1. 功率估算使用哪个位移？
功率是一个非常重要的概念，在小学数学中，恒力F所做的功有以下估算公式
W=Fs(1)
这里s是物体沿力的方向移动的距离。 对于粒子模型，物体行进的距离没有任何歧义。 但理论热量理论指出质心模型，这就麻烦了，因为非平移质心上各点的位移是不同的，比如图1中的从动轮，是否使用轮心此时？
图1
据悉，如果车轮是非均质的，则车轮上的另一个特殊点——质心——与车轮的中心不重合。 一般认为刚体与动力学关系更为密切，那么s是刚体经过的距离吗？
事实上，质心和轮心是错误的！
肯德基之前在同学圈和陌陌群里讨论过图2的问题（见）。
图2
不管这个问题在中文中的歧义如何，一个人所做的工作可以通过以下公式来估计
W=FL(2)
使用上式的一种方法是在B上构建坐标系水平摩擦力怎么算，用A相对于B的位移来估计。
图3中的问题也经常出现，壳体与铁块的摩擦力做功的位移是多少？
图3
要回答上述一系列问题，我们应该从工作作为热分析工具的角度出发（而不是神秘主义哲学屋子里的客观存在！！！）。
2.动能定律的推论及优点
就工程热而言（更不用说哲学家口中的世界本质），功的概念是一个易于分析的工具。 为了理解 W=Fs 中的 s，我们看看如何将工作用作工具。 在许多教科书中，功的概念和估算是单独的章节，但最直接的应用是动能定律。
下面给出由牛顿第二定理推导出动能定律的过程。
方程（7）是粒子的动能定律。 在应用中，它具有三个好处：
1、动能是标量，易于估计；
2、式（4）右边不需要做积分（一般印象中积分总是很难的）；
3、式（6）中的功也需要积分，对于一些常用的力，可以先累加积分后直接使用，不必每次都从头积分。
如果研究对象有多个粒子，则对于第i个粒子（式5的修改）
利用粒子系统的动能定律，不仅有上面提到的三点，而且：
4、对于平移、定轴旋转、刚体平面运动等常用方法，可以将式（8）加到空间（往往是积分）上，得到更通用的显式公式，直接使用显式公式具体估计。 ;
5、计算式（9）时水平摩擦力怎么算，将力分为对系统做功和不做功两组，式（9）中不估算不做功的力（理想结合力）。
事实上，从工程热的角度来看，式（7）的动能定律在很多情况下比式（3）更有用。 引入工作的目的是为了便于估算。
3、做功的位移就是受力点的位移
在动能定律的推导过程中，式（3）至式（4）的要点均乘以dr，dr/dt=v为所研究粒子的速度，因此dr必然为元素位移的粒子。 对于粒子系统情况下的方程（9），dri 是 Fi 作用的系统上的点的单元位移。
力具有三个要素：大小、方向和作用点。 作用点在空间上有位移，如图1所示，地面摩擦力的作用点沿水平线连接，但不能用来估算做功。
力是物体之间的相互作用，有施力物体和受力物体。 施力物体上与力作用点重合的点可称为施力点，受力物体上与力作用点重合的点可称为受力点。 作用点、力点和力的施力点在空间上瞬时重合，并且它们各自的速率（即单元位移）不同。
在估算功（9）时，应使用受力点的单元位移来代替其他两点的单元位移。 举一个极端的例子，车轮在固定轴上旋转（图4），使用刹车片来降低车轮的速度。 事实上，制动块作用点对车轮正压力和摩擦力的位移为0，但不能说它对车轮做的功为0。制动块也不移动，所以位移施力点的值也为0。施力点是车轮与制动块立即重合的点，车轮上的重合点发生位移。 车轮摩擦力的基本功应采用车钩上与制动块接触点的基本位移。
图4
再比如图5中的冲刺，运动员获得的动能并非来自地面斥力，而是运动员体内的体能。 起跳前，地面对运动员有斥力，作用点的位移为0，因此斥力不做功。 起跳后，运动员的脚与地面分离，地面斥力消失，因此没有做功（施力点、受力点、作用点位移均为0）
图5
事实上，跳跃后立即获得的加速度确实与地面斥力有直接关系。
另外，由于式（7）是从式（3）的牛顿第二定理中引入的，而后者只对惯性系有效，对非惯性系无效，所以作功估算的参考坐标系应为惯性坐标系领带。 这就是个别化学“道德家”嘀咕的动能定律，满足伽利略变换不变性（在所有相对于惯性系做匀速直线运动的坐标下，数学定律都是一样的）
图2中，如果参考系土壤在B处，虽然可以计算出功（式（2）），但不能应用于动能定律（土壤在B处的非惯性坐标系中） ；除非加上惯性力）。
对式（2）的另一种理解是：根据内功估算。 从汉语语义来看，内力必须比力内涵更丰富，外延更小，否则会给中学生带来认知冲突。
一般来说，我们所说的力的功，一定是指集中力的功，但是内力的功是多少个力的功呢？ 按照世间的理解，它是一对斥力和反斥力的作用，而不是一个力的作用！ 在这些背景下，可以获得公式(2)。 有的老师经常用这类题来考中学生，所以他们对自己很熟悉，能够记住“一对相互斥力的总功不为零，一对相互静摩擦力的总功不为零”。一定为零，一对相互滑动的摩擦力的合功一定是负值。”
让中学生死记硬背上述推论绝对不是一个合理的教学方法，尤其是在有很多游戏和视频干扰的环境下。 如果死记硬背以上推论，肯定会与“做功计算的位移就是受力点的位移”的理解产生认知冲突。 事实上，完全可以将一对内力作为中学生练习的训练问题，表述时应指出“一对内力的作用”而不是“内力的作用” 。
参考书目
陈奎富. 理论热点强化辅导。 南京：复旦大学出版社。 2018.9