第 24 章 自由落体问题
站在高楼上，让两个不同重量的物体同时从同一高度落下，你认为哪个物体落得更快？
在教室里拿出两张大小相同的纸，把其中一张揉成一团，让纸团和另一张纸从相同的高度落下，看看哪一张落得更快？
结合实验和生活经验，讨论：哪些因素影响物体下落的速度？
落体运动是常见的现象，但人类花了近两千年的时间才认识它，最早研究这个问题的人大概是古希腊学者亚里士多德。
人们通常观察到，石头下落的速度比树叶下落的速度快……亚里士多德认为，物体下落的速度与物体的重量有关，重的物体下落速度更快。他的结论符合人们的常识，以至于在此后两千年一直被视为经典。
自由落体
伽利略认为亚里士多德“重的物体下落更快”的论断会得出相互矛盾的结论。例如，假设一块大石头的下落速度为8，一块小石头的下落速度为4，当两块石头绑在一起时，大石头会被小石头拖着而减速，整个物体的下落速度应该小于8；但是，两块石头绑在一起之后，整个物体比大石头重，所以整个物体的下落速度应该大于8。这个相互矛盾的结论说明亚里士多德“重的物体下落更快”的观点是错误的。经过仔细分析，伽利略认为下落物体的运动只有一种可能：重的物体和轻的物体应该以相同的速度下落。
伽利略通过逻辑推理，首先指出亚里士多德对落体认识的问题，然后得出重的物体和轻的物体应该以相同的速度下落，最后用实验证实了他的结论。伽利略这种推理与实验相结合的方法为物理学的研究奠定了基础。研究中体现出的批判精神是创新所必需的。
那么，不同重量的物体下落时，会出现什么样的结果呢？我们来做一个更详细的实验，详细研究一下。
演示
不同重量物体下落速度的研究
如图2.4-1 A所示，一根两端封闭的玻璃管（也称牛顿管），其中一端设有开关，玻璃管可与外界相通。将不同质量的铁片和羽毛放入玻璃管中，将玻璃管垂直放置，让铁片和羽毛同时从玻璃管上方开始下落，观察物体的下落情况。
图2.4-1 羽毛和铁片在玻璃管内落下
如图2.4-1b所示，抽出玻璃管内的空气，再次观察下落的物体。
从实验中我们可以看出，玻璃管内的空气抽空后，没有空气阻力，轻的物体和重的物体下落的速度是一样的。在现实生活中，人们看到物体下落的速度不同，就是因为有空气阻力的影响。如果没有空气阻力，所有物体下落的速度都是一样快的。
物体在仅受重力作用下由静止下落的运动称为自由落体。这种运动只能在真空中发生。在有空气的空间中，如果空气阻力的影响比较小，可以忽略不计，物体的下落可以近似地看作是自由落体。
从上面的实验我们可以看出，自由落体是一种加速运动，那么在下落过程中，它的加速度会发生变化吗？
实验
研究自由落体规律
如图2.4-2所示，将点状计时器固定好，在纸带一端绑上重物，另一端穿过计时器。用手捏住纸带上端，启动点状计时器，松手时，重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点。
图2.4-2 自由落体运动实验装置
与前面对手推车运动的研究类似，测量落下的重物的加速度。
改变砝码的质量，重复上述实验。
自由落体加速度
对不同物体的实验结果表明，在同一地点，所有物体自由落体时都具有相同的加速度，这个加速度称为自由落体加速度（free-fall），又称重力加速度（），通常用g表示。
重力加速度的方向是垂直向下的，其大小可以通过多种方法通过实验确定。
精确实验发现，地球表面不同地方g的大小一般是不同的，赤道海平面g为9.780米/秒2，北京地区g为9.801米/秒2，一般计算时可取9.8米/秒2或10米/秒2。
下表列出了某些位置的重力加速度。
标准值：g = 9.806 65 m/s2
地方
纬度
克/(米·秒-2)
赤道海平面
0°
9.780
马尼拉
14°35'
9.784
广州
23°06'
9.788
武汉
30°33'
9.794
上海
31°12'
9.794
东京
35°43'
9.798
北京
39°56'
9.801
纽约
40°40'
9.803
