《物理与工程》期刊近期在线发表了一篇论文，从接收到发表仅仅用了5天，作者觉得这是论文刊发的最快纪录。论文的内容是从最简单的古典微分几何知识基础上物理小论文500字，怎么理解量子热学和热力学中的一些前沿问题。本文章的主要部份则是介绍作者在科研小学习和使用微分几何20余年以后，自觉得成功反哺教学的两个典型成果。
撰文|刘全慧（理论化学博士，四川学院化学与微电子科学大学院士）
1论文刊出最快的世界纪录：五天
近来有篇小论文，从投出到刊出的时间，五天，创下了中国(或许国际上)学术期刊发文章速率的最快历史纪录。这就是《物理与工程》(教育部高等中学学院数学课程教学指导委员会学术期刊，复旦学院编辑出版)上的拙作《懂几何者，在数学学中无往而不利》。2021年3月13日收到，18日上线。这篇文章，既不是投稿，也不是征稿，而是《物理与工程》编辑部和笔者商量为她们的陌陌公众号写篇一篇文章，文章草成后，编辑部觉得是“好文章”然后“升舱”到杂志上的结果。炮制这篇文章只用了三天，并且积累素材却持续了20来年，内容作为措词也蕴育了一段时间。同一时间段内，投给《大学化学》的一篇文章《几何视角下的热力学》也深受好评，编辑部将安排在某一期的首篇推出。
图1中国学术期刊发文章速率的最快历史纪录：五天。
笔者的人生中有少数几个点不是这么昏暗，竟然都和几何有点关系。不仅论文、经费等和谋生直接相关的俗务外，还有如下一些：
1.指导了几位大专生进行的研究，最好的三篇论文都和几何相关。大专生能进行前沿研究都和几何有关，说明几何不难。同时也说明，几何是数学学研究一块最有份量的敲门砖。
2.1989年获硕士学位，论文是Z2规范场的相结构，而规范场就是一种几何学。
3.1999年获博士学位，论文是关于生物膜几何形状和广义相对论，须要的是古典微分几何。
4.2000年，申请ICTP的(相当于访问学者或则博士后)，这是第二次申请，比1999年第一次申请材料仅仅多了几个字：等作者在1999的一篇PRL和等作者在2000的一篇PRL上，都肯定了笔者研究Berry几何相位的一篇CPL文章。
5.他乡遇故知。2016年，在北京碰巧遇到，说起旧事来，他高兴得像个小孩，参见相片(图2)。很可惜，于2020过世了，专门发了一篇记念文章。2018年，十分有幸在川大接待Berry并主持他的报告会（岳麓讲堂），参见相片(图3)。
图2笔者和合照
图3Berry和四川学院物电院师生合照
2化学学图象，经常是指几何图象
大化学学家Dyson自觉得从费米的20分钟里所学到的，比他从奥本海默20年里学到的还要多。费米的一句话不经意的话，被理解为费米秘籍，除了秒成格言广为传播，并且奉为数学学教学和研究的费米准则。原话是：“Oneway,andthisisthewayI,istohaveaclearofthethatyouare．Theotherwayistohaveaandself-.”这里，化学图象()被提升到了至关紧要的位置。不同于，形容词的指的是细腻而血淋淋的数学，而则是一个状态描述。彭桓武先生就特别指出和之间的差距。
图4和编绘的“大学数学”教材封面
极其指出几何在数学学教育中的作用，非领导的“大学数学”教学小组莫属。倘若不是因为由于引力波的成功侦测而获得了2017年诺贝尔化学学奖，大约不会有太多人关注他在2017年出版的一本学院数学教材，名子很奇特——《现代精典化学》(全名是:,,,,,and)，参见相片(图4)。虽然，这本书的内容经过了千锤百炼，在加洲理工和哈佛学院进行了37年的教学实践，书的特征就是用几何塑造了精典数学学。序言中写道：“几何学是本书中的深入主线，和特别重要的经纬。我们将见到怎样通过淬炼的几何思索就可决定或强烈限制了精典数学学的基本原理。几何学除了能展现精典原理的特点，还有助于将它们与相应的量子原理关联上去。进一步，几何方法可以避开晦涩的剖析估算。虽然相关的繁琐、常规的估算，有时无法避开，在这些情况下，我们有时会求救于现代符号运算软件Maple，和来节约空间。”换句话说，烤焦数学学上估算难度上的尘土，发觉数学学中四处都是几何。
学院里的几何，必须依靠于微积分就能获得深入的理解。为此，学院中的数学图象就应当是微分几何图象。所谓的化学深刻，很可能不过是简单几何。本文接出来的两节，通过两个反例，希望说明如下一个道理：数学课程中重要而困难的数学问题，只须要简单的微分几何就可以化腐朽为神奇，显得玲珑澄澈且意趣横生。
3热力学第三定理与两个函数之间的切触
图5一个函数和它的泰勒展开的几何理解(图片取自网路)
