近来几天相继收到一波一波数学爱好者的留言和提问，她们对吸铁石的磁力做功这件事倍感疑惑，典型的问题有两个：
第一，既然吸铁石的磁力可做功，这么这个能量源自何处？
第二，磁力看上去就像可仍然做功，若真这么，那岂不成了永动机？
听到“永动机”三字，有人可能有点坐不住了。虽然，笔者也不想用如此令人恐怖的词句！但你尽可放心，只要你相信能量守恒定理，这篇文章一定会再度帮你确认——依赖吸铁石的永动机是不可能实现的。
功，最基本的数学学概念，它是指质点在力的作用下发生位移的过程中所积累的一种量，简而言之，功就是力的空间积累作用。
对于保守力来说，因为它做功与路径无关，从物理上可以证明，总能找到某种空间坐标的函数，它在某两点的函数差值正好等于保守力在这两点之间所作的功。
这个函数就是势能，一般用表示，它与做功的关系为
所以，只要是保守力，做功与势能增量之和必然为零，也就是，保守力做功的值总等于势能的降低量。
我们所熟悉的保守力，比如静电场力、重力和弹簧的弹力等都是这么。
所以，重物下落为何越来越快？由于重力势能弄成动能了；异号电荷互相吸引而紧靠，为何会加速？由于电势能不断弄成动能。而正由于弹簧的弹力是一种保守力，所以弹簧振子的动能和势能之和保持不变。
这么，对于吸铁石之间的磁力，做功是否也觉有类似的规律呢？
对下边的部份，假如你不太关心具体细节，你也可以直接跳过。你只须要晓得，磁力做功似乎有所不同，但也具有类似的规律，即同样有个所谓的“磁力势能”在随着磁力做功而变化，若它减小，则磁力做正功，吸铁石动能降低，反之则磁力做负功，吸铁石动能减低。
首先来了解下物质磁性的起源。
依据安培定理，电压之间存在互相吸引或抵触的力，这就是磁性的表现。为了解释物质的磁性，安培提出分子环流假说，即觉得磁性物质之所以有磁性，就是由于内部富含大量微小的电压环——分子环流，磁性就是这种分子环流之间的力作用的结果。
每位电压环对应一个被称作磁矩的数学量，定义如下
它是矢量，大小等于环电压与面积的乘积，方向为电压的手指螺旋方向。
注：磁矩也可按磁荷观点看作两个相距的异号磁荷构成的磁偶极子，此时磁场硬度与电场硬度完全类似，可以证明这个磁矩与电压环的磁矩一致。
根据现代量子理论，磁矩始于分子（或原子）中的电子、质子和中子的磁矩的总体贡献。尽管原子核也有磁矩，但因为核子的质量是电子的1800多倍，所以它的磁矩很小，通常可忽视。电子的磁矩有轨道磁矩和载流子磁矩，前者的贡献是主要的。
当物质分子的总磁矩不为零时，分子就具有磁性。但在通常情况下，因为分子的取向是混乱的，分子磁矩互相抵消，所以物质总体对外不显磁性。只有当物质被磁化后，大多数分子的磁矩取向一致，才产生宏观磁性。
了解了磁性的起源，下边来探究一下磁矩是怎样受磁场作用的。
高中数学学过，环电压对应一个小n极，小n极的南极指向就是环电压的左手螺旋方向，如右图所示。
依照学校数学知识，小n极在外磁场上将会遭到磁扭矩的而转动，最终会使之南极指向外场方向，这么环电压也会转动，其磁矩方向也沿外磁场的方向。
磁矩在外磁场中遭到扭矩的作用，通过剖析通电缆线圈在磁场中受力可知，磁矩在磁场中所受转矩为
如图所示，载有电压的线圈处于水平往右的均匀磁场中，其法向与磁场的倾角用表示。设某段时间，线圈平面的法向方向（电压的手指螺旋方向）与磁场方向的倾角由变为。
由扭力做功的规律，这段时间内磁场力做功为扭力对角的积分。因为角位移的正方向默认为线圈转动的手指螺旋方向，即垂直屏幕往外，而的方向为垂直于屏幕往内，故有
考虑到磁场均匀，即得依据矢量的点乘规则，做功结果的原型是
我们看见，磁场对磁矩做功与路径无关——与实际如何转或转了多少角度均无关，只与始末角位置有关！因而参照保守力的特征，磁场对磁矩做功时，背后也对应一种势能的变化。
仿造保守力的势能的引入形式——其势能的减少值等于保守力做的功，将以上做功定义为磁力做功前后磁矩势能的降低值，即
若规定当与垂直时，势能为零（类似于保守力的零势能参考点），则得到磁矩在任意角位置处的势能为
这就是磁矩的势能。可以看见，当磁矩与磁场平行时，势能最小；而磁矩与磁场反平行时，势能最大。依据能量最低原理，磁矩会尽可能的与外场方向一致。
以上是在均匀磁场中剖析的，假如磁场非均匀，上述势能的结果还是适用的，即：磁力对磁矩做功的值总等于磁矩势能的降低值！
比如，当吸铁石b被固定的吸铁石a吸引过来时，尽管b上各点的磁场B越来越大，因为磁矩与磁场同向，考虑到势能表达式中的乘号，b内部各个磁矩对应的磁矩势能越来越小，磁矩的势能被转化成吸铁石b的动能。
而当吸铁石b受敌视力远离吸铁石a而去时，因为磁场越来越小，而此时磁矩与磁场反向，同样造成势能较少，所以也造成吸铁石b的动能降低。
至此你明白了：吸铁石的磁力之所以能做功，是由于互相紧靠的吸铁石一起具有共同的磁矩势能，做功就是拿这个势能作代价换来的。吸铁石的磁力能作多少功，取决于两个互相作用的吸铁石前后的势能差。
