(1)功的理解与计算；(2)恒力及合力做功的计算、变力做功；(3)机车启动问题；(4)功、功率与其他力学知识的综合。

例1．(2018∙全国III卷∙19)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )

A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
【答案】AC
【解析】根据位移相同可得两图线与时间轴围成的面积相等，12v0×2t0＝12×12v0×[2t0＋t′＋(t0＋t′)]，解得t′＝12t0，则对于第①次和第②次提升过程中，矿车上升所用的时间之比为2t0∶(2t0＋12t0)＝4∶5，A正确；加速过程中的牵引力最大，且已知两次加速时的加速度大小相等，故两次中最大牵引力相等，B错误；由题知两次提升的过程中矿车的最大速度之比为2∶1，由功率P＝Fv，得最大功率之比为2∶1，C正确；两次提升过程中矿车的初、末速度都为零，则电机所做的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故电机所做的功之比为1∶1，D错误。
【点睛】本题考查速度图象，牛顿运动定律、功和功率及其相关的知识点。此题以速度图象给出解题信息。解答此题常见错误主要有四方面：一是对速度图象面积表示位移掌握不到位；二是运用牛顿运动定律求解牵引力错误；三是不能找出最大功率；四是不能得出两次提升电机做功。

1．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是(　　)

A．N和f对物块都不做功
B．N对物块做功为2 J，f对物块不做功
C．N对物块不做功，f对物块做功为2 J
D．N和f对物块所做功的代数和为零
【答案】B
【解析】由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。由动能定理知WN－WG＝0，故支持力N做功为2 J。
2．(多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．物体的质量m＝0.5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4
C．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s内推力F做功的平均功率P＝3 W
【答案】ABC
【解析】由题图甲、乙可知，在1～2 s，推力F2＝3 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a＝2 m/s2，由牛顿运动定律可得，F2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物体做匀速直线运动，由平衡条件可知，μmg＝F3；联立解得物体的质量m＝0.5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，选项A、B正确；由速度—时间图象所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，选项C正确；第1 s内，由于物体静止，推力不做功；第2 s内，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s内推力F做功为W′＝3 J，前2 s内推力F做功的平均功率P＝W′t＝32 W＝1.5 W，选项D错误。
3．(多选)一质点在光滑水平面上处于静止状态，现对该质点施加水平力F，力F随时间t按如图所示的正弦规律变化，力F的方向始终在同一直线上，在0～4 s内，下列说法正确的是(　　)

A．第2 s末，质点距离出发点最远
B．第2 s末，质点的动能最大
C．0～2 s内，力F瞬时功率一直增大
D．0～4 s内，力F做功为零
【答案】BD
【解析】从图象可以看出在前2 s力的方向和运动的方向相同，物体经历了一个加速度逐渐增大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不变，所以2 s后，质点离出发点距离还在增大，故A项错误；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不变，物体要做减速运动，所以第2 s末，质点的速度最大，动能最大，故B项正确；0～1 s内，速度在增大，力F增大，根据瞬时功率P＝Fv得力F瞬时功率一直增大，1～2 s内，速度在增大，但是随时间变化速度增大变慢，而力F随时间减小变快，所以力F瞬时功率有减小的过程，故C项错误；0～4 s内，初末速度都为零，根据动能定理得合力做功为零，所以力F做功为零，故D项正确。
4．(多选)如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数1v的关系图象。若汽车质量为2×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则(　　)

A．车所受阻力为2×103 N
B．汽车在车速为5 m/s时，功率为6×104 W
C．汽车的额定功率为6×104 W
D．汽车匀加速所需时间为5 s
【答案】ACD
【解析】由图可知，匀加速直线运动的加速度为2 m/s2，汽车的最大速度为30 m/s，匀加速直线运动的末速度为10m/s。汽车匀加速直线运动的时间，故D正确；设汽车的额定功率为P，车所受阻力为f。当汽车速度最大时，汽车做匀速直线运动，根据功率公式，有汽车的额定功率为P＝Fvm＝fvm，当1v＝110s/m时，a＝2 m/s2，根据牛顿第二定律得Pv－f＝ma，解得f＝2×103 N，P＝6×104 W，故AC正确；因为5 m/s<10 m/s，所以汽车速度为5 m/s时，功率未达到额定功率6×104 W，故B错误。
5．(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为m1、m2，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，物块A运动的距离为d，速度为v，重力加速度大小为g，则此时(　　)

A．m2gsin θ＝kd
B．物块A加速度大小为F－kdm1
C．重力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
D．弹簧的弹力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
【答案】BC
【解析】开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A的重力沿斜面向下的分力，当B刚离开C时，弹簧的弹力等于B的重力沿斜面向下的分力，故m2gsin θ＝kx2，但由于开始时弹簧是压缩的，故d＞x2，故m2gsin θ＜kd，故A错误；物块A的加速度a＝F－kx2－m1gsin θm1，开始弹簧处于压缩状态，压缩量x1＝m1gsin θk，又x1＋x2＝d，解得a＝F－kdm1，故B正确；由于速度v与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等于m1gvsin θ，则由m1gsin θ＝kx1、m2gsin θ＝kx2及x1＋x2＝d得，m1gsin θ＋m2gsin θ＝kd，所以重力做功的功率P＝(kd－m2gsin θ)v，故C正确；当物块B刚要离开C时，弹簧的弹力为m2gsin θ，则弹力对物块A做功的功率为m2sin θ•v，故D错误。
6．(多选)如图所示，光滑水平地面上固定一带有光滑定滑轮的竖直杆，用轻绳一端系着小滑块，另一端绕过定滑轮，现用恒力F1水平向左拉滑块的同时，用恒力F2拉右侧绳端，使滑块从A点由静止开始向右运动，经过B点后到达C点，若AB＝BC，则滑块(　　)

