(1)以万有引力定律为基础的行星、卫星匀速圆周运动模型及其应用；(2)双星模型、估算天体的质量和密度等；(3)以开普勒三定律为基础的椭圆运行轨道及卫星的发射与变轨、能量等相关内容；(4)万有引力定律与地理、数学、航天等知识的综合应用。

例1．(2020∙山东卷∙7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自转，根据万有引力等于重力GMmr2＝mg，可得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，根据牛顿第二定律得f－mg＝ma，联立解得着陆器受到的制动力大小， B正确。
【点睛】本题考查万有引力定律与牛顿第二定律的综合问题，关键是知道天体表面重力等于万有引力，同时分析好运到情况和受力情况。
例2．(2020∙全国I卷∙15)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】根据F＝GMmR2得，故选B。
【点睛】本题考查万有引力公式的应用，比较简单。

1．2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由GMmr2＝mv2r知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确。
2．(多选)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第55颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成。北斗导航系统第41颗卫星为地球同步轨道卫星，第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107 m，运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N∙m2/kg2，则下列说法正确的是(　　)

A．根据题目数据可估算出地球的质量
B．同步轨道卫星可能经过北京上空
C．倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道正上方同一位置
D．倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度
【答案】AC
【解析】根据GMmr2＝m4π2T2r，可得M＝4π2r3GT2，可估算出地球的质量。A正确；由于地球同步卫星相对地面静止，因此一定自西向东运动，且轨道的圆心一定在地心上，故同步卫星一定在地球赤道的正上方，不可能运动到北京的正上方，B错误；倾斜同步卫星若某时刻经过赤道正上方某位置，经过半个周期，恰好地球也转了半个周期，因此又会经过赤道上方的同一位置，C正确；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由于轨道半径越大，运动速度越小，第一宇宙速度是贴近地球表面运动的卫星的速度，同步卫星的运动速度小于第一宇宙速度，D错误。
3．若地球同步卫星在赤道上空约为36000 km，地球的半径约为6000 km，位于东经121度赤道上空的同步卫星把信息传送到大兴安岭的某个接受站（处于东经121度，北纬60度）大约用时（光速为3×108 m/s）(　　)
A．0.12 s B．0.14 s C．0.014 s D．0.13 s
【答案】D
【解析】设大兴安岭的该接受站到同步卫星的距离为s，如图所示，根据余弦定理可得，则所用时间，故选D。

4．(多选)2020年7月21日发生了土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则（　　）

A．地球绕太阳运转的向心加速度大于土星绕太阳运转的向心加速度
B．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C．2019年没有出现土星冲日现象
D．土星冲日现象下一次出现的时间是2021年
【答案】AD
【解析】地球的公转周期比土星的公转周期小，由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小；又GMmr2＝ma，解得a＝GMr2，可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A正确；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，知土星的运行速度比地球的小，选项B错误；设T地＝1年，则T土＝29.5年，出现土星冲日现象则有(ω地－ω土)t＝2π，又ω＝2πT，解得距下一次土星冲日所需时间t≈1.04年，选项C错误、D正确。
5．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知(　　)

A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n3m3
B．同步卫星与P点的速度之比为1n
C．量子卫星与同步卫星的速度之比为nm
D．量子卫星与P点的速度之比为n3m
【答案】D
【解析】由开普勒第三定律得r量3T量2＝r同3T同2，又由题意知r量＝mR，r同＝nR，所以T同T量＝r同3r量3＝nR3mR3＝n3m3，故A错误；P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v＝ωr，所以有v同vP＝r同rP＝nRR＝n1，故B错误；根据GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，所以v量v同＝r同r量＝nRmR＝nm，故C错误；综合B、C，有v同＝nvP，v量nvP＝nm，得v量vP＝n3m，故D正确。
6．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB。这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。则(　　)

A．行星A的质量大于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度小于行星B的卫星向心加速度
【答案】A
【解析】根据GMmr2＝m4π2rT2，可得M＝4π2r3GT2，r3＝GM4π2T2，由图象可知，A的斜率大，所以A的质量大，A项正确；由图象可知当卫星在两行星表面运行时，周期相同，将M＝ρV＝ρ•43πR3代入上式可知两行星密度相同，B项错误；根据万有引力提供向心力，则GMmR2＝mv2R，所以v＝GMR＝43πρGR2，行星A的半径大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C项错误；两卫星的轨道半径相同时，它们的向心加速度a＝GMr2，由于A的质量大于B的质量，所以行星A的卫星向心加速度大，D项错误。
7．引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则(　　)