莫斯科
55°45'
9.816
北极
90°
9.832
你在表格中看到了什么规律吗？你能试着解释一下吗？试着解释就是在猜测。
行动起来
用手机测量自由落体加速度
很多智能手机都有加速度计，如果你安装了可以显示加速度的应用程序，你会看到红、绿、蓝三张加速度图，分别记录了手机沿图2.4-3所示坐标轴方向的加速度变化。
图 2.4-3
将手机放在水平桌面上，沿 x 轴或 y 轴水平移动，屏幕上加速度图像的红线或绿线会出现峰值。将手机平放在手掌上，垂直移动，可以看到蓝线的变化。蓝线记录的是手机的垂直加速度。要测量自由落体加速度，只需看蓝线即可。
将手机握在手中，开启加速度计，手掌快速向下移动，让手机从手掌中自由落体，然后接住手机，在手机屏幕上观察加速度计的图像（图2.4-4）。从图中可以看出，蓝线的数值在短时间内为-10 m/s2，即自由落体加速度，方向向下。
图2.4-4 手机截图
我们还可以看到自由落体之后有一个向上的峰值，这是手机在被手抓的时候，减速运动的加速度，方向是向上的。
自由落体运动是匀速加速直线运动，初速度为0，因此匀速加速直线运动基本公式及其推论都适用于自由落体运动。
将初速度v0=0、加速度a=g代入匀加速直线运动的速度-时间关系和位移-时间关系，可分别得到自由落体的速度、位移和时间关系。
[v = gt,x = frac{1}{2}g{t^2}]
世界是物质的，物质的运动有多种形式，如机械运动、热运动、电磁运动等，这些不同的运动形式有不同的运动规律，我们将一一学习。
科学漫步
伽利略对自由落体的研究
在用逻辑推理证明重的物体和轻的物体下落的速度相同之后，伽利略并没有就此止步，而是通过实验进一步研究自由落体规律。
伽利略面临的第一个困难是概念上的。由于当时人们甚至还没有一个明确的速度定义，因此伽利略必须首先建立描述运动所需的概念。我们之前学到的平均速度、瞬时速度、加速度等概念，都是伽利略首先建立的。
伽利略认为自然规律是简单明了的。基于这种信念，他猜测落体一定是最简单的变速运动，最简单的变速运动应该是匀速变化的。然而，速度的变化怎么能算是“匀速”呢？他考虑了两种可能：一是速度的变化相对于时间是匀速的，即v与t成正比，比如每1s速度的变化量为2m/s；二是速度的变化相对于位移是匀速的，即v与x成正比，比如每下落1m速度的变化量为2m/s。后来他发现，如果v与x成正比，就会得出一个非常荒谬的结果。
伽利略试图用实验来检验v与t成正比的猜想是否正确。
在伽利略那个年代，科技还不够发达，无法直接测量瞬时速度，所以无法直接得到速度变化的规律。但伽利略通过数学计算得出，如果一个物体的初速度为0，速度随时间均匀变化，即v∝t，它经过的位移与所用时间的平方成正比，即
[x {t^2}]
这样，只要我们测量物体经历不同位移所需的时间，就可以检查物体的速度是否随时间均匀变化。
但是，落体下落的速度非常快，而当时，唯一的计时方法就是通过滴水来计时。这样的计时工具仍然无法测量自由落体所用的时间。伽利略用一种巧妙的方法来“稀释”重力。他让铜球在很小的阻力下滚下斜坡（图2.4-5）。铜球在斜坡上的加速度比它垂直下落时的加速度小得多，所用的时间也长得多，因此很容易测量。
图2.4-5 伽利略在做铜球沿斜面运动的实验（油画）
伽利略进行了数百次实验，结果表明，球沿斜面滚下的运动确实是匀加速直线运动，用不同质量的球从不同的高度开始滚动，只要斜面的倾斜角度不变，球的加速度就相同。
伽利略对上述结果作出了合理的推断：当斜面倾角较大时，小球的运动不是类似于下落体的运动吗？如果斜面倾角增大到90°，小球的运动不就是自由落体运动吗（图2.4-6）？伽利略认为，此时小球依然会保持匀加速运动的性质，一切物体下落时的加速度都是相同的！
图 2.4-6
