(1)简谐运动的公式和图象；(2)单摆、周期公式；(3)受迫振动和共振等；(4)机械波、横波和纵波；(5)波速、波长和频率(周期)的关系；(6)波的干涉和衍射现象、多普勒效应等。

例1．(2020∙山东卷∙4)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x＝54λ处质点的振动方程为y＝Acos(2πTt)，则t＝34T时刻的波形图正确的是（　　）

【答案】D
【解析】根据题意可知，t＝34T时，在x＝λ＋14λ处的质点处于y＝Acos(2πT∙34T)＝0，即此时质点位于平衡位置；下一时刻，该质点向上运动，原理平衡位置，根据题意，横波沿x轴负方向传播，根据同侧法判断可知，ABC错误，D正确。
【点睛】本题考查波动图像及振动方程的应用，注意波动图像与振动图像的区别。

1．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin100t (m)，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin100t (m)。比较A、B的运动，下列说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A、B的周期都为6.28×10－2 s
【答案】CD
【解析】振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A项错；A、B的周期均为T＝2πω＝2π100 s＝6.28×10－2 s，B项错，C、D项对。
2．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是(　　)

A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
【答案】A
【解析】在t＝1 s和t＝3 s时，振子偏离平衡位置最远，速度为零，回复力最大，加速度最大，方向指向平衡位置，A项正确，C项错误；在t＝2 s和t＝4 s时，振子位于平衡位置，速度最大，回复力和加速度均为零，B、D项错误。
3．(多选)一列沿x轴传播的简谐波，波速为4 m/s，某时刻的波形图象如图所示。此时x＝8 m处的质点具有正向最大速度，则再过4.5 s(　　)

A．x＝4 m处质点具有正向最大加速度
B．x＝2 m处质点具有负向最大速度
C．x＝0处质点一定有负向最大加速度
D．x＝6 m处质点通过的路程为20 cm
【答案】ABC
【解析】据题意，图示时刻x＝8 m处的质点具有正向最大速度，质点正经过平衡位置向上，则波向x轴负方向传播。则该波的周期T＝λv＝84 s＝2 s因为n＝tT＝4.52＝214T，可知：图示时刻x＝4 m处质点速度向下，再经过4.5 s，处于波谷，位移为负向最大，则具有正向最大加速度，故A项正确；图示时刻x＝2 m处质点位于波峰，再经过4.5 s，处于平衡位置向下，具有负向最大速度，故B项正确；图示时刻x＝0处质点速度向上，再经过4.5 s，处于波峰位置，具有负向最大加速度，故C项正确；再经过4.5 s，x＝6 m处，质点处于平衡位置，通过的路程为2×4×A＋A＝18 cm，故D项错误。
4．(多选)如图所示是一列简谐波在t＝0时的波形图象，波速为v＝10 m/s，此时波恰好传到I点，下列说法正确的是(　　)

A. 此列波的周期为T＝0.4 s
B. 质点B、F在振动过程中位移总是相等
C. 质点I的起振方向沿y轴负方向
D. 当t＝5.1 s时，x＝10 m的质点处于平衡位置处
【答案】ABC
【解析】由波形图可知，波长λ＝4 m，则T＝λv＝410 s＝0.4 s，故A项正确；质点B、F之间的距离正好是一个波长，振动情况完全相同，所以质点B、F在振动过程中位移总是相等，故B项正确；由图可知，I刚开始振动时的方向沿y轴负方向，故C项正确；波传到x＝10 m的质点的时间t′＝xv＝1010 s＝1 s，t＝5.1 s时，x＝10 m的质点已经振动4.1 s＝1014 T，所以此处处于波谷处，故D项错误；故选ABC。
5．一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图象如图甲所示。下列关于图乙(1)～(4)的判断正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)(　　)

A．图(1)可作为该物体的v－t图象
B．图(2)可作为该物体的F－t图象
C．图(3)可作为该物体的F－t图象
D．图(4)可作为该物体的a－t图象
【答案】C
【解析】采用排除法，由y—t图象知t＝0时刻，物体通过平衡位置，速度沿y轴正方向，此时速度达到最大值，加速度为0，故ABD项错，C项对。

6．(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系为x＝Asin ωt，振动图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧在第1 s末与第3 s末的长度相同
B．简谐运动的角速度是π4 rad/s
C．第3 s末振子的位移大小为22A
D．从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向发生变化
【答案】ABC
【解析】由振动图象可知，弹簧在第1 s末与第3 s末的位移相同，弹簧长度相同，A项正确；由振动图象可知，振动周期为8 s，简谐运动的角速度是ω＝2πT＝π4 rad/s，B项正确；第3 s末振子的位移大小为x＝Asinωt＝Asin(π4•3)＝22A，C项正确；从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向不发生变化，D项错误。
7．(多选)如图所示为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点O处，另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下，经时间t与B发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时(　　)

