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导读
展示数学学剖析问题的方式，从苹果到牛顿、开普勒、卡文迪许和爱因斯坦......数学学整个学科的成立从牛顿1687年的名著《自然哲学的物理原理》开始。哲学中自由的思辨在科学里成为大胆的假定，运用物理和逻辑进行严格的推理。更重要的是必须用实验和观测结果做最终检验真理的标准。数学学就是哲学、数学与实验相结合后形成的科学。
1687年，如日中天的康熙臣子，只身在后宫跟传教士学几何，玩自鸣钟。但遥远的西方形成了面向大众的科学，一个多世纪后就改变中国的国运。
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和正在学数学的同事谈数学技巧
虽然你不是数学专业的，你应当也据说过这个故事：牛顿在苹果园中看到苹果掉在地上（也有说被苹果砸中头的），悟出了万有引力定理。这个故事是否可信？从科学的角度我们可以问，一位训练有素的化学学家，能够在当时的条件下，从苹果的落地推导入万有引力定理？答案是肯定的。
打算知识
要想重现牛顿在苹果园中的思索，我们首先要清楚在哪个知名的苹果落地之前，牛顿早已晓得哪些。牛顿当时把握的知识，大部份都早已被明天的小学生学到了。
首先是牛顿的热学三定理：
第一定理：假如不受力，物体保持匀速直线运动
第二定理：假如受力，物体的质量除以加速度等于受力，F=ma
第三定理：两个物体之间的斥力和反斥力大小相等方向相反
太阳系的结构：经过天文学家的常年努力，破不仅宗教迷信，人们早已晓得月球和行星都围绕着太阳转。除了这般，天文学家还对月球和几颗主要行星的轨道进行了精密的观测。这种轨道的数据，对发觉万有引力定理起到了决定性的作用。
据悉，牛顿把握的语文工具，比昨天的小学生多一些。牛顿发明了微积分，微积分在发觉万有引力的过程中，也提供了帮助。
对于物体的下落和重力，数学学已经研究得很清楚了。初期的人类，天真地觉得重的物体比轻的物体下落快。也有聪明人意识到这肯定不对，他是这样推论的：
把一个重的物体和一个轻的物体绑在一起，会产生一个更重的物体。假如重物比轻物下落快，那这个更重的物体一定下落更快。另一方面，轻物和重物绑在一起下落，它原本的下落速率慢，一定会向后连累重物的下落，所以这个复合物体下落的速率一定会比重物要慢。这就自相矛盾了，倒是重物和轻物下落一样快可以自圆其说。
这套推理隐含的假定是物体的下落始于外因（例如它的质量），假如有其他外力干预（例如空气阻力），这个推理就不组建了。明天我们晓得，苹果之所以比树根下落快，不是由于苹果更重，而是由于树根的形状，让它遭到的空气阻力比重力大得多。
后来伽利略在汉堡斜塔上展示了重球和轻球同时落地。数学学最终是要靠实验检验的，但这个事例表明，推理的力量也很强悍。
明天小学生在数学课中就会学到：假如不计空气阻力，所有物体的下落过程都是匀加速运动，所有物体的加速度都是g。用牛顿的第二定理，我们晓得物体都遭到了一个重力，和它的质量成反比：F=mg。
从苹果的下落找寻重力的起源
听到哪个苹果落到地上，牛顿首次开始思索重力的起源。古人认为物体向下落天经地义，但当时牛顿早已晓得大地是个球，月球是漂浮在宇宙中的。宇宙中并没有一个称作“下”的方向，月球似乎也没有向那个方向落下去。日本和中国的苹果就会落到地上，但两地苹果的下落角度差得很大。重力，更像是月球对所有物体的吸引。
但究竟是哪些诱因引起了月球对物体的吸引力？重力反比于质量，也就是说有质量的物体就会被吸引，虽然是物体的质量形成了吸引力。但为何这个吸引力只在月球和物体之间，为何两个苹果之间没有吸引力？
把这个问题暂时放一放。我们应用一下牛顿第三定理。假如月球吸引苹果导致了重力，这么这个重力会有一个反斥力，就是苹果对月球的吸引力。月球对苹果的吸引力反比于苹果的质量，苹果对月球的吸引力一定反比于月球的质量。但斥力和反斥力大小相等，惟一的可能性就是苹果和月球之间的吸引力反比于苹果质量除以月球质量。
这样一来，之前的问题有答案了：假如两个物体之间的吸引力反比于两者质量的乘积，这么月球对苹果的引力反比于月球质量除以苹果质量，两个苹果之间的吸引力反比于两个苹果质量的乘积。后者是苹果的重量，前者一定比苹果的重量小好多好多。所以，很可能两个苹果之间是有吸引力的，只不过它太小，我们观察不到。
假如月球由于有巨大的质量形成引力，这么月球和太阳，和其他行星之间是否也会有引力？
月球在绕太阳旋转，但还没有人想过为何，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛顿在苹果园里，从地面想到了天上。月球绕太阳公转的轨道是一个近似的矩形，月球在环绕太阳做匀速圆周运动。
做匀速圆周运动的物体，是有一个加速度的。即使速率的大小不变，但方向不断改变，随时都在转弯。这个加速度的方向指向圆心，大小由下边这个公式给出。
转动加速度公式