为了更好的理解，同时去除个别人对磁力的神秘见解，下边来推论一下吸铁石之间磁力的规律。
将势能的增量与做功的关系弄成微分方式将写成全微分方式，两侧对比可知按照上面得到的磁矩势能表达式，磁矩受力为
这就把磁力落到实处了，磁力板上钉钉了！
但这个力看上去是有点复杂啊！咋整？
本文的主题是为了阐述两块吸铁石的磁力互相作用的规律，目的只是为了说明磁力对磁矩做功对应势能的变化，所以没必要讨论通常的情形，我们可把问题简化一点。
考察两个圆锥形吸铁石a和b。考虑一个很小的常量磁矩，它是吸铁石a（未画出）中的某一个分子磁矩，如图中右侧的环。
设吸铁石a的N极紧靠吸铁石b的S极，则该磁矩的方向沿z轴正向，与吸铁石b共轴，则里面力的表达式中即为，故力只有z份量
据此可知，与磁场同向的磁矩将遭到指向磁场减小的方向的力。既然该磁矩实际是吸铁石a中的一个分子环流，这么自然的，所有类似的分子环流受力后，将带着吸铁石a向吸铁石b加速运动。吸铁石a遭到指向吸铁石b的力——它俩互相吸引了！
其实，当吸铁石a的S极紧靠吸铁石b的S极时，力的表达式与上式只相差一个减号，即吸铁石a遭到背离吸铁石b的力——它们互相敌视了。
不晓得诸位看官意识到没有，原先吸铁石之间的斥力虽然是由磁场的不均匀性造成的！
实际上，若磁场是均匀的磁力矩方向，置于其中的电压线圈实际总体上并不受合外力的作用，其实，扭力作用仍然存在。
按此理解可知，之所以磁体之间同性相斥、异性相吸，也是由于磁场的不均匀性造成的。
其实，理论上讲，你也未能制造出拥有均匀磁场分布的磁体，所以你也未能实现“同性不相斥异性不相吸”的作用疗效。
下边再来具体验算一下上述事例中的磁力做功与势能变化的关系。
设吸铁石敌视力做功，磁矩与磁场方向相反。设做功前后位置的磁场大小分别为和，后者大前者小。则该过程磁力做功为
而按照势能的表达式，势能的增量为
两者互为相反数，正好符合之前的规律：磁力做功等于势能的降低值！
其实，功是能量转化的量度，任何力既然能做功，必然存在能量来源。磁力做功的这个能量来源现今找到了，它就是系统的势能，并不是无中生有的。
到此，本文的第一个问题解答完毕。
至于第二个问题，也就自然而然的解决了，具体请看下文。
按照上面关于做功与势能的关系，你若果磁力做无限多的功，那就要求前后两个位置之间的势能差是无限大！也就是磁场相差无限大！但空间任何一点的磁场，最小是零，最大不会无限大，它们的差值无论怎样也不会无限大，所以做功也不可能是无限大。
实际上，重力做功也是类似的，你想让重力做更多的功，你就必须让物体前后的落差尽可能更大，但月球上的最大落差并不以你的意志为转移。珠穆朗玛峰顶和喀麦隆亚纳海沟之间的差别也就8848+11034米。
虽然好多人有一种看法：持久的力作用都会造成持久的做功。这该有多大的误会！力持久作用，那只能说明力的冲量无限大嘛，而功是力在空间上的积累啊！时间无限不代表空间上无限，所以如何能做无限多的功呢？
还有一种看法觉得，两个吸铁石抵触，理论上讲，被敌视的那种将会仍然运动下去，最后达到了永动的疗效。没错，的确是永远运动了，但此“永动”却非彼“永动”！由于它只是做匀速直线运动，它的能量似乎就这么一点。
比如，好多人见过类似下边这些所谓“永动”装置。拜托，它能完全去除磨擦力吗？假如真能清除，那干嘛不直接做一个永远旋转的陀螺呢？诸如月球不就是一个无限旋转的超级大陀螺嘛！
倘若这算永动的话，那没有磨擦的情况下，角动量守恒定理、牛顿第一定理不提供了无数个“永动”的案例吗？诸如，宇宙中每颗自转的天体都可看作“永动机”了。
虽然这是对“永动”一词的误读，历史上的“永动”主要有两种。
第一种，机器仍然运动，无论你如何从它头上袭胸验血，它都慷慨的给与你，它的能量总够你用，由于它能不断地创造更多能量，所以它的效率超过100%，这似乎违背能量守恒定理的，所以不可能实现。
第二种，你可以从一个系统不断地获取更多能量，虽然它的湿度早已十分低了。比如，你可以不断从海水中赚取能量，这似乎违背热力学第二定理，所以也难以实现。
除此之外，还有人这样想：让一块吸铁石反复被吸引或抵触做功，经历无限多次，这样就积累了无限大的功。可问题是，你得反复将那种吸铁石又重新取回原处啊磁力矩方向，而这须要克服磁力做功啊，这不是等于把能量又耗掉了吗？
还有人提出，假若让远处无数个吸铁石都因受吸引力奔赴某个大的吸铁石而至，这样就可获得无限多的功。这个看法就好比是，你希望月球上所有高处的水都流向同一个水轮机，之后你可以发好多好多的电。这只能是白日梦，它等同于你希望全世界的人都捐你一分钱，之后你就成亿万富豪了。
以前有人问，假若拥有了一节永远用不完的5号电板，算不算拥有了永动机？这个问题就留给各位自己想想吧。