概述
“开普勒第三定律”是德国天文学家开普勒提出的行星运动三定律之一。文字表述为：对每颗绕太阳以椭圆轨道运行的行星，其轨道半长轴的立方与公转周期的平方成正比，这个比值称为开普勒常数。开普勒借助同事第谷·布拉赫观测到的数据，总结出了行星运动的三定律。其中第三定律是开普勒在1618年专著《世界的和谐》中首次提出的，又称“和谐定律”，是三定律中最晚提出的。开普勒的三定律分别称为轨道定律、等面积定律和周期定律。第三定律就是周期定律。这条定律为后来英国物理学家牛顿提出万有引力定律奠定了非常重要的实验观测基础。
发现背景
1600年开普勒第三定律推导，开普勒成为天文学家第谷·布拉赫的助手，在布拉格天文台工作。次年，第谷去世，开普勒继任他，成为神圣罗马帝国的皇家数学家。同时，开普勒还接管了第谷留下的天文观测资料。数学天才开普勒把第谷精确的天文观测数据总结成三条简单的定律，即开普勒三定律。前两条定律是开普勒在1609年发表的《新天文学》中提出的。近十年后，他在1618年发表的《世界的和谐》中提出了第三条定律。[1]
开普勒第一定律指出，行星绕太阳运行的轨道是一个接近于圆的封闭椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
第二定律指出，行星和太阳的连线在单位时间内扫过一个恒定的面积。
第三定律指出，对于每个绕太阳运行的椭圆轨道的行星，轨道半长轴的立方与轨道周期的平方成正比。
行星运动三大定律虽然都是开普勒总结提出的，但也离不开第谷精确的观测数据，准确的实验观测是获得正确定律的基础。
数学表达式
行星绕太阳运转的椭圆轨道半长轴为a，公转周期为T。则对于每颗行星，
这里的K是一个常数，称为开普勒常数，与太阳的质量有关。
万有引力定律的基础
开普勒第三定律是描述太阳与行星之间相对运动规律的实验定律，从这个定律我们可以找到其背后太阳与行星之间相互作用的定律，也就是万有引力定律。
当行星绕太阳公转时，向心力
其中m为行星质量，r为行星半径，T为运动周期。圆形轨道是一种特殊的椭圆轨道，也满足开普勒第三定律，因此上式为
这个向心力是由重力提供的，所以重力也符合上面的公式，即与质量成正比，与距离的平方成反比。
由牛顿第三定律可知，引力也应与另一物体的质量m'成比例，比例系数设为G。这就是牛顿万有引力定律的表达。
现在我们可以看出，开普勒第三定律是万有引力定律获得过程中的重要一步。牛顿在这一过程中的工作是得到向心力公式，并将地球表面附近的引力与太阳和恒星之间的引力联系起来。
法律证明
同样，开普勒第三定律作为行星的运动定律，是行星与太阳引力作用的结果，也应该由万有引力定律推导出来。但与3不同，必须得到开普勒第三定律的一般情况，即椭圆轨道，而不是仅仅讨论圆形轨道的情况。
根据开普勒第二定律，太阳与行星连线单位时间内扫过的面积是恒定的。因此行星运动的周期为
其中S为轨道椭圆面积，a、b分别为轨道半长轴和半短轴开普勒第三定律推导，r、v、L分别为行星以太阳为参考点的位置矢量、速度、角动量。由于L与T或a有关，因此通过近日点和远日点的角动量和能量守恒，可以得到包含L的能量守恒方程，并解出L与a或T的关系。
从万有引力公式网校头条，我们可以得到引力势
近日点为r=ac，c为椭圆焦距。势能为
动能
v 的方向垂直于 r，因此可以写成
机械能是动能与势能的总和
类似地，写出远日点的机械能。根据机械能守恒定律
解决方案必须
利用椭圆的性质
将 L 的表达式代入周期公式，我们得到
等号右边只与太阳的质量有关，也就是开普勒常数，证明了开普勒第三定律。
适用范围
开普勒定律的原始表述都是描述太阳系中行星的运动，因为当时开普勒所掌握的实验数据主要针对这些行星。但在知道万有引力定律之后，人们才意识到这三条定律是普适的，与太阳本身的性质无关，也适用于其他恒星系统。只不过第三定律中的比例系数——开普勒常数中的质量需要修正为对应的恒星质量。
开普勒定律是二体问题的结果，即忽略其他天体对行星运动的影响。事实上，行星附近的其他天体会对行星的运动产生影响，这与开普勒定律不一致。
另外，开普勒定律并不是在所有天体系统中都适用，只有当两个天体的质量相差很大，运动速度较小时，质量较大的天体才可以近似认为是静止的，开普勒定律才适用。如果两个天体的质量相近，即双星系统，各行星运动的轨迹并不是椭圆，但用分析力学中的约化质量法可以得到符合开普勒定律的抽象质点运动。如果质量较小的天体运动速度过快，可能会出现抛物线甚至双曲线轨道，这仍然符合牛顿万有引力定律，但不符合开普勒定律。 如果速度进一步增大，或者天体的质量和密度很大，就必须考虑相对论效应，牛顿万有引力定律就失效了，开普勒定律自然也不适用。
参考文献，的定律，/wiki/%，最后修订于2018年8月15日 赵开华等，《新概念物理教程.力学》，高等教育出版社，2004年7月 梁昆淼，《力学.第2卷，理论力学》，高等教育出版社，2009年7月