从微积分的角度来看，功率是功对时间的导数，即 P=frac{dW}{dt}=frac{Fds}{dt}=Ffrac{ds}{dt}= Fv，其中v=frac{ds}{dt}是瞬时速度，所以计算的是瞬时功率。
然后对时间取导数，frac{dP}{dt}=frac{Fdv}{dt}=Fa=ma^2，即功率对时间的导数（可以理解为速率成功率的变化和功率变化的速度）等于质量乘以瞬时加速度的平方，均为瞬时。
因为合力恒定，所以加速度恒定，即ma^2是恒定值w有用功的计算公式w有用功的计算公式，则P=ma^2t。 然后将a=frac{v}{t}代入匀速直线运动中，我们有P=mfrac{v^2}{t}。
正如v=frac{s}{t}只能用于匀速直线运动（否则计算平均速度）一样，P=frac{W}{t}也只能在功率不变的情况下使用（否则您要寻找的是平均功率）。 但是从P=ma^2t可以看出，功率随时间变化，那么就不能用W=Pt求功，只能用积分，W=int dW=int Pdt。
将 P=ma^2t 代入积分表达式，得 W=int ma^2tdt=frac{1}{2}ma^2t^2=frac{1}{2}mv^2。
这有点类似于运动学公式。 虽然我们有 s=vt, v=at，但是不会有 s=at^2 而是 frac{1}{2}at^2。 原因是公式s=vt只适用于匀速直线运动。 如果有加速则无法使用。