伽利略的逻辑和实验自然让人们对他刮目相看，但人们也疑惑地问道：为什么我们在日常生活中经常看到较重的物体下落得更快呢？伽利略将原因归结为空气阻力对不同物体的不同影响。他写道：“如果空气的阻力完全消除，那么所有物体都会以相同的速度下落。”这时，下落运动才会真正成为自由落体运动。为此自由落体实验自由落体实验，伽利略特别指出，在科学研究中，知道忽略什么有时和知道注意什么一样重要。
伽利略对运动的研究，不仅建立了许多描述运动的基本概念，而且创造了一套对现代科学发展极为有益的科学方法。这些方法的核心，就是把实验与逻辑推理（包括数学计算）和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维和科学研究方法。
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伽利略生平中的科学与社会
伽利略是伟大的物理学家、天文学家，曾任意大利比萨大学和帕多瓦大学教授，他综合了当时数学、物理学和天文学，在研究工作中开创了科学实验的先河，为近代科学奠定了基础。
伽利略（，1564-1642）
在他的历史时代，文艺复兴并不局限于文学艺术的复兴，还有史无前例的科学复兴。文艺复兴精神打破了束缚人们思想的枷锁，激发了人们对自然的兴趣和探索。活跃在人们头脑中的各种思想终于得到了现实的结果。爱因斯坦对伽利略的成就及其实现方式的赞扬最具代表性：“伽利略的发现和他运用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，标志着物理学的真正开端。”
伽利略的科学生涯并非一帆风顺，他制作了天文望远镜（图2.4-7），并用它观察天空，观测结果支持了天文学的新理论——日心说。然而日心说与《圣经》相矛盾，伽利略不得不用《圣经》的语言来解释日心说，但即便如此，也逃脱不了教会的指责和迫害。《关于两个世界体系的对话》把日心说变成了一种破坏教会教义和传统“科学”框架的理论，因此立刻成为禁书。1633年，伽利略被罗马宗教裁判所判处监禁（后改为软禁）。 尽管如此，他仍然坚持自己的研究工作，并把他在自由落体等方面的研究成果转移到荷兰，并于1638年出版了《关于两门新科学的对话》。这本书的出版奠定了伽利略近代力学奠基人的地位。
图2.4-7 伽利略建造的天文望远镜
359年后，1992年，梵蒂冈承认镇压伽利略是错误，并为他“平反”。但教会干涉科学、迫害伽利略的严重后果是不可挽回的。历来人才济济的意大利在伽利略之后科学活动迅速衰落，很长一段时间没有产生过重要的科学家。
练习与应用
本部分共6道练习，第1题要求学生分析解释一张纸（纸球）和一块橡皮下落速度的差异，并运用所学的运动与力的知识解释简单的自然现象、解决实际问题。第2题以跳水过程为背景，利用x = (frac{1}{2})gt2计算手机连拍的时间间隔。第3题利用x = (frac{1}{2})gt2进行分析得出结论。结合实际情况（考虑到声波传播需要时间），让学生体会真实情况与理想模型的差异，从多个角度审视、检验结论，并进行评价论证。第4题考察学生将实际问题中的对象、过程转化为所学的物理模型的能力。 由于曝光时间极短，所以在解答这道题时，可以将这极短时间内自由落体的运动看作匀速直线运动，引导学生研究图像，寻找规律。问题5向学生介绍了一种测量匀速加速直线运动加速度的方法——频闪法，让学生在新的情境中运用公式或图像进行分析推理，得出正确的结论。问题6通过合作研究，制作“人体反应时间测量量表”，面对真实情况，从不同角度制定科研方案，进行实验，收集证据，得出结论。
1. 如果同时扔下一张纸和一块橡皮，哪一个会下落得更快？如果你把纸揉成一个紧密的小球，然后和橡皮同时扔下，下落的速度会有什么变化？你如何解释这一现象？
参考答案：如果同时放开纸张和橡皮擦，由于纸张受到的空气阻力较大，橡皮擦会掉落得更快。
纸被揉成一个非常紧密的球，与椽子同时松开。两个物体下落的方式几乎相同，这意味着球下落得更快。由于空气阻力的影响不同，纸上的空气阻力大于球上的空气阻力。
