研究滚动球体的学术数学和理论热力学有很多问题。 滚球与地面之间存在纯滚动、“滚滑”等不同运动状态。 根据不同的运动状态，有多种摩擦力，如静摩擦力、滑动摩擦力、静滚动摩擦力矩和动滚动摩擦力矩[1]。 为了更好地理解摩擦力与小球运动状态之间的关系，本文建立了统一的摩擦力物理模型，并利用软件对“拉小球”问题进行了仿真分析。
1 摩擦的物理模型
摩擦力的物理表达式为
f的方向与相对速度或相对运动趋势相反，其大小与正压力N成反比。摩擦素数μ可分解为两部分的乘积
其中 |μd| 表示动摩擦素数的大小，ε表示摩擦力的方向和实际摩擦素数与动摩擦素数的偏离程度。 一般来说，静摩擦的质数μs大于动摩擦的质数μd，例如铸铁与铸铁之间μs≈6μd，铜与低碳钢之间μs≈1.47μd
为了便于计算机进行积分和微分运算，可以构造ε对相对速度vr的解析函数，使其图像满足图1。当vr较大时，不对摩擦素数进行修正，即符号与相对运动方向一致。 当 vr 较小且接近静止时，摩擦素数需要修正值，如图 1 中的峰值所示。
这个解析函数可以用下面的方式表示（方式不唯一）
第一项对应滑动摩擦素数，第二项是修正项。 实际上，在用计算机求解问题时，只有取较大的K值才能得到满意的结果。所以在下面，这个解析函数写成
(3)
滚动摩擦阻力均匀的时刻是由于球与地面不是理想的质心，发生弹性变形。 铅垂约束力系统的作用点与理想位置的偏差形成了滚动摩擦阻力的均匀力矩[1, 2]。类似于滑动摩擦和静摩擦，也可以构造无量纲系数εr(ω)为统一描述，类似公式（1）（2）（3）
其中 μr 是宽度维度的系数。
2 具体问题及解决方案 2.1 携带动物积木
问题描述：如图2所示，方块初始静止，F从0开始线性减小，铜与低碳钢的距离μs=0.53，μd=0.36，分析方块运动
木块受到外力F和摩擦力f，根据牛顿第二定理和式（1）、式（2），有如下微分方程
它的数值解[3]可以用它来求解。 加速度与外力的关系如图3所示，图中的数学量已经过无量纲化处理。
从图中可以看出，随着外力的减小，木块最初是静止不动的。 当外力恰好等于最大静摩擦力时，加速度突然发生变化，物体开始滑动。 可以看出，估计的结果与实际的化学过程是一致的。
2.2 运球
问题描述：如图4所示，木块初始静止，F从0开始线性下降，t1时刻外力去除。
以图4中箭头方向为正方向，根据牛顿第二定理和旋转定律[4]，可得
注意，相对速度是球体表面与地面的相对速度
球体绕刚体的旋转力矩为
将方程（1）（2）（4）（5）（9）（10）代入方程（8），可得关于v和ω的二元一阶微分方程组
其数值解可采用该方法求解，参考相平面表示法[5]，以（角）速度为纵轴，以（角）加速度为横轴，使得可以观察到整个运动过程，如图5所示。
为便于比较，去掉式（3）和式（6）的第二项滚动摩擦时摩擦力的方向，即认为静摩擦和动摩擦相等，μs=μd，μrs=μrd，得到运动相位图，如图6所示。
3 讨论
图 5 和图 6 所示的球面运动的相位轨迹都围绕着一个闭合图形，代表了从静止到运动再回到静止的整个过程。 垂直轴两侧的轨迹代表加速度段，其中施加线性减小的外力F。 纵轴两侧的轨迹代表减速段，没有施加外力F。 关注图 5 中段落的数学意义。
(1)OA段：小球静止。由于外力F小，由静摩擦力fs清河滚动摩擦力Mrs平衡
(2)A点：变为纯滚动(a=βr)，摩擦力仍为静摩擦力fs。 外力F和静摩擦力fs产生的扭矩克服了静滚动阻力Mrs，静滚动摩擦Mrs变为动滚动摩擦Mrd滚动摩擦时摩擦力的方向，球突然滚动起来。
(3)AB段：保持纯滚动(a=βr)，摩擦力仍为静摩擦力fs。 随着外力F的减小，加速度a和角加速度β减小。
(4)B点：变为“滚动打滑”(a>βr)，摩擦力变为滑动摩擦力fd。 外力F过大，使静摩擦fs变为滑动摩擦fd，因为fd<fs，刚体加速度突然减小，角加速度突然减小。
(5)BC段：保持“滚滑”(a>βr)。
随着外力F的减小，加速度a减小，角加速度β不变，因为滑动摩擦力fd和动滚动阻力Mrd不变。
(6) C点：保持“滚滑”(a≠βr)。
在C处撤去外力后，加速度a反之，由滑动摩擦力fd唯一确定。 角加速度β是恒定的，因为滑动摩擦力fd和动态滚动阻力Mrd是恒定的。
(7)CD段：保持“滚动和打滑”(a<βr)。 加速度保持C点结束时的状态，直到D点。
(8) D点：转化为纯滚动(a=βr)，满足v=ωr，滑动摩擦力fd转化为静摩擦力fs，fs和Mrd共同决定刚体加速度a。
(9)DO段：保持纯滚动(a=βr)，不断减速，直至最终停止。
值得注意的是，图中实线重叠的过程是“纯滚动”，实线分开的过程是“滚动滑动”。
对比图5和图6可以发现，如果假设静摩擦力等于动摩擦力，μs=μd，μrs=μrd，分析结果会有很大偏差。
4个推论
本文建立了摩擦的物理模型，并利用软件对具体问题进行了仿真分析。
(1)借助无量纲系数ε(vr)εr(ω)构造摩擦力和滚动摩擦力的统一表达式，见式(3)(6)，进行计算机仿真分析。
(2) 开球问题分为4个节点和5个阶段的过程。 每个节点的加速度都会有突变，每个过程都有明确的数学意义。
(3) 该物理模型可用于教学验证理论分析的正确性。
参考
[1] 傅国庆，李黛云． 滚动摩擦成因及其对运动影响的解释[J]. 湖南广播电视学院学报, 2009(2): 79-80.FUGQ, LIDY.[J].广播电视, 2009(2): 79-80.(in)
[2]徐玉华． 滚动摩擦概念细化[J]． 广州大学学报(工程技术版), 1996(4): 96-98. XUYH.[J]. of(and), 1996(4) : 96-98.(in)
[3] 孔祥强． 基于软件的常微分方程终值可视化[J]． 南京师范大学学报, 2015, 34(10): 20-2. .based in value [J]. of, 2015, 34(10): 20-2. （在）
[4] 谢传峰，王琦． 理论热[M]． 南京: 高等教育出版社, 2015: 59-65, 251-263.
[5]程鹏． 手动控制原理[M]． 上海：高等教育出版社，2010：229-236.
作者简介：王雯雯，女，院长，主要从事化学教学与科研工作，研究方向为功能薄膜材料与元器件。
引用格式：李文涛，李文博，王文文。 基于对球面摩擦的深入认识[J]. 化学与工程, 2020, 30(5): 72-75.
结尾