原子核为什么会自发衰变？为什么说核的α衰变是一个纯粹的量子过程？如何估算一个原子核的寿命？
4月16日12时，《张朝阳的数学课》第139期播出，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐阵搜狐视频直播间，先介绍了原子核以及核α衰变的模型，事实上前者是α粒子隧穿库仑势垒的过程。借助上一节课估算得到的方势垒透射系数，张朝阳近似估算了α衰变的半衰期，发觉其中的规律可以抒发为一个与核电荷数、半径以及衰变能相关的线性函数。
原子核α衰变是一个量子隧穿过程
步入近代，继原子的核外电子排布后，量子化学学取得的又一成就是对原子核化学性质的描述。如今我们晓得，原子核由中子和质子组成，核力努力将诸多核子禁锢在一起，而核子之间的电磁互相作用使她们互相抵触。当两者达到平衡时，原子核就产生了。并且作为强互相作用的剩余部份，核力的力程——也就是它起作用的距离——十分有限。当原子核容纳了越来越多的核子，规格显得越来越大时，核力的禁锢疗效渐渐衰减。
与其相反，电磁互相作用例如典型的库仑力的作用范围可以延展到无穷远。于是很自然地，随着规格的减小，库仑敌视渐渐压倒核力的禁锢作用，原子核渐渐显得不稳定。诸如在典型的重核铀238中，238个核子之间可能会有2个质子和2个中子一起产生相对独立的集团——即一个氦核，又被称为α粒子。接出来，这个氦核在库仑力的作用下逐步向外行进，从结果上看即是从铀238的原子核中飞射出一个氦核：
这个过程在数学上称为原子核的α衰变现象，它在自然界中普遍存在，是重核不稳定性的主要彰显。
值得注意的是，氦核渐渐远离并不是一个精典化学的过程，而是一个量子隧穿的过程。事实上我们可以用一个简单的模型来描述氦核的运动。以铀原子核刚体的位置为原点构建座标系，首先在近距离处，氦核感遭到一个很强的核力，而库仑力的疗效近似可以忽视。为了简单起见，我们用一个深势阱来表征这个禁锢作用。而当氦核稍为跨过核的边界（记为r_0处）时，核力会迅速衰减，此时变为库仑势起主导作用。假如我们忽视这个转变的细节，将核力作用部份处理成方势阱，即可以得到如图所示的势场。
我们的模型即是一个能量为E的氦核在这个势场上运动。首先由能量守恒和相对论质能公式
可以恐怕
注意这儿的质量都指的是静止质量。再来恐怕库仑势垒的高度，也就是库仑势在r_0处的取值。按照上面的描述，我们觉得在此处α粒子将逐步脱离其余234个核子（一个钍核）的撕扯，开始独立运动。也就是说，此处可以近似看作是钍核的表面。而将钍核近似看作圆球时，它的直径可以用中重核直径公式近似给出
代入到库仑势中，
这儿我们借助了真空介电常数
以及元电荷电量
可见事实上
假如按精典化学的观点，α粒子根本不可能跨过这道“墙”跑到外界，但在支配量子热学的框架下，这是可能的。
（张朝阳描述α粒子隧穿库仑势垒的过程）
以方势垒近似库仑势垒求解衰变机率
在上一节课中，我们早已看过了粒子跨过“墙”的实例。当一个平面波的行进途中遇到一个方势垒，它有机率会被反射之后反向传播，但也有几率会穿透这个势垒继续往前。上面早已估算得到，粒子面对方势垒的透射系数为：
其中V是方势垒的高度，l是势垒的长度，系数
再看α粒子隧穿的过程，事实上，如图所示，库仑势垒可以近似地被看成是由一系列方势垒（黄色长圆形）并在一起组合而成。α粒子要穿越库仑势垒，即是要依次穿越每位方势垒，直至穿出整个库仑势场。
