稳中培优计算、实验练习（四）

1、骏驰汽车赛车场有一段赛道可简化为这样：平直的赛道中间有一段拱形路面，其最高点P与水平路面的高度差为1.25 m，拱形路面前后赛道位于同一水平面上．以54 km/h的初速进入直道的赛车，以90 kW的恒定功率运动10 s到达P点，并恰好从P点水平飞出后落到水平赛道上，其飞出的水平距离为10 m．将赛车视为质点，不考虑赛车受到的空气阻力．已知赛车的质量为1.6×103 kg，取g＝10 m/s2，求：
(1)赛车到达P点时速度的大小．
(2)拱形路面顶点P的曲率半径．
(3)从进入直道到P点的过程中汽车克服阻力做的功．
【参考答案】(1)20 m/s　(2)40 m　(3)7.4×105 J
解析：(1)赛车到达P点后做平抛运动．
水平方向上，x＝vpt.
竖直方向上，h＝12gt2.
联立解得，vp＝20 m/s.
(2)赛车运动到拱形路面顶点P时，重力提供向心力．
mg＝mvPR.
解得曲率半径R＝40 m.
(3)从进入直道到P点的过程中，汽车牵引力做功，重力做功，克服阻力做功．
根据动能定理可知，Pt－mgh－Wf＝12mv2P－0.
解得，Wf＝7.4×105 J.
2、如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场．A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1.平行金属板右侧有一挡板M，中间有小孔O′，OO′是平行于两金属板的中心线．挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B2.CD为磁场B2边界上的一绝缘板，它与M板的夹角θ＝45°，O′C＝a，现有大量质量均为m，含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子(不计重力)，自O点沿OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO′方向运动，并进入匀强磁场B2中，求：
(1)进入匀强磁场B2的带电粒子的速度；
(2)能击中绝缘板CD的粒子中，所带电荷量的最大值；
(3)绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度．

【参考答案】(1)EB1　(2)2＋1mEB1B2a　(3)2a
解析：(1)平行金属板间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，沿直线OO′运动的带电粒子，处于受力平衡状态，qvB1＝qE.
解得，v＝EB1.
(2)带电粒子进入匀强磁场B2后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
qvB2＝mv2r.
电荷量最大的带电粒子，运动的轨迹半径最小，带正电，轨迹向下偏转，与CD板相切，如图所示：

根据几何关系可知，r1＋2r1＝a.
依题意解得，r1＝a1＋2，q＝2＋1mEB1B2a.
(3)带负电的粒子在磁场B2中向上偏转，击中绝缘板CD的临界情况是轨迹与CD相切．
根据几何关系可知，r2＋a＝2r2.
解得，r2＝a2－1.
CD板上被带电粒子击中区域的长度为x＝r2－r1＝2a.
3、（实验）一个喷漆桶能够向外喷射不同速度的油漆雾滴，某同学决定测量雾滴的喷射速度，他采用如图1所示的装置，一个直径为d＝40 cm的纸带环，安放在一个可以按照不同转速转动的固定转台上，纸带环上刻有一条狭缝A，在狭缝A的正对面画一条标志线，如图1所示．在转台开始转动达到稳定转速时，向侧面同样开有狭缝B的固定纸盒中喷射油漆雾滴，当狭缝A转至与狭缝B正对平行时，雾滴便通过狭缝A匀速运动打在纸带的内侧面留下痕迹(若此过程转台转过不到一圈)．将纸带从转台上取下来，展开平放，并与毫米刻度尺对齐，如图2所示．

(1)设喷射到纸带上的油漆雾滴痕迹到标志线的距离为s，则从图2可知，其中速度最大的雾滴到标志线的距离s＝________cm.
(2)如果转台转动的周期为T，则这些雾滴喷射速度的计算表达式为v0＝________________________________________________________________________(用字母表示)．
(3)如果以纵坐标表示雾滴的速度v0，横坐标表示雾滴距标志线距离的倒数1s，画出v0－1s图线，如图3所示，则可知转台转动的周期为T＝________s.
【参考答案】(1)2.10　(2)πd2Ts　(3)1.6
解析：(1)雾滴运动一直径的长度，速度越大，运行的时间越短，转台转过的弧度越小，打在纸带上的点距离标志线的距离越小．速度最大的雾滴到标志线的距离s＝2.10 cm.
(2)如果转台转动的周期为T，则雾滴运动的时间为t＝sv＝sTπd，喷枪喷出雾滴的速度v0＝dt＝πd2Ts.
(3)由上式变形为，v0＝πd2Ts＝πd2T•1s，v0－1s图象中斜率k＝πd2T＝0.7π7，解得，T＝1.6 s.
4、两小木块A、B，通过轻质弹簧连接，小木块B处在固定于地面的光滑斜面底端的挡板上，小木块A压缩弹簧处于平衡状态．现对木块A施加一平行于斜面向上的恒力F作用，小木块A从静止开始沿斜面向上运动，如图所示．已知mA＝mB＝2 kg，F＝30 N，斜面倾角θ＝37°，弹簧劲度系数k＝4 N/cm.设斜面足够长，整个过程弹簧处于弹性限度内，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
(1)从小木块A开始运动到小木块B刚开始运动的过程中，恒力F对小木块A做的功；
(2)当小木块B的加速度aB＝1 m/s2 时，小木块A的加速度的大小．

【参考答案】(1)1.8 J　(2)2 m/s2
解析：(1)初态时，小木块A压缩弹簧，根据平衡条件可知，
kx1＝mAgsinθ.
末态时，小木块B拉伸弹簧，
kx2＝mBgsinθ.
弹簧的形变量x＝x1＋x2.
恒力F对小木块A做功W＝F•x.
联立解得，W＝1.8 J.
(2)当小木块B的加速度aB＝1 m/s2时，弹簧的拉力大小为F1，小木块A的加速度的大小aA，根据牛顿第二定律可知，
F－F1－mAgsinθ＝mAaA.
F1－mBgsinθ＝mBaB.
联立解得，aA＝2 m/s2.
5、磁流体发电是一种新型发电方式，图甲和图乙是其工作原理示意图．图甲中的A、B是电阻可忽略的导体电极，两个电极间的间距为d，这两个电极与负载电阻相连．假设等离子体(高温下电离的气体，含有大量的正负带电粒子)垂直于磁场进入两极板间的速度均为v0.整个发电装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向如图乙所示．

(1)开关断开时，请推导该磁流体发电机的电动势E的大小；
(2)开关闭合后，如果电阻R的两端被短接，此时回路电流为I，求磁流体发电机的等效内阻r.
【参考答案】(1)Bdv0　(2)Bdv0I
解析：(1)等离子体垂直于磁场射入两板之间，正、负离子受到洛伦兹力作用，正离子偏向A极板，负离子偏向B极板，两板之间形成从A到B的匀强电场．
当粒子受的电场力与洛伦兹力相等时，qEd＝qv0B，粒子不再偏转，两极板间形成稳定的电势差即发电机的电动势，E＝Bdv0.
(2)如果电阻R的两端被短接，此时回路电流为I.
根据闭合电路欧姆定律，磁流体发电机的等效内阻
r＝EI＝Bdv0I.

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