1、.天体运动中的向心加速度与重力加速度北流市第一中学吴展红在学习了天体运动以后，好多朋友觉得重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，因而出错。虽然不然，下我们从力与运动的关系来剖析这个问题。万有引力定理：是物体间互相作用的一条定理，1687年为牛顿所发觉。任何物体之间都有互相吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比列，而与它们之间的距离的平方成正比。假如用M、m表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间互相吸引力为F=GMm/r2，G称为万有引力常数，其值约为6.6710-11单位N/kg2。为美国化学学家、化学家亨利卡文迪许通过扭秤
2、实验测得。万有引力定理的发觉和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，进而开创了人类探求宇宙奥妙的新纪元。万有引力与航天这章内容比较深奥难懂，公式比较多中学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。怎么能在纷乱的公式中找出其中的奥秘，关键还是要认清楚万有引力与航天的规律。欲解决这种问题，现归纳以下几条根据：在月球上的物体：（1）考虑月球的自转：重力是万有引力形成的，因为月球的自转，因此月球表面的物体随月球自转时须要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随月球自转时须要的向心力。如图所示，因为经度
3、的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断变化，因此月球表面物体的重力随经度的变化而变化，即重力加速度g随经度变化而变化。其中G为万有引力常量，M为月球的质量，m为地面物体的质量，R为月球直径，r为随着经度的变化物体距离轴线的厚度。（万有引力向量=重力向量+向心力向量）GMm/R2=mg+mw2r由于同一个物体的W相等，随着经度的降低r越来越小，而且万有引力GMm/R2不变，mg越来越大即：随着经度的降低，重力加速度g越来越大。因而在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。向心加速度：GMm/R2=mg+maga=w2r=mg+mw2r=(2/T)2r=mg+m(2/T)2r
4、=V2/r=mg+mV2/r重力加速度向心加速度相关公式的推论：GMm/R2=mg+mV2/r或GMm/R2=mg+m(2/T)2r（2）忽视月球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f向和mg正好在一条直线上,则有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R2-mw2R因月球自转角速率很小重力加速度计算公式，GMm/所以GMm/R2mg，(通常情况下不考虑自转带来的影响，觉得重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随月球自转GMm/R2=mg)“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时常常用到。假定月球自转推进，即mg=GMm/R2-mw2R知物体的
5、重力将变小.当GMm/R2=mw2R时，mg=0此时月球上物体无重力，而且它要求月球自转的角速率w=GM/R3，比现今月球自转角速率要大得多。月球附近的近地卫星：一般把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米2000千米高的轨道称为中轨道。中、低轨道称作为近地轨道（又称顺行轨道）。近地卫星是指轨道在月球表面附近的卫星，估算时轨道直径可近似取月球直径（这一点很重要）即：近地卫星：转动直径(R+h)月球直径RGMm/（R+h）2=maGMm/R2=ma=mw2(R+h)=mw2R=mV2/(R+h)=mV2/R=m(2/T)2(R+h)=m(2/T
6、)2R（1）轨道直径(R+h)R；运行速率=7.9kms，是所有卫星的最大绕行速率；（2）运行的周期为T=85min，是所有卫星最小周期；（3）向心加速度a=g9.8ms2，是所有卫星的最大加速度。（4）向心加速度a=g=w2R=V2/R=(2/T)2R=GM/R2角速率周期重力加速度=向心加速度人造卫星在离地面的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力，则重力加速度。但卫星遭到了它与月球之间的万有引力，此完全来提供卫星绕月球做圆周运动所需的向心力。由公式得到卫星做圆周运动的向心加速度，方向指向月球的球心。如今我们构想一下，假若某一时刻，卫星的速率为零，这么想一下，此时的卫星具有的
7、加速度是多少？如果卫星的环绕速率变为零，但它遭到的万有引力不变，一直与它绕月球做圆周运动时遭到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力饰演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，完全拿来向心力，而当时，全部拿来提供卫星的重力，所以卫星的重力加速度，方向与同向，即指向球心。也可以从另外途径来证明此结果。当卫星的环绕速率为零时，它遭到的重力：（1）又由于在月球表面，我们可以得到：（2）从以上（1）（2）两式，得到（3）在上文中，我们已得到，代入（3）式，得：，方向指向球心。由此得到同样的结果。按照以上的剖析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样
8、，但是方向也一样。月球远地卫星：距离月球比较远，距离月球的高度不可以忽视重力加速度计算公式，卫星距离地心r=R+HGMm/（R+H）2=maGMm/r2=ma=mw2(R+H)=mw2r=mV2/(R+H)=mV2/r=m(2/T)2(R+H)=m(2/T)2r向心加速度a=w2r周期=V2/r角速率=(2/T)2r=GM/r2月球同步卫星：即月球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在月球同步轨道上的人造卫星。所谓同步轨道卫星，是指：卫星距离月球的高度约为h=36000km，卫星的运行方向与月球自转方向相同、运行轨道为坐落月球赤道平面上方形轨道、运行周期与月球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速率约为3.1公里/秒，等于月球自转的角速率。在月球同步轨道上布设3颗通信卫星，即可实现除两极外的全球通信。（1）线速率；（2）角速率；（3）周期；（4）向心加速度；（5）轨道直径；（6）对地高度；之后我们在剖析这类问题时，首先要明晰研究的是月球表面随月球自转的物体还是上升到空中成为月球的卫星的物体，重力加速度是否等于向心加速度，要分类讨论。严谨的学习心态，才是学习数学的金锁匙。.