A．两星的运动周期均逐渐减小
B．两星的运动角速度均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小
D．两星的运动线速度均逐渐减小
【答案】A
【解析】双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力。根据Gm1m2L2＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离减小，则双星的轨道半径都变小，根据万有引力提供向心力，知角速度变大，周期变小，故A正确，B错误；根据Gm1m2L2＝m1a1＝m2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根据Gm1m2L2＝m1v12r1，解得v1＝Gm2r1L2，由于L平方的减小比r1的减小量大，则线速度增大，故D错误。
8．(多选)如图所示，有甲、乙两颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为R、表面重力加速度为g的行星运动，卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直，卫星甲的轨道为圆，距离行星表面的高度为R，卫星乙的轨道为椭圆，M、N两点的连线为其椭圆轨道的长轴且M、N两点间的距离为4R。则以下说法正确的是(　　)

A．卫星甲的线速度大小为2gR
B．卫星乙运行的周期为4π2Rg
C．卫星乙沿椭圆轨道运行经过M点时的速度大于卫星甲沿圆轨道运行的速度
D．卫星乙沿椭圆轨道运行经过N点时的加速度小于卫星甲沿圆轨道运行的加速度
【答案】BCD
【解析】卫星甲绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可计算出卫星甲环绕中心天体运动的线速度大小为v＝gR2，A错误；同理可计算出卫星甲环绕的周期为T甲＝4π2Rg，由卫星乙椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相等，则T乙＝T甲＝4π2Rg，B正确；卫星乙沿椭圆轨道经过M点时的速度大于沿轨道半径为M至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度，而轨道半径为M至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度，C正确；卫星运行时只受万有引力，向心加速度a＝GMr2，r越大，a越小，D正确。
9．(多选)宇航员在某星球表面以初速度2.0 m/s水平抛出一物体，并记录下物体的运动轨迹，如图所示，O为抛出点，若该星球半径为4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2•kg－2，则下列说法正确的是(　　)

A．该星球表面的重力加速度为4.0 m/s2
B．该星球的质量为2.4×1023 kg
C．该星球的第一宇宙速度为4.0 km/s
D．若发射一颗该星球的同步卫星，则同步卫星的绕行速度一定大于4.0 km/s
【答案】AC
【解析】根据平抛运动的规律：h＝12gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正确；在星球表面，重力近似等于万有引力，得M＝gR2G≈9.6×1023 kg，B错误；由mv2R＝mg得第一宇宙速度为v＝gR＝4.0 km/s，C正确；第一宇宙速度为最大的环绕速度，D错误。
10．开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：

(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
【解析】(1)由万有引力充当向心力：GMmr2＝m2πT2r
月球的密度：ρ＝M43πR3
联立解得：ρ＝3πr3GT2R3。
(2)椭圆轨道的半长轴：a＝R＋r2
设椭圆轨道上运行周期为T1，由开普勒第三定律有：a3T12＝r3T2
在轨道Ⅱ上运行的时间为t＝T12
解得：。
11．由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，因此同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299∶300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略。假如某星球因为自转的原因，一物体在该星球赤道上的重力与其在两极点受到的重力大小之比为7∶8，已知该星球的半径为R。(引力常量为G)
(1)求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
(2)若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，求该星球的密度ρ。
【解析】(1)设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即F万＝GMmR2＝G极
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有
F万＝G赤＋Fn
因为G赤＝78G极，所以Fn＝18•GMmR2＝m2πT2R
该星球的同步卫星的周期等于星球的自转周期T，则有GMm′r2＝m′4π2T2r
联立解得r＝2R。
(2)在星球赤道上，有78•GMmR2＝mg
解得M＝8gR27G
又因星球的体积V＝43πR3
所以该星球的密度ρ＝MV＝6g7GπR。

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小题必练7：万有引力与航天

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