高考真题专项突破(十四)　选做题

[真题1]　(2018•全国卷Ⅰ)(1)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°，一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为．若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角 (“小于”“等于”或“大于”)60°.

(2)一列简谐横波在t＝13 s时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点，图(b)是质点Q的振动图象．求

①波速及波的传播方向；
②质点Q的平衡位置的x坐标．
解析：(1)由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝sin isin r＝sin 60°sin 30°＝3.若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°.
(2)①由图(a)可以看出，该波的波长为λ＝36 cm，由图(b)可以看出，周期为T＝2 s，故波速为v＝λT＝18 cm/s
由图(b)知，当t＝13 s时，Q点向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播．
②设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ.
由图(a)知，x＝0处y＝－A2＝Asin(－30°)，因此
xP＝30°360°λ＝3 cm
由图(b)知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝13 s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，由此得
xQ－xP＝vΔt＝18×13 cm＝6 cm，故xQ＝xP＋b＝9 cm.
答案：3　大于　(2)①v＝18 cm/s　波沿x轴负方向传播　②xQ＝9 cm
[真题2]　(2018•全国卷Ⅱ)(1)声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4 900 m/s.一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一铁桥的一端而发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s．桥的长度为 _m，若该波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中波长为λ的 _倍．
(2)如图，ΔABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出．EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点．不计多次反射．

(ⅰ)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(ⅱ)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
解析：(1)设桥的长度为s
则声音在钢铁中传播的时间t＝sv＝s4 900
声音在空气中的传播时间为t′＝sv′＝s340
根据题意Δt＝t′－t＝s340－s4 900＝1解得：s≈365 m
声音在不同介质中的频率是不会改变的，由公式λ＝vf可知λ刚λ空＝v刚v空，解得λ刚＝v刚v空λ空＝4 900340λ＝24517λ；
(2)要保证在E点发生全反射，则在E点的入射角要大于等于临界角C.
(ⅰ)

光线在BC面上折射，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角，由折射定律有：
sin i1＝nsin r1
光线在AC面上发生全反射，i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角．
由反射定律有：i2＝r2
i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角，光线在AB面上发生折射，
由折射定律有：nsini3＝sinr3
由几何关系得：i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°，i1＝r3
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为：
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)
解得：δ＝60°
(ⅱ)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有
nsin i2≥nsin C＞nsin i3
式中C是全反射临界角，满足：nsin C＝1
所以棱镜的折射率n的取值范围应为：
223≤n＜2
答案：(1)365　　24517　(2)(ⅰ)δ＝60°　 (ⅱ)223≤n＜2
[命题情报]
本专题是选修3－4中的重点内容之一，分析近几年的高考试题，可以发现考查的重点是简谐运动的规律和图象，机械振动与机械波的有关概念；波的形成与传播规律，波长、波速和频率的关系；振动图象与波动图象的综合运用，波与振动图象相结合考查；利用单摆测重力加速度等．其中命题率最高的知识点是波的图象，波长、波速与频率的关系，振动图象和波动图象的结合．命题的方式是选择题、实验题或计算题．

1．(2018•全国卷Ⅲ)(1)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示．已知该波的周期T>0.20 s．下列说法正确的是(　　)

A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
(2)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“•”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上．D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F.该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察．恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm.求三棱镜的折射率．(不考虑光线在三棱镜中的反射)

解析：(1)根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0.16 m，选项B错误；根据t＝0时刻和t＝0.20 s时刻的波形图和该波的周期T>0.20 s可知，可知该波的周期T＝0.40 s，波速v＝λT＝0.40 m/s，选项A正确；简谐波沿x轴正方向传播，x＝0.08 m的质点在t＝0时刻沿y轴正方向运动，在t＝0.70 s时位于波谷，在t＝0.12 s时位于y＞0的某位置(不是位于波谷)，选项C正确，D错误；若此波传入另一介质中，周期T不变，其波速变为v＝0.80 m/s，由λ＝vT可得它在该介质中的波长为λ＝0.80×0.4 m＝0.32 m，选项E正确．
(2)过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，设∠ODN＝α为O点发出的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示．根据折射定律有

nsin α＝sin β①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知
∠β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有
EF＝OEsin ∠EOF④
由③④式和题给条件得
OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有
α＝30°⑥
由①②⑥式得
n＝3⑦
答案：(1)ACE　 (2)3
2．(1)(多选)(2018•石嘴山三中模拟)弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，把小钢球从平衡位置向左拉一段距离，放手让其运动．从小钢球通过平衡位置开始计时，其振动图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．钢球振动周期为1 s
B．在t0时刻弹簧的形变量为4cm
C．钢球振动半个周期，回复力做功为零
D．钢球振动一个周期，通过的路程等于10cm
E．钢球振动方程y＝5sin πtcm
(2) 如图所示，在MN的下方足够大的空间是玻璃介质，其折射率n＝3，玻璃介质的上边界MN是屏幕，玻璃中有一个正三角形空气泡，其边长l＝40cm，顶点与屏幕接触于C点，底边AB与屏幕平行，一束激光a垂直于AB边射向AC边的中点O，结果在屏幕MN上出现两个光斑．

①求两个光斑之间的距离x；
②若任意两束相同的激光同时垂直于AB边向上射入空气泡，求屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离L.
解析：(1)从题图中可得钢球振动的周期为2 s，A错误；因为是在水平面上振动，所以钢球振动的平衡位置应该是弹力为零时，即平衡位置时弹簧的形变量为零，t0时刻在距离平衡位置右方4cm处，则在t0时刻弹簧的形变量为4cm，故B正确；经过半个周期后，位移与之前的位移关系总是大小相等、方向相反；速度也有同样的规律，故动能不变，根据动能定理，合力做的功为零，即钢球振动半个周期，回复力做功为零，C正确；钢球振动一个周期，通过的路程等于4×5cm＝20cm，D错误；ω＝2πT＝π rad/s，A＝5cm，故钢球振动方程y＝5sin πtcm，E正确．
(2) ①画出光路图如图所示．在界面AC，入射角i＝60°，n＝3，由折射定律有n＝sin isin r
解得折射角r＝30°

由光的反射定律得反射角θ＝60°
由几何关系得，△ODC是边长为l2的正三角形，△OEC为等腰三角形，且CE＝OC＝l2，则两个光斑之间的距离x＝DC＋CE＝40cm.

②作出入射点在A、B两点的光线的光路图，如图所示，由图可得屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离

L＝PQ＝2l＝80cm.
答案：(1)BCE　(2)①40cm　②80cm

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