这个结果，用牛顿的微分很容易证明。明天中学的数学老师也会把这个结果教给中学生。
假如我们可以把牛顿第二定理用到整个月球上，这么月球一定是遭到了一个指向轨道圆心的力，那正是太阳的方向！月球绕太阳的公转，完全可以用太阳的吸引力解释。由于月球有速率，才不会像苹果那样掉下去。看来，很可能天上的、地上的物体，都满足同样的热学定理，都有同样的引力规律！
但为何是月球绕着太阳转而不是太阳绕月球？为何所有的行星都绕太阳转？这一定和月球上的所有苹果都落到地面的诱因一样：太阳的质量一定比所有的行星都大好多，因而太阳对每一颗行星的引力，比它们之间的引力大好多。
引力和距离的关系
两个物体之间的引力大小，应当和距离有关，距离越远引力越小，这才合理。否则，太阳比月球的质量大好多，我们和苹果就会被吸到太阳里面去。但引力和距离是哪些样的关系呢？
自然界最基本的规律，常常都是简单的。例如牛顿第二定理，再简单不过了。我们不妨猜猜，是跟距离成正比？还是跟距离的平方成正比？
等等，苹果和月球之宽度离如何算？实际上，万有引力定理，和牛顿三定理一样，都是针对质点的。质点是具象下来的简单物体，有质量，没有规格和形状结构。月球和苹果之间的引力，须要把月球分割成无数的质点，分别估算苹果和这种质点之间的引力牛顿第一定律现象举例，再求和。这个估算，须要用到牛顿发明的积分。
月球对苹果的引力
假如引力和距离的平方成正比，积分的结果非常简单：月球对苹果的引力，相当于把月球的质量都集中到地心那种点上。在引力的公式中，用苹果到地心的距离（就是月球直径）代入就可以了。假如引力不是和距离平方成正比，就没有那么简单漂亮的结果。苹果树下的牛顿似乎还不晓得这些，但他回到卧室后，一定可以推导入这个结果，明天物理基础好的学院生，都可以独立地完成这个证明。
假如地面的事情太复杂一时算不清楚，不妨去想想天上的东西。在太阳系内，恒星的直径比它们之间的距离小好多，诺大的月球和太阳，反倒可以被近似地当成质点。各大行星绕着太阳转动，直径有大有小，它们会给出引力与距离关系的信息。
早在半个多世纪前，英国天文学家开普勒，就对各大行星的轨道进行了精密的观测和估算，总结出了三个定理。其中第三定理非常简单：行星的轨道直径越大，公转周期就越长，直径的立方和周期的平方成反比。假如引力的距离平方成正比，就可以解释开普勒第三定理。这个推论十分简单，明天一个数学和物理基础好中学生，也可以闭着眼睛在苹果树下完成这个证明。须要用到里面那种转动加速度公式。
开普勒第三定理的推论
最后一行的公式右边，是一个只和太阳质量有关，对月球和所有行星都一样的常数，这就证明了开普勒第三定理。至此，从当时已知的科学知识出发，我们通过天马行空的思索，和严谨塌实的推理，发觉了万有引力定理。整个推论过程并没有用到复杂的物理，牛顿完全可能在苹果园里完成它。
牛顿的万有引力定理
回到客厅，牛顿还做了更多的工作。开普勒还有另外两条定理：第一定理：月球和行星的轨道是椭圆形的（很接近正圆的椭圆形），太阳坐落椭圆的一个焦点上。第二定理：行星和太阳的连线，单位时间内扫过的面积是一样的（也就是说，行星离太阳近的时侯，速率会快些）。
牛顿用他的热学第二定理，万有引力定理，以及微积分语文工具，证明了这两条定理。这下实锤了，我们除了定性地，但是定量地证明了宇宙中的天体，是根据和地面物体一样的牛顿热学定理和万有引力定理运行的。
杂记
这还不算完，万有引力定理预言了一个新的化学现象，就是两个苹果之间，任何两个物体之间，也有一个很小的吸引力。这个现象必须得到实验否认，这条定理才能被彻底接受。但这个力太小了，检测它是须要很高的技术。在牛顿发表万有引力定理的111年后，总算由卡文迪许完成了这个实验，他用了两个大标枪，检测了它们之间的引力符合万有引力定理牛顿第一定律现象举例，同时第一次测到了万有引力常数。
万有引力常数
因为地面物体的引力是十分微弱的效应，关于引力的实验总是很困难。后来，爱因斯坦于1916年发表了更中级的引力理论--广义相对论；100年后的2016年，他预言的引力波才首次被侦测到。
牛顿把万有引力定理，发表在他1687年的名著《自然哲学的物理原理》中。如何是哲学而不是数学学？那种时侯，数学学和整个科学都还没有完全从哲学中分离下来。是牛顿成立了科学方式，成为了现代科学的奠基人。在哲学里，你可以自由地去思辨。在科学里，你也可以大胆假定，但你必须使用物理和逻辑进行严格的推理；更重要的，你必须用实验和观测结果做最终的检验真理的标准。数学学，就是哲学、数学与实验相结合后形成的科学。
我们写这篇事后诸葛亮的文章，正是为了展示数学学剖析问题的技巧。
1687年，康熙王朝正如日中天。但遥远的西方形成了科学，一个多世纪后就改变中国的国运。
在西方，万有引力定理也是重大的思想突破。之前人们总觉得天上的事情归上帝管，如今发觉它们遵循和地面物体同样的数学规律。虔敬的信徒牛顿兴奋地说：我如今只须要上帝给我第一推进力，之后宇宙万物就都属于我的定理了！
谢谢那种苹果，让人类的认识往前迈出一大步！