A．从A点至B点F2做的功等于从B点至C点F2做的功
B．从A点至B点F2做的功小于从B点至C点F2做的功
C．从A点至C点F2做的功可能等于滑块克服F1做的功
D．从A点至C点F2做的功可能大于滑块克服F1做的功
【答案】CD
【解析】由题意知，滑块从A点至B点时右侧绳端的位移大于滑块从B点至C点时右侧绳端的位移，F2是恒力，则滑块从A点至B点F2做的功大于从B点至C点F2做的功，A、B项错误；滑块从A点至C点过程中，可能先加速后减速，滑块在C点速率大于或等于零，根据动能定理得知，滑块从A点运动到C点过程中动能的变化量大于或等于零，总功大于或等于零，则从A点至C点F2做的功大于或等于滑块克服F1做的功，C、D项正确。
7．一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图所示。则拉力的功率随时间变化的图象可能是(g取10 m/s2)(　　)

【答案】D
【解析】由图知在0～t0时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at；由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力的功率P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at；在t0时刻以后，物体做匀速运动，v不变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，故D项正确。
8．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则(　　)
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【答案】BD
【解析】设f＝kR，则由牛顿第二定律得F合＝mg－f＝ma，而m＝43πR3•ρ，故a＝g－k43πR2•ρ，由m甲>m乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C项错误；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，B项正确；由x＝12at2可知，t甲<t乙，A项错误；由功的定义可知，W克服＝f•x，又f甲>f乙，则W甲克服>W乙克服，D项正确。
9．如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为(　　)

A．mgLω B．32mgLω
C．12mgLω D．36mgLω
【答案】C
【解析】由于杆做匀速转动，拉力的功率等于克服重力做功的功率，P＝mgωLcos 60°＝12mgLω，C项正确。
10．为了缓解城市交通拥堵问题，某市交通部门在禁止行人步行的十字路口增设了长度为12 m的“直行待行区”。如图所示，当其他车道的车辆右转时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口。如果该路段的限速为60 km/h，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4 s。现某汽车司机驾驶着质量为1.5 t的小汽车，汽车的额定功率为63 kW，汽车的前端刚好停在停车线处，当司机看到上述提示时，立即由静止开始做匀加速直线运动，当汽车的前端运动到“直行待行区”的前端线时，正好直行的绿灯亮起，司机保持该加速度继续运动到额定功率后保持功率不变，汽车在运动中受到的阻力为车重的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，则：

(1)在前4 s时间内，汽车发动机所做的功是多少？
(2)从开始运动计时，经过12 s达到该路段限速，汽车经过的总位移是多少？(结果保留两位有效数字)
【解析】(1)在这段时间内，汽车前进的位移为x＝12at2
汽车的加速度为a＝2xt2＝1.5 m/s2
汽车受到的阻力f＝kmg＝3×103 N
根据牛顿第二定律F－f＝ma
牵引力做功WF＝F•x
由以上两式得WF＝6.3×104 J。
(2)设汽车达到额定功率时的速度为v′，时间为t′，位移为x1，则
P额＝F•v′
v′＝a•t′
x1＝12at′2
设汽车以额定功率行驶的位移为x2，根据动能定理
P额(t－t′)－f•x2＝12mv2－12mv′2
由以上各式解得x1＝48 m，x2＝50.55 m
汽车经过的位移x＝x1＋x2≈99 m。
11．某品牌汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回答问题。
整车行驶质量   1 500 kg
额定功率   75 kW
加速过程   车辆从静止加速到108 km/h所需时间为10 s
制动过程   车辆以36 km/h行驶时的制动距离为5.0 m
已知汽车在水平公路上沿直线行驶时所受阻力f跟行驶速率v和汽车所受重力mg的乘积成正比，即f＝kmgv，其中k＝2.0×10－3 s/m。重力加速度g取10 m/s2。
(1)若汽车加速过程和制动过程都做匀变速直线运动，求这次测试中加速过程的加速度大小a1和制动过程的加速度大小a2。
(2)求汽车在水平公路上行驶的最大速率vm。
(3)把该汽车改装成同等功率的纯电动汽车，其他参数不变。若电源功率转化为汽车前进的机械功率的效率η＝90%。假设1 kW•h电能的售价为0.50元(人民币)，求电动汽车在平直公路上以最大速度行驶的距离s＝100 km时所消耗电能的费用。结合此题目，谈谈你对电动汽车的看法。
【解析】(1)加速过程的加速度大小a1＝ΔvΔt＝3010 m/s2＝3 m/s2
制动过程满足2a2x＝v2t－v20
解得加速度大小a2＝10 m/s2。
(2)当汽车的速度达到最大时，汽车受到牵引力与阻力相等。满足Pm＝fvm
即Pm＝kmgv2m
解得vm＝50 m/s。
(3)以最大速度行驶过程中，克服阻力所做的功
Wf＝fs＝kmgvms
代入数据，解得Wf＝1.5×108 J
消耗电能E＝Wfη＝1.67×108 J＝46.4 kW•h
所以，以最大速度行驶100 km的费用Y＝46.4×0.5＝23.2(元)。
由以上数据可以看出，纯电动汽车比燃油汽车行驶费用低得多，而且无环境污染问题。

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小题必练8：功和功率

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