(1)向心力、向心加速度的理解；(2)竖直平面内圆周运动的问题分析；(3)斜面、悬绳弹力的水平分力提供向心力的实例分析问题；(4)离心现象等。

例1．(2020•全国卷I•16)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)

A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
【答案】B
【解析】在最低点由2T－mg＝mv2r，知T＝410 N，即每根绳子拉力约为410 N，故选B。
【点睛】本题考查竖直面内圆周运动的轻“绳”模型，要明确秋千运动到最低点时所受合力不为零，且合力方向竖直向上。

1．如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，学员和教练员(均可视为质点)(　　)

A．运动周期之比为5∶4
B．运动线速度大小之比为1∶1
C．向心加速度大小之比为4∶5
D．受到的合力大小之比为15∶14
【答案】D
【解析】A、B两点做圆周运动的角速度相等，根据T＝2πω知，周期相等，故A项错误；根据v＝rω知，半径之比为5∶4，则线速度之比为5∶4，故B项错误；根据a＝rω2知，半径之比为5∶4，则向心加速度大小之比为5∶4，故C项错误；根据F＝ma知，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则合力大小之比为15∶14，故D项正确。
2．如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为r，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则(　　)

A．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
B．受到的合力大小F＝mv2r
C．若运动员加速，则一定沿倾斜赛道上滑
D．若运动员减速，则一定沿倾斜赛道下滑
【答案】B
【解析】将运动员和自行车看作一个整体，受到重力、支持力、摩擦力作用，向心力是按照力的作用效果命名的力，不是物体受到的力，故A错误；运动员骑自行车在倾斜赛道上做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供匀速圆周运动需要的向心力，所以F＝mv2r，故B正确；若运动员加速，由向上运动的趋势，但不一定沿斜面上滑，故C错误；若运动员减速，有沿斜面向下运动的趋势，但不一定沿斜面下滑，故D错误。
3．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(　　)

A．3mg B．433mg C．3mg D．23mg
【答案】A
【解析】设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcos θ＝32L。根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝mv2r；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcos θ＋mg＝m2v2r，联立解得F＝3mg，A项正确。
4．如图所示，在粗糙水平面上静止放有一个半圆球，将一个很小的物块放在粗糙程度处处相同的球面上，用始终沿球面的力F拉着小物块从A点沿球面匀速率运动到最高点B，半圆球始终静止。对于该过程下列说法正确的是(　　)

A．小物块所受合力始终为0
B．半圆球对小物块的支持力一直增大，摩擦力也一直增大
C．F大小一直不变
D．半圆球对地面的摩擦力始终向右
【答案】B
【解析】小物块做匀速圆周运动，所以所受合外力不为0，故A错误；假设小物块与圆心连线与水平方向的夹角为θ，当小物块沿圆弧上滑时，根据牛顿第二定律则有mgsin θ－FN＝mv2r，由于f＝μFN，可知θ增大，支持力增大，则滑动摩擦力也增大，故B正确；根据题意则有F＝mgcos θ＋μFN＝mgcos θ＋μmgsin θ－μmv2r，对cos θ＋μsin θ分析可知θ从0增大到90°，F先增大后减小，故C错误；对半圆球进行受力分析可知半圆球所受摩擦力向右，所以半圆球对地面的摩擦力始终向左，故D错误。
5．(多选)如图所示为用绞车拖物块的示意图。拴接物块的细线被缠绕在轮轴上，轮轴逆时针转动从而拖动物块。已知轮轴的半径R＝0.5 m，细线始终保持水平；被拖动物块质量m＝1 kg，与地面间的动摩擦因数μ＝0.5；轮轴的角速度随时间变化的关系是ω＝kt，k＝2 rad/s2，g取10 m/s2，以下判断正确的是(　　)

A．物块做匀速运动
B．细线对物块的拉力是5 N
C．细线对物块的拉力是6 N
D．物块做匀加速直线运动，加速度大小是1 m/s2
【答案】CD
【解析】由题意知，物块的速度v＝ωR＝2t×0.5＝1t，又v＝at，故可得a＝1 m/s2，所以物块做匀加速直线运动，加速度大小是1 m/s2。故A错误，D正确；由牛顿第二定律可得物块所受合外力F＝ma＝1 N，F＝T－f，地面摩擦阻力f＝μmg＝0.5×1×10 N＝5 N，故可得物块受细线拉力T＝f＋F＝5 N＋1 N＝6 N，故B错误，C正确。
6．如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定在水平面上，置于斜面上的物块B通过细绳跨过光滑定滑轮(滑轮可视为质点)与小球A相连，连接物块B的细绳与斜面平行，滑轮右侧的细绳长度为L，物块B与斜面间的动摩擦因数μ＝33。开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力。现让A在水平面内做匀速圆周运动，物块B始终静止，则A的最大角速度为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，则有mAg＝mBgsin θ，解得mB＝2mA；当A以最大角速度做圆周运动时，要保证B静止，此时绳子上的拉力T＝mBgsin θ＋μmBgcos θ＝2mAg；设A以最大角速度做圆周运动时绳子与竖直方向的夹角为α，则cos α＝；对A受力分析可知，物体A做圆周运动的半径R＝Lsin α＝32L，向心力为Fn＝Tsin α＝3mAg；由向心力公式Fn＝mAω2R，代入数据解得ω＝，A正确。