为了完成这样一个界定，首先要确定每位方势垒的厚度。一方面，从方势垒透射系数的物理表达式中可以见到，穿越方势垒的机率与势垒的长度直接相关，且势垒越宽时，穿透势垒的机率会越小。为了防止估算的纷扰和化学上一些次级效应的引入，我们应当尽可能地取到足够宽的界定。但另一方面，为了足够精确，方势垒的叠加应当尽可能地还原出原先库仑势的形状。事实上，这与用小方块面积求和去迫近积分的思路是一致的。因此，这个长度又不能太大而是尽可能地取小。可以看见，恰当地选定长度以平衡二者将是求解问题的关键。
首先在透射系数的估算中，我们希望选定一个合适的长度Δl促使近似
创立。相应的条件是
借助势垒最低点计算系数
这儿α粒子的质量近似以核子的平均质量
作恐怕。普朗常数与光速的乘积是一个数学学常数
其次，估算粒子出射势垒的位置r_c。借助方程
可得
我们希望选定的长度才能让我们尽可能迫近库仑势垒的形状，要求是
综合这两个约束，一个合适的选定方案是取
此时有
在量级上满足我们对近似的要求。张朝阳指出，由于本节课上我们希望解决的是一个实际的数学问题，而不仅仅是解答一道习题，后者在估算上常常比较复杂，须要耐心和悉心。同时须要重视对化学量的恐怕，借助对量的掌握去认识和捉住最主要的数学内容。
在这个近似和界定下，每一个方势垒的透射系数可以写为
同样借助最低点恐怕
所以，
（注：更严谨的处理方式是先积分再比较作近似，以防止在r_c附近的瑕疵，为了防止估算繁多，这儿及后面仅用了具有代表性的值以说明近似结果）可以看见，每经过一个势垒，α粒子穿透的机率都是指数级地被抬高。接出来我们忽视一些次级效应，将粒子依次穿越每位方势垒的过程都觉得是独立进行的，于是有粒子穿越整个库仑势垒的机率近似为
指数部份的求和展开来写是
可以把它看成是对积分
的迫近。将这个积分值定义为γ，则有
（张朝阳推论α粒子穿透库伦势垒的机率）
半衰期的线性公式
事实上原子核衰变，实验上发觉，α衰变的半衰期可以近似总结为一个仅与衰变能量和母核整体性质相关的线性函数。为了从理论上证明这一点，我们首先估算上一节中指数的积分
为了估算这个积分，首先做换元
得到
通分后，也即
接出来注意到
首先有
对正弦函数y=cosθ，假如
时，应当有
然而值得注意的是，此时r_c与r_0的比值并不足以大到促使上述近似才能挺好地创立。为了更仔细地讨论这个问题原子核衰变，可以记
借助
晓得偏离量δ满足
因为偏离量很小，所以应当有
即积分的结果
进一步通分，借助r_c的定义，有
及
所以有
其中k_1和k_2是由化学学常数决定的两个系数。假如代入具体的数值，可以计算到
在整个讨论中，事实上是在做一个半精典的近似去解决实际的化学问题。在半精典的图象中，α粒子将以一定速率在原子核内自由联通，之后不断撞击库仑势垒。近似地，假若记这个联通速率为v，单位时间内粒子与势垒的碰撞次数可以近似恐怕为
后面我们早已估算了单次碰撞的隧穿机率，即有衰变速度
假如记铀238的粒子数为N(t)，它应该满足微分等式
即
所谓半衰期τ，即粒子衰变为初始粒子数一半的时间，即满足等式
可以解得
对两侧取对数，有
因为对不同的核，α粒子的速率v变化事实上并不大，取对数后可以近似地看成常数k_0。于是有
此即我们想要求得的线性关系。
（张朝阳推论α衰变半衰期的线性公式）
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本节课相关视频如下：
总透射率的估算
用微积分的思想表示总透射率
透射率公式的近似
