平行板电容器之间的电位云图
跟随的多化学场仿真百科与静电学案例，
学习一下最简单的静电学数学场
作者|毕小喵
之前我曾在以及多个地方提及过，在软件中，所有的数学场都被实现在一个统一的用户界面下。因而当你把握了的基础软件操作之后，它很适宜拿来学习其他化学场。
尤其是，官方还提供了图文并茂的多化学场仿真百科。
口说无凭，这篇文章一直是一篇学习笔记。我们这就来跟随的多化学场仿真百科和案例库，一起入门学习一下电磁学。
我晓得我很菜，我是个外行，电磁学有正经的学院课程来教。虽然我的本行是学固体热学的。我如此菜肯定难免有弄错的地方，所以欢迎强调我的错误。但若果觉得不留神被我蠢到了……那只得烦请读者多多担待。
控制多项式和场变量
对于一个陌生的数学场，首先要了解的是它最主要的场变量有什么，以及那些变量之间有啥关系，也就是控制多项式。
其实我们目前还完全看不懂，但，先跟随的百科，把这种控制多项式列下来：
麦克斯韦等式组的微分方式
这老些字母我们一个都不认识。但不管怎样样，我们晓得倒三角符号∇（不晓得字库里有没有它），这东西读作nabla，可以简单理解为求偏导的操作。跟nabla做点乘和叉乘，分别代表散度和旋度。（高等物理里学过的，还记得吗？是不是觉得都还给老师了？）方程左边有两个对时间的偏导，所以……这四个多项式，就分别描述了H、E、D、B这四个化学量，随空间和时间的变化规律。
这四个化学量分别指哪些呢？
哦。好的。只是用一组陌生的汉字给那些陌生的字母起了名子而已。我们如今依然不能准确地晓得它们各自都是哪些。从名子大约能看下来，电场E、电位移场D两个变量和电有关，磁场H、磁通量B两个变量和磁有关。
电磁学的各类特殊情况
在实际应用中，我们极少须要考虑可能发生的所有电磁现象。相反，我们常常是通过剖析各类特殊情况来获取对电磁学更实际的理解，其中包括静电、恒定电压、静磁、准静态交流电、电感现象、微波工程和光学。
电磁学简介
很有道理，接出来我们应当从如此几种特殊情况入手，来渐渐理解电磁学的数学现象。
所以，主要有哪几种特殊情况呢？
XMind制图。不用幕布是由于须要一侧那种箭头和括弧。
信息来自多化学场仿真百科。
静电学-平行板电容器
直接看静电学的多项式看不太懂，我们就结合着仿真案例来看。
首先，关于电磁学的数学场，在AC/DC模块下。和前面思维导图一样，有电场电压、磁场、电磁场、电磁热、电磁力等分类。
在案例库中可以找到最简单的案例。打开跟随这个案例，了解一下静电场仿真剖析的相关知识。
首先，它的几何模型是几个圆锥体。上下两个方形平板组成电容器，外边一圈代表整个空间。图中隐藏了几个面，便于认清内部结构：
材料部份，其他区域为空气，两个平行板之间为玻璃Glass。是哪些材料不重要，重要的是瞧瞧须要哪些材料参数。
可以看见大学物理电学思维导图，只有一个相对介电常数，是有效材料参数。换句话说，做静电场剖析，材料本构只须要这样一个常数。
化学场，这儿用的是静电，。它的因变量是电势，V。
好，先不往下看了。到这儿大学物理电学思维导图，我们来学习一下静电学的控制多项式。它的因变量为何是电势V，以及它为何须要相对介电常数作为材料参数。
静电学-控制多项式
自由空间中的静电
空间中的电场，是一个矢量场。电场E是加粗的矢量，是空间坐标的函数。
自由空间中的电荷密度为rho，它与电场的关系式为：
注意，这儿面两侧的电场E是一个矢量场。nabla算子对矢量做点乘，是求矢量的散度，将得到一个标量场。所以方程右边是标量。
分子rho是电荷密度，分母就是介电常数了。但这个还不是前面材料参数上面的相对介电系数，它是一个自然界的化学学常数，叫自由空间的介电常数。
只有这样虽然还不够，但我们能够依稀记得学院化学课上曾讲过，电场是一个无旋场：
按照旋度的定义，电场无旋意味着绕电场内任何一个闭合路径走一圈，电场向量在闭合路径上的支路积分都为零。换句话说，一个（微小到不足以影响电场的点电荷）从空间内的一个点出发，随意走一圈回到起点，电场对它做的功都为零。
既然这样，无旋场就可以定义一个标量作为电势。（减号是传统约定）
（虽然就是说，所有的无旋场都可以这样定义一个标量势。虽然重力场也可以如此定义重力势，只不过在地表，单纯向上的重力场太稀松平时了）
平行板电容器案例-画出的电场E矢量图
对应截面上的电势V。由于是标量，所以能画出云图。
二维绘图组，还可以搞个等值线。
两个多项式结合来看，由于电场无旋，所以对于所有标量方式的电势场，它的梯度肯定也是无旋的。（屁话
）
所以，我们晓得，只须要求解一个标量方式的电势场变量，才能得到整个区域内的电场分布。整个问题的控制多项式就只须要：
如今厘清楚了矢量场电场E和标量场电势场V，但还没搞懂材料本构关系里的那种相对介电系数是哪些。里面多项式里的它虽然是化学学常数，不是随材料变化的。
电介质材料中的静电
百科里，写了这样一段话：
其实，就是真空中的电场和一些材料中的电场分布不太一样。例如空气就是一种电介质，玻璃又是另一种电介质对吧。为了描述电介质中的电场分布，还得引入两个新的场变量。一个矢量场极化矢量P，一个标量场极化电荷密度rho_p。
先别忙着记笔记，这俩变量太麻烦了，一会儿就把它们杀死。
诶，这又是E又是P的，太麻烦。我们把它定义成一个新的基本量吧。就叫它电位移场D。
这样，静电多项式就简约了：
进一步，假定线性电介质材料（类比固体热学中的线弹性材料），这是静电学中最简单的本构关系，D和E之间差一个相对介电常数。
因而有：
这就是我们在界面上看见的相对介电常数在控制多项式里的作用。它确实出现在本构关系里。
放大来张特写。
平行板电容器案例-边界条件与结果
刚刚我们简单讲过了这个案例设置的几何与材料。它的边界条件同样很简单：外表面零电荷条件。两块平行板，两侧板电势（电流）为1V，下顶盖接地，电流为零。
这样就可以了。稳态求解器，没啥可改的。求解结束就可以画云图啦。
绿色是电场E的矢量图，白色是电位移场D的矢量图。
相对介电常数乘起来还是很不一样的哈~