下边研究热力学汤姆孙-贝特洛在高温实验时发觉的一个规律的示意图(图6)。这幅示意图能告诉我们哪些呢?教材都包含了坎坷而繁难的剖析，因而得到热力学第三定理的能斯特叙述。而一旦有了切触的概念，立刻发觉这两根线在零温时发生了一级切触，即两个函数有如下关系
于是，汤姆孙-贝特洛原理启示了：1，当T→0时，ΔS→0，即热力学第三定理；2物理小论文500字，正是因为一级切触，这个T→0时实际上可以高到温度。这个温度可以通过剖析中级切触而定量求解下来。
通过这个反例可以说明，几何必须和微积分结合上去，完全的初等几何是不太够用的。
图6两个函数有一阶切触(图片取自名著B.，andanto2nd)
4动量算符中显含的平均曲率
球座标下三个广义动量算符是，
这三个算符在通常初等量子力学教材中都接见到，主要部份都是一般的微分算符。前两个算符多出的部份，一般的理解不过是为了微分部份显得厄密而多下来的函数而已，并无深意，实际可能远非这般。这两个函数，虽然是两个不同平面的平均曲率。而平均曲率是古典微分几何中入门级的概念。
首先，稍稍介绍一点哪些是平均曲率。考量曲面弯曲形状的形式是化面为线。把曲面截开，截面上的曲面就是一根一根的曲线，简称截线。不过截的时侯，要沿法线截下去。一个二维曲面，可以找出正交的两根截线（法截线），用这两根截线的曲率（主曲率）来标志曲面的弯曲程度，参考图7。
图8球面座标。r为常数时，为一个直径为r球面，平均曲率为1/r。θ为常数时，为一个工件，平均曲率为cotθ/2。φ为常数时，为一个平面，平均曲率为零。(图取自网路后编辑而成)
图9把P点处的工件剥开成两根线的时侯，一根是母线，曲率为零；另外一刀剖下去的时侯，刀面要和这根母线正交，其法截线的曲率直径为rtanθ，曲率为cotθ/r。因而，r=1处的工件的平均曲率为cotθ/2。
有人可能觉得，对理解三个广义动量算符来说，晓得了表达式，几乎可以解决所有问题，并不须要晓得这种量是否为平均曲率。对于这三个算符来说，虽然不假。虽然不然，由于化学问题往往必须从更大的范围内进行考量，之后反过来看这个问题，能够获得更大的视野和正确的视角。有很多问题涉及到这个曲率。第一，在平直空间中，联通一个量子态须要通过动量算符所构造联通算符来完成，不过在平直空间中，动量中不包含多余的函数，因此量子态环型一周回到原处，量子态没有改变。而在弯曲曲面上，正是因为动量多下来的部份，促使量子态才会多出一个相位因子。第二，这儿有关“世纪困局”：即径向动量算符Pr的观测意义。要解决这个问题，就必须求救于几何，参见文献Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.,2015,12:.
这个事例起码给了我们三点启示：第一，最常见的算符中直接出现了平均曲率，这么微分几何就在量子热学的入门处，因此也就在课程的全部内容中；第二，算符通常都包含几何部份，也就是通常意义下的动量，应当是几何动量，参见文献，Euro.Phys.J.C.,2019,79:712及其中的参考文献；第三，一般觉得现代数学的几何基础是黎曼几何，而平均曲率是外曲率，无足轻重，这个想法片面的。
5断想与结语
文章将近结束，兴味却未阑珊，记录一些断想在此。
假如把一门课教50年甚至80年，讲得烂熟一团糟，也不过尔尔，一直未能达到用几何塑造精典数学概念系统的程度，也难以发觉普通动量算符下边虽然包含了简单的几何却是深刻的化学，等等。任何学院班主任，必需要有和本课程教学内容密切相关的前沿科研经历。纯粹教学型的学院老师，可以是认真的老师，也可以好老师，然而未能在教学内容上出神入化，难以掌握重大题材，也难以理解最新进展，就不可能是学者型老师。
岳麓书院赫曦台上有副挽联云“合安利勉而为学，通天地人之谓才”。并且，“安利勉”的为学三途太过入世，做学问必需要有点出世的精神。笔者在长沙学院负责“岳麓讲堂”，坚持延揽一些文理兼长的科学家过来讲学，深信，学院生处于成长阶段，兴趣面不能太窄了，应当“转益多师是汝师”。同时，学院里必需要有一点艰辛的课程。如今学院的课程，数目繁杂但失之浅易。甚至连简单的微分几何都不在学院化学系的课程系统内，这是否是学院课程设置的问题?
问题可能要换一个角度来看。微分几何及其发展历史，是人类文明最有神采的部份，这部份应当和元曲小令、经典小说等等一样，是学院生必读书籍中的一册。对理工科学院生，尤其这么。
法国故事、古今格言、诸多例子，等等，都挤到了断想的窄小通道里，下边收敛到本文的主题。把文中的两句话重复一遍，作为本文的结语：不但数学学图象往往是指几何图象，但是化学的深刻很可能是简单的几何。