2、训练中，一名跳水运动员从5m跳水台自由落体，双脚朝下，某学生利用手机连拍功能拍摄多张照片，测得连续两张照片中运动员双脚距离水面的高度分别为3.4m和1.8m，据此估算手机连拍的时间间隔为多少？
参考答案：0.24 s
3、为测量井口到水面的距离，让一块小石头从井口自由落下，2.5秒后，能听到石头击中水面的声音，估算井口到水面的距离。考虑到声音在空气中传播需要一定的时间，估算结果是否过高或过低？
答案：31.25米；略大
提示：石块自由落体，设井口到水面的距离为x，石块落到水面的时间为t，则有x = (frac{1}{2})gt2，代入数据可得x = 31.25米。由于声音的传播需要一定的时间，石块自由落到水面的时间必定小于2.5秒，因此估算的距离x过大。
4. 有一台照相机，它的光圈（入光孔径）会根据被摄物体的亮度自动调节，而快门（曝光时间）是固定的。为了估算这台照相机的曝光时间，实验人员让一块石头从一堵砖墙前的较高处自由落下，并拍摄了如图2.4-8所示的空中石头照片。由于石头的运动，在照片上留下了模糊的轨迹。已知石头从距地面2.5m的高度落下，每块砖的平均厚度为6cm。请估算这张照片的曝光时间。
图 2.4-8
参考答案：0.02 s
5、频闪摄影是研究变速运动的常用实验方法。在暗室中，照相机的快门始终打开，频闪仪每隔一定时间发出短而强的闪光，照亮运动物体网校头条，于是胶片就记录下了物体在若干个闪光瞬间的位置。图2.4-9是球自由落体的频闪照片示意图，频闪仪每隔0.04s闪光一次。如果想通过这张照片测量自由落体的加速度，可以用什么方法呢？试一试。
照片中的数字是球下落的距离，以厘米为单位。
图 2.4-9
解答： 5.方法一：先利用公式v = (frac{x}{t})算出每一时刻的速度v，再利用vt图像求出自由落体加速度g的大小。
方法二：先利用公式v = (frac{x}{t})算出每一时刻的速度v，再利用g = (frac{v- v_0}{t})求解。
方法三：先利用公式v = (frac{x}{t})算出每一时刻的速度v，再利用v2 – v02 = 2gx来解。
方法4：利用Δx=gt2求解。
方法五：在拍摄第一张照片时，由于无法准确判断该时刻是否为坠落的开始时刻，考虑到照片的叠加效应，可以利用公式x = (frac{1}{2})gt2近似计算出自由落体加速度g的大小。
6.制作“人类反应时间测量尺”。
如图2.4-10所示，学生A用两根手指握住尺子的顶端，学生B在0点处准备用一只手握住尺子，但不要碰到尺子。当学生A松开手指让尺子落下时，学生B立刻握住尺子。学生B握住尺子的点就是尺子下落的高度。根据自由落体运动公式计算下落所需的时间，也就是学生B的反应时间。
利用这个方法，你能不能直接把下图中尺子的长度刻度标注为时间刻度，把它变成一把“人体反应时间测量尺”呢？请尝试在下图2.4-10 B中的长度刻度旁边标注时间刻度。
图 2.4-10
参考答案：尺子长30cm，首先算一下尺子下落30cm所需的时间，由h = (frac{1}{2})gt2可知t = 0.247s，时间尺度大致可以分为0.05s、0.10s、0.15s、0.20s、0.25s这几个时间段，解为h1 = (frac{1}{2})gt12 = 1.23cm，此处标记为0.05s；h2 = (frac{1}{2})gt22 = 4.90cm，此处标记为0.10s；h3 = (frac{1}{2})gt32 = 11.03cm，此处标记为0.15s； h4 = (frac{1}{2})gt42 = 19.60 cm，此处标记为0.20 s；h5 = 30 cm，可以近似标记为0.25 s。
提示：本题有两种制作方法：反应尺的距离均匀，逐个标记不同的时间；反应尺的时间刻度均匀，标记不同的距离。学生可以通过分析讨论，提出制作方案。
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