聚焦原始问题，提升建模能力
——谈拔河
以拔河比赛为例，分别介绍了粒子模型、刚体模型、刚体连接体模型，解释了拔河比赛中的疑点，并提出了我们的教学启示。应关注原始问题，通过构建合适的数学模型来解决实际问题。
1. 提出问题
化学选修1（上海科学版）第3章研究力和相互作用。 3.1节介绍牛顿第三定理。 教材的第一个副标题是“从拔河比赛说起”，探讨并比较了拔河比赛的拉力之间的关系，实验发现，无论一方是否主动用力，或双方同时施力，两个测力计的读数始终相同。 因此引入相互作用定律，即斥力和反斥力总是大小相等且相反共线，如式（1）所示：
图1
图2
教材第3.4节分析物体的受力，以拔河比赛为例1，水平方向受力分析如图1所示。运动员进一步简化为粒子，即也就是说，无论其旋转如何，力都集中在重心处。 建立如图2所示的粒子模型拔河摩擦力受力分析，由式（1）可知拔河摩擦力受力分析，两侧拉力大小相等，整体受力分析如下：
即地面对A的最大静摩擦力小于地面对B的最大静摩擦力，因此A对B的拉力小于地面对B的最大静摩擦力，且A队获胜。
但笔者发现这种设计存在以下不足： 1、这个模型涉及到受力分析的综合问题，在一开始介绍概念的时候就引入这个问题是非常不合适的； 2.虽然这个问题与中学生的生活实践息息相关，但确实问题并不像课本上描述的那么简单，因为丰富的生活经验，中学生会对这个问题形成更多的苦恼和争论。 在学习摩擦力的时候，很多同学会问：（1）比赛时，运动员的身体都在努力前倾，但为什么要把所有的力都集中在物体的重心上呢？ （2）如果拔河只是靠地面来面对人的话，如果摩擦获胜，那拔河还有什么意义呢？ 难道制胜的关键只是减小最大静摩擦力f（即减小u和G）吗？ （3）竞技比赛的技巧在哪里（哪些化学量）？ 拔河比赛到底是什么？
2. 构建模型
从生活经验来看，除了平移运动外，还涉及到一些轮换，参与拔河比赛，也算是联赛胶着阶段的一种平衡状态。 对于作用在任意平面力系上的物体，其平衡条件为：
其中，M为扭力，定义如式（4）所示，扭力是物体旋转的原因，ΣM=0表示任意旋转轴的总扭力为零。
在拔河相持的平衡状态下，假设两队体重和净高相同，构造如图3所示的质心模型，以A为支点，设点之间的距离为设重力G作用，支点为d，绳索拉力F作用点与支点之间的距离为L，由(3)、(4)求得：
图3
图4
方程（5）表明，为了成功，必须减小反第二方向上的扭矩。 当权重G一定时，d必然减小，存在等比关系：
(6) 由式可知，减小d就必须减小θ。 可见，拔河比赛涉及的量不仅包括μ和G，还包括重要的数学量θ。
但该模型将拉力和重力的作用点视为同一点，可能需要进一步改进。
现在我们限制“双方都没有锁定在比赛中”，并在上述模型的基础上改进图4所示的质心模型。 选取接触点O为支点，设重力G作用点与支点之间的距离为a，绳索张力T作用点与支点之间的距离为b，则式（3）有：
由(7)、(8)式可得：
式(9)表明f∝tanθ，即运动员只需改变夹角，就可以利用摩擦力，改变绳索中的拉力T。
因此，我们的推论应该是明确的：拔河比赛是一种双方依靠摩擦的方式，胜利的关键在于夹角的数学量。
在式（9）的基础上，可以进一步改进图5所示的“刚体-关节体”模型，表明拔河过程只是多轮旋转和平移的叠加。
（A）
(二)
图5
三、教学启示
本文介绍了粒子模型、刚体模型、刚体连接体模型，并解释了人们对拔河比赛的苦恼。 可见，对生活中原有问题的分析和讨论虽然不像课本上介绍的那么简单，但关注原有问题对于中学生学科素质的提高大有裨益，特别是尖子生的培养。 传统的数学教学导致中学生只知道如何根据已知条件解决问题，但在遇到实际问题时往往束手无策。 作者借鉴首都师范大学邢红军院长给出的原始数学问题与数学习题的关系，给出了如图6所示的简化模型。当生活中遇到实际（原始）问题时，我们首先做的就是化学分析。它分解、简化、抽象成数学（或物理）模型，如自由落体模型、平面抛射运动模型、行星模型等，然后应用相关化学定律来回答问题或用物理工具解释现象。
图6
图6中的虚线框是我们中学生所熟悉的（即解决数学问题），而我们最缺乏的是将实际问题可视化为化学模型的能力，这就是我们即将努力的方向。 在今后的教学中，要更加注重模型的建立。 对于一些尖子生，我们可以适当拓展扭矩等知识，在解决实际问题的过程中激发他们的探索欲望，逐步提高中学生的思维品质。
人们
事物
简单的
之间
李景龙，毕业于四川交通大学化学系。 大学期间获得市级学科竞赛二等奖，在《声学技术》、《教育科学》发表学术论文2篇。 2017年，他加入集贤小学担任兼职教师，并担任化学实验员。 荣获2017年蓟县基础教育教学成果自制教具展二等奖。 2018年获西安市中学数学教师解题大赛二等奖。 曾担任三年级（9）班班主任。
编辑| 赵慧萍
生产| 张行民
一审| 卢江峰