希望读者深入研究冯·诺依曼的“间接言语”，真正体验那个“激动人心的时代”。
Durch den die doch von den änden der Welt。
物理定律借助其所有逻辑机制间接地描述世界上的物体。
——维特根斯坦，《逻辑哲学论》逻辑与哲学（-）
撰写者 | 李庆洲
关注和探索物理表达中所呈现的形式结构及其意义，一直是牛顿创立经典力学体系以来的传统。 一般来说，表达物理所依赖的载体主要分为两类：一是由自然词组成的陈述句；二是由自然词组成的陈述句。 二是由数学符号组成的形式表达式。 以前者为主要表达方式的物理学文献主要出现于亚里士多德至牛顿时代。 从拉格朗日和拉普拉斯开始，符号表达逐渐取代自然句子，成为物理学的主要表达方式。
无论是自然词汇的陈述句还是数学符号的表达，本质上都可以归类为形式逻辑命题。 这些命题依靠它们之间的逻辑关系形成一个系统，即物理学在表达时所呈现的形式结构。 我们通过这套形式结构从逻辑上或数学上描述物理学的概念，概念指向物理世界的客观现实，从而“间接地说”物理世界，就像爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在《EPR》[1]：“这些概念对应于我们通过其描绘自己的客观现实。”
从历史上看，物理学家对形式及其意义的兴趣可以从麦克斯韦的一句经典陈述中得到证明。 在著名的电磁理论文献《论法拉第力线》[2]中，麦克斯韦明确指出了形式（数学表达）的重要性。 他说：“为了获得不依赖于固有理论的物理学新概念，我们必须善于利用物理类比。所谓物理类比，是指利用科学定律之间的局部相似性，并用其中的一种来描述物理现象。”因此，一切数学科学都必须建立在物理定律与数学定律之间的关系之上，在此基础上，精密科学的目的就是将自然界的难题还原为通过数字进行定量判断。通过对最小部分的最普遍的类比，我们发现正是两种不同现象的相同数学表达形式催生了光的物理理论。”
图1 逻辑原子论代表人物：罗素（B.）和维特根斯坦（L.）
随着分析哲学中“逻辑原子论”的兴起和数学或物理学中“物理公理化”运动的推进，物理学形式结构的讨论取得了相当大的进展。 物理学公理化直到20世纪初才正式进入人们的视野，实际上一直是经典物理学潜在的历史传统。 可以追溯到牛顿在《自然哲学数学原理》（æ，1687）中对欧几里得几何学的介绍。 哥德尔曾评论[3]：“物理学家对公理化方法缺乏兴趣就像一种伪装：这种方法只不过是清晰的思维。牛顿将物理学公理化，所以把它变成了一门科学。”
图 2 爱因斯坦和 K. 哥德尔在普林斯顿散步。 哥德尔与著名的“维也纳学派”（Kreis）关系密切，该学派深受马赫、罗素和维特根斯坦思想的影响。
然而冯物理学家，物理学公理化在世纪之交被正式提出，并受到一定程度的关注，这一切都得益于数学家或数学物理学家发起的物理学公理化运动。 1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上发表了题为《数学问题》（ ）[4]的著名演讲。 在这次演讲中，希尔伯特向当时的数学界提出了23个需要深入研究的基本数学方向或问题，统称为“希尔伯特问题”。 其中，第六题是“物理公理化”。 希尔伯特对此的解释是：“对几何基础的讨论暗示了这样一个问题：数学可以借助公理并使用相同的方法来处理。物理科学发挥着重要作用；第一个解决方案是概率论和力学。” 在给出了一些路线的提示（例如马赫、赫兹、玻尔兹曼等人的方法）后，希尔伯特进一步强调：“而且，数学家的职责是在每一个实例中严格检验这些新公理是否与物理学家在理论进步时，经常发现自己被实验结果所迫使去构造新的假设，为了使这些新的假设与旧的公理相容，他不得不依靠这些实验或一些物理直觉，这些经验在理论的严格逻辑构造中是不允许的。对我来说，这是令人满意的证明所有假设的相容性也很重要，因为获得每个证明的努力总是最有效地迫使我们得出严格的公理化表述”。 虽然，希尔伯特关于形式系统公理相容性的证明（在所谓“超限公理”约束下的期望）最终被哥德尔证明是不可能的（涉及希尔伯特的第二个问题“算术公理系统的相容性”，“希尔伯特的形式主义”纲领”和“哥德尔不完备定理”），但对物理学公理化的呼声得到了相当积极的回应。在接下来的30年里，这一运动取得了四个进展：1909年，G. Hamel在分析力学的基础上实现了力学的公理化[ 5]. 同年，Calas 建立了热力学公理化基础[6]。1932年，冯·诺依曼发表了《量子力学的数学基础》（der），被视为继希尔伯特之后的量子力学公理化模型1933年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率运算基础》（der），建立了严格的公理化大纲，概率论变得公理化甚至“数学化”。
图 3 希尔伯特 (D.)、卡拉特奥多利 (C.) 和柯尔莫哥洛夫 (А. Н. Колмогоров)
20世纪20年代以来，量子力学已从初级阶段转向深入发展阶段。 冯·诺依曼的量子力学公理为符合希尔伯特期望的量子力学哥本哈根解释提供了数学基础。 1930年冯物理学家，狄拉克在《量子力学原理》（The of ）中给出了量子力学（包括1925年出版的矩阵力学和1926年出版的波动力学）统一的数学表达式。 在《量子力学的数学基础》中，冯·诺依曼首先肯定了狄拉克的尝试，但同时指出了其在数学严谨性上的缺陷（例如引入了delta函数）。 基于Weyl向量空间的公理系统（参见Space, Time, : on , Raum, Zeit, : über ä, 1918），冯·诺依曼给出了量子力学的传统表述（即哥本哈根解释）A发展了新的数学结构——希尔伯特空间，并在该空间中扩展了厄米算子理论，作为量子力学的数学基础。
图 4 H. Weyl、P. Dirac 和 John von
在Weyl公理系统中，可以定义内积诱导范数的赋范空间。 对于具有内积诱导范数的赋范空间 H，
