生这种现象的相关因素：速度、圆周半径、质量。通过观察，我们发现了这些量之间的关系。在科学研究中，最重要的是有客观存在、可观察的现象。客观存在才是科学研究的对象。不能客观存在的东西就不能成为科学研究的课题。比如，上帝是否存在，永远都不是科学研究的对象。
图 6 做圆周运动的水车
其次，我们根据观察到的现象进行逻辑推理。
观察到现象后，我们用逻辑推理来总结现象。本文我们根据现象推导出向心力的公式F=mv^2/r。归纳推理是科学中的重要手段。
我们再次用数学方法来描述整个运动过程。
科学研究的一个重要过程就是建立定量分析。在圆周运动过程的讨论中，我们通过观察现象，进行逻辑分析，最后用数学工具将最简单的匀速圆周运动进行数学描述。有了数学描述，我们就可以知道做圆周运动的质点在任意时刻的运动状态，并进行定量分析。
这也可以说是对圆周运动具体状态的可测量预测。这就是我们所说的科学验证方法。如果在未来的实验中，我们的测量值与我们的理论计算值出现明显偏差，我们就需要重新审视我们的圆周运动理论是否有问题。天王星的发现，正是因为理论计算值与观测值不符，才做出的理论预测。这是科学验证方法最真实的例子。
图7 列车曲线行进受力分析示意图
总结
本文从圆周运动的讨论开始匀变速圆周运动，详细介绍了科学研究的几个重要步骤：观察测量、逻辑分析、数学描述、理论预测，以及实验验证的全过程。虽然《苗小米的物理日记》只是一系列写给中学生的物理入门文章，但老郭会在后续的文字中继续强调科学研究的过程，提高全民科学素养，从最基础的做起。知识点固然重要，但科学素养更重要。