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您对几何的理解和看法是什么？
问：我想听听老师对几何的理解和看法。
答：我非常喜欢几何。 因为我们对世界的感知，我们将其概括为数学和物理。 物理学抽象了一些自然法则。 例如，在经典力学中，在分析宏观运动时，基本上将物体视为刚体，即将物体判断为一个点并进行分析。 不考虑它的变形，不考虑它的内部关系什么叫相对位移，这就是经典力学。
但这个复杂的问题可以分解为更简单的问题。 我首先从宏观的角度把它看成一个刚体来分析它的运动和受力； 但我也可以把它切成碎片，然后我可以分析它各部分之间的关系。
虽然它内部没有做任何工作，但整体来说，并不影响外部的操作。 但它内部仍然存在相互作用，因此系统内部仍然存在相对的力和运动。
但这些想法其实都是点线思维，而这种点线思维会在多个方向上产生这个结果。 比如在长、宽、高三个维度上，都有这种运动，还有直线运动。 所以我们在学习基础知识的时候，实际上是线性思考的。 但如果想要全面分析，就需要将其各个维度的直线运动结合起来。
就像我刚才讲的，不能只看一个原则，要多看几个方向，看它是什么样的条件，这样你才能知道它整体是怎么走的。 所以这个几何形状非常重要。 虽然我们有数学，这个很简单的算术，还有很多物理定理，但是你必须把它放到一个三维空间里，再加上一个维度的时间，才能使它完整。
整个物理学也是如此。 经典问题都是线性问题，然后代入多维空间。 有很多，主要是三、四维。 在这个过程中，仍然存在一些问题无法解决。 比如后来出现了相对论、时空扭曲、量子力学、隐形空间等。 至于这些看不见的空间，它们实际上使用了一些其他的方法，而这些其他的方法都与几何学密不可分。
因为我最近在看数学。 古典数学以前是几何代数，现在数学又分为现代代数。 不管怎样，几何在这里非常重要，它将代数和几何结合在一起。 然后是解析几何。 其中许多复杂问题需要在多维空间中考虑才能得到解决。 包括现在的AI，包括运筹学，包括物理、数学，其实都离不开几何。
还有拓扑。 微积分实际上是非常基础的。 它不是现代代数的一个大分支。 它是现代代数的基础。 为什么？ 因为我们的世界是多维的，所以这种几何形状很重要。 欧几里得几何主要解决平面几何。 首先平面几何是二维几何，然后是立体几何。 但这些几何图形都是坐标系是直的几何图形。
这是什么意思？ 它具有三个维度：长度、宽度和高度。 它们不仅相互垂直，而且是笔直的。 但在几何学中，还有一个非常重要的东西就是黎曼几何。 黎曼几何是关于什么的？ 黎曼几何讲的是它的坐标系是弯曲的。
这是什么意思？ 让我给你举一个更生动的例子。 我们在学校学习的几何都是关于人站直的。 比如我们身体的脊柱、我们的肋骨，我们可以拭目以待。 它们彼此垂直：一个是垂直的什么叫相对位移，另一个是水平的。
当你站直的时候，分析你的心脏在哪里，你的肺在哪里，里面的血液如何流动，气如何流动……这些东西。 有很多算法可以弄清楚人体内部。 那么黎曼几何是怎么回事呢？ 黎曼几何意味着弯腰，你弯腰去计算。 作为一个人，你会知道，一个人弯下腰，他就不会死。 你内部的运作，怎么运作，还是怎么运作。
当你的脊柱弯曲时，它的坐标系也会弯曲。 当你的坐标系弯曲之后，你身体的一切实际上都是相对于你的脊柱而言的，位置上并没有太多的平移或移动。 它是相对静止的，并且会随着坐标系的曲线而弯曲。
因此，即使你的脊柱弯曲，你的内脏器官实际上并没有发生变化。 它们相对于您的脊柱和肋骨没有移动。 但由于您的腰部弯曲，因此腰部相对于您身体外部的参考系发生位移。
黎曼几何是关于什么的？ 黎曼几何讲述了当你的坐标系是弯曲的时候，如何切换坐标系来计算它的位置和运动。 为什么黎曼几何特别重要？ 因为世界就是这样。 每个人都在动，每个人都在动，但是每个人都在动，其实他没有动。 当你弯腰的时候，你的内脏器官相对于你的脊柱实际上并没有移动，但在别人看来，你的内脏器官在移动。
在别人眼中的坐标系中，可能仍然是直线坐标系。 当您流离失所时，它可以切换您是否移动。 黎曼几何最重要的是它可以切换坐标系。 所以一个物体运动还是静止取决于它的坐标系是否运动。 换句话说，对象在空间中的位置取决于您用来查看它的坐标系。 这就是位置。
运动呢？例如，我们呼吸。 呼吸有气管吧？ 这就是所谓的上下运动。 那么你会认为这是一个简单的往复运动。 但这个简单的往复动作，如果你是杂技演员，就会扭来扭去，曲折不断。 你在呼吸，但是你看到呼吸的运动还是直线往复运动吗？ 他有时这样移动，有时那样移动，对吗？
如果我们画一个人的呼吸的图，不告诉你这个人在运动，你只看到他呼吸的运动轨迹，你能知道这是呼吸吗？ 你当然不能。 但如果你画这个人，看呼吸的动作，你就会知道，其实就是简单的呼吸。
这是什么问题？ 问题是，我们看似复杂的运动，实际上是因为坐标系在做复杂的运动，所以你看到的简单运动就变成了复杂的运动。
而我们的世界实际上就是这样。 很多看似复杂的运动其实并不复杂，因为它们的坐标系是在运动的。 黎曼几何非常重要。 怎样才能看清楚一个动作呢？ 它需要几何学，它需要黎曼几何学。
黎曼几何的关键点在于它是坐标系变化的几何。 因此，它可以切换视角，可以分析运动中发生的事情，更容易帮助人们看到运动的本质。
我不会扩展它，但将来我会扩展它。 我将在数学主题中对此进行扩展。 如何用数学来解读F法和Tao法？ 其实是有方法的。
开明的人R
2024年1月6日