7．(多选)如图所示，一质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端分别系在竖直杆的A、B两点上，当两轻绳伸直时，a绳与杆的夹角为30°，b绳水平，已知a绳长为2L，当竖直杆以自己为轴转动，角速度ω从零开始缓慢增大过程中，则下列说法正确的是(　　)

A．从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为0
B．b绳伸直但不提供拉力时，小球的向心加速度大小为33g
C．从开始至b绳伸直但不提供拉力时，小球的机械能增加了(2－233)mgL
D．当角速度为时，b绳未伸直
【答案】BD
【解析】当b绳刚要伸直时，对小球，由牛顿第二定律和向心力公式得水平方向，，竖直方向有Facos 30°＝mg，解得，小球的机械能增加量ΔE＝mg•2L(1－cos 30°)＋12mv2＝(2－ )mgL，由功能关系可知，从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为(2－ )mgL，故AC错误；b绳刚好伸直无拉力时，小球的角速度，当，所以b未伸直，小球的向心加速度a＝ω2L＝33g，故BD正确。
8．如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，为正整数)。从图示位置开始，在b运动一周的过程中(　　)

A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为k＋1次
C．a、b、c共线的次数为2k次
D．a、b、c共线的次数为2k－2次
【答案】D
【解析】设每隔时间T，a、b相距最近，则(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝2πωa－ωb＝2π2πTa－2πTb＝TaTbTb－Ta，故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：n＝TbT＝Tb－TaTa＝kTa－TaTa＝k－1，即a、b距离最近的次数为k－1次，A、B均错误。设每隔时间t，a、b、c共线一次，则(ωa－ωb)t＝π，所以t＝πωa－ωb＝π2πTa－2πTb＝TaTb2Tb－Ta；故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n＝Tbt＝2Tb－TaTa＝2kTa－2TaTa＝2k－2，C错误，D正确。
9．如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动无滑动．甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙＝3∶1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，小物体质量m1＝m2，m1距O点为2r，m2距O′点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时(　　)

A．滑动前m1与m2的角速度之比ω1∶ω2＝3∶1
B．滑动前m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝1∶3
C．滑动前m1与m2的线速度之比v1∶v2＝1∶1
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
【答案】D
【解析】甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，由ω1•3r＝ω2r得ω1∶ω2＝1∶3，故A错误；物块相对盘开始滑动前，根据a＝ω2r得m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝ω12•2r＝ω22r＝2∶9，故B错误；根据公式v＝ωr，m1距O点为2r，m2距O′点为r，二者的角速度之比ω1∶ω2＝1∶3，所以它们的线速度之比为2∶3，故C错误；根据μmg＝mrω2，知临界角速度，可知两物块的临界角速度之比为1∶3，又ω1∶ω2＝1∶3，可知当转速增加时，m2先达到临界角速度，所以m2先开始滑动，故D正确。

10．(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r、RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)

A．此时绳子张力为3μmg
B．此时圆盘的角速度为2μgr
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】ABC
【解析】两物体刚好要发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg，则有T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2•2r，解得T＝3μmg，ω＝2μgr，A、B、C项正确；当烧断绳子时，A所需向心力为F＝mω2r＝2μmg＞fm，fm＝μmg，所以A将发生滑动，D项错误。
11．汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面(漏斗状)，侧面图如图所示。测试的汽车质量m＝1 t，车道转弯半径r＝150 m，路面倾斜角θ＝45°，路面与车胎的动摩擦因数μ＝0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。求：

(1)若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？
(2)汽车在该车道上所能允许的最小车速。
【解析】(1)汽车恰好不受路面摩擦力时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mgtan θ＝mv2r
解得：v≈38.7 m/s。
(2)当车道对车的摩擦力沿车道向上且等于最大静摩擦力时，车速最小，受力如图，根据牛顿第二定律得：

FNsin θ－Ffcos θ＝mvmin2r
FNcos θ＋Ffsin θ－mg＝0
Ff＝μFN
解得：vmin＝30 m/s。
12．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，OB与OC夹角为37°，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最低点C时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，该图线截距为2 N，且过(0.5 m，4 N)点。取g＝10 m/s2。

(1)求滑块的质量和圆轨道的半径。
(2)若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度为多少？
(3)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D飞出后落在圆心等高处的轨道上？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)当H＝0时，由图象截距可知：
F＝mg＝2 N，mg＝0.2 kg
当小物块从A点静止下滑，由图象知，h＝0.5 m，对轨道的压力F1＝4 N
mgh＝12mv12
F1－mg＝mv12R
解得：R＝1 m。
(2)不脱离轨道分两种情况：
①到圆心等高处速度为零
有能量守恒可知，滑块从静止开始下滑高度h1≤R＝1 m
②通过最高点，通过最高点的临界条件vD＝gR
设下落高度为H0，由动能定理得：mg(H0－2R)＝12mvD2
解得：H0＝2.5 m
则应该满足下落高度h2≥2.5 m。
(3)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点：
x＝OE＝vDt
R＝12gt2
解得：vD＝ m/s
而滑块过D点的临界速度vDL＝gR＝ m/s
由于vD＞vDL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点
mg(H－2R)＝12mvDL2
解得：H＝ m。

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小题必练6：圆周运动

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