A．相间隔的时间为4t
B．相间隔的时间为2t
C．将仍在O处相碰
D．可能在O点以外的其他地方相碰
【答案】BC
【解析】小球在圆弧上滚动过程中，其受力情况与摆长等于圆弧轨道半径(严格地讲，摆长应等于圆弧轨道半径与小球半径之差)的单摆的受力情况相同，因此其运动情况与单摆的运动情况应相同，即以O点为平衡位置做机械振动。又题设条件中圆弧轨道半径“很大”，圆弧长度为“一小段”，这就暗示在小球的整个摆动过程中，最大位移对应的圆心角很小，因此，小球的振动可视为简谐运动。由单摆振动周期公式T＝2πlg(此处l即为圆弧轨道半径)知，两球周期相同，碰撞后应同时回到平衡位置，即只能在平衡位置处相碰。又由振动的周期性知，两次相碰的间隔时间为2t，综上讨论可知，正确选项为BC项。
8．如图所示为在同一绳上相向传播的甲、乙两列简谐横波某时刻的波形图，其中a、b、c是甲波上的三个点。下列说法正确的是(　　)

A．这两列波相遇时能发生干涉现象
B．甲波的速度v甲比乙波的速度v乙大
C．质点a 比质点b先回到平衡位置
D．若v甲＝20 m/s，再经t＝0.3 s，质点c运动的路程是0.3 m
【答案】D
【解析】波速是由介质决定的，两列波在同一介质中传播，波速相同，根据f＝vλ可知，波长不同，频率不同，故不会发生稳定干涉，A、B项错误；根据走坡法，a质点向上振动，b质点向下振动，所以b比a先到达平衡位置，C项错误；波速由介质决定，所以v甲＝v乙＝20 m/s。0.3 s时乙波刚好传到质点c的位置，则在0.3 s时间内质点c是由甲波引起的，质点c运动的路程s＝tT×4A，甲波的周期T＝λv甲＝820 s＝0.4 s，解得s＝0.3 m，故D项正确。
9．(多选)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点P的x坐标为3 m。已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4 s。下列说法正确的是(　　)

A．波速为4 m/s
B．波的频率为1.25 Hz
C．x坐标为15 m的质点在t＝0.6 s时恰好位于波谷
D．x坐标为22 m的质点在t＝0.2 s时恰好位于波峰
【答案】BD
【解析】任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4 s，可知振动周期T＝0.8 s，频率f＝1T＝1.25 Hz，B项正确；从题图中可以看出波长λ＝4 m，根据v＝λf得v＝5 m/s，A项错误；由于波在传播过程中具有空间周期性，x坐标为15 m处的质点运动规律与x＝3 m处相同，从t＝0时刻经过0.6 s，即经历34周期，质点应位于平衡位置，C项错误；用同样的方法可判断出D正确。
10．如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝L2，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是(　　)

A．2πLg B．2πL2g
C．2π Lg＋ L2g D．π Lg＋ L2g
【答案】D
【解析】根据T＝2πLg，该单摆有12周期摆长为L，12周期摆长为12L，故T＝πLg＋πL2g＝πLg＋ L2g，故D项正确。
11．(多选)如图所示为两个弹簧振子的振动图象。下面的说法正确的是(　　)

A．甲的振动能量是乙的2倍
B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的2倍
D．甲、乙的位移不可能同时达到正向最大值
【答案】BCD
【解析】根据振动的能量公式E＝12kA2，由于两振子的劲度系数不确定，故不能比较两振子的能量关系，A项错误；由图象可知，乙的周期是甲周期的2倍，则甲的振动频率是乙的2倍，B、C项正确；因乙的周期是甲周期的2倍，则甲、乙的位移不可能同时达到正向最大值，D项正确。
12．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程。
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。
【解析】(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，由对称性可得

T＝0.22＋0.5－0.22×4 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝12×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程s＝4T×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asinωt，A＝12.5 cm，ω＝2πT＝2π
得x＝12.5sin2πt (cm)。振动图象为

13．在某介质中形成一列简谐波，t＝0时刻的波形如图中的实线所示。若波向右传播，零时刻刚好传到A点，且再经过0.6 s，P点也开始起振，求：

(1)该列波的周期T。
(2)从t＝0时起到P点第一次达到波峰时止，O点对平衡位置的位移y0及其所经过的路程s0各为多少？
【解析】(1)由图象可知：波长λ＝2 m，振幅A＝2 cm
波速v＝ΔxΔt1＝60.6 m/s＝10 m/s
由v＝λT可解得，周期T＝λv＝0.2 s。
(2)波向右传播，所有质点的起振方向向下。
由t＝0至P点第一次到达波峰止，经历的时间
Δt2＝Δt1＋34T＝154T
t＝0时O点在平衡位置向上振动，故经Δt2时间，O点运动到波谷，即相对于平衡位置的位移y0＝－2 cm＝－0.02 m
质点O每T4通过的路程为一个振幅，经Δt2时间，质点O通过的路程
s0＝15A＝30 cm＝0.3 m。

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小题必练14：机械振动